В математике , в частности в теории поля и действительной алгебре , формально действительное поле — это поле , которое может быть снабжено (не обязательно уникальным) порядком, делающим его упорядоченным полем .
Определение, данное выше, не является определением первого порядка , поскольку оно требует квантификаторов по множествам . Однако следующие критерии могут быть закодированы как (бесконечное множество) предложений первого порядка на языке полей и эквивалентны приведенному выше определению.
Формально вещественное поле F — это поле, которое также удовлетворяет одному из следующих эквивалентных свойств: [1] [2]
Легко видеть, что эти три свойства эквивалентны. Также легко видеть, что поле, допускающее упорядочение, должно удовлетворять этим трем свойствам.
Доказательство того, что если F удовлетворяет этим трем свойствам, то F допускает упорядочение, использует понятие препозитивных конусов и положительных конусов. Предположим, что −1 не является суммой квадратов; тогда аргумент леммы Цорна показывает, что препозитивный конус сумм квадратов может быть расширен до положительного конуса P ⊆ F . Этот положительный конус используется для определения упорядочения: a ≤ b тогда и только тогда, когда b − a принадлежит P .
Формально вещественное поле без формально вещественного собственного алгебраического расширения является вещественным замкнутым полем . [3] Если K формально вещественно и Ω является алгебраически замкнутым полем, содержащим K , то существует вещественное замкнутое подполе Ω, содержащее K. Вещественное замкнутое поле может быть упорядочено единственным образом, [3] и неотрицательные элементы являются в точности квадратами.
