Упорядоченное поле

Алгебраический объект с упорядоченной структурой

В математике упорядоченное поле — это поле вместе с полным порядком его элементов, совместимым с операциями поля. Основными примерами упорядоченных полей являются рациональные числа и действительные числа , оба с их стандартными порядками.

Каждое подполе упорядоченного поля также является упорядоченным полем в унаследованном порядке. Каждое упорядоченное поле содержит упорядоченное подполе, которое изоморфно рациональным числам . Каждое дедекиндово-полное упорядоченное поле изоморфно действительным числам. Квадраты обязательно неотрицательны в упорядоченном поле. Это означает, что комплексные числа не могут быть упорядочены, поскольку квадрат мнимой единицы i равен −1 (что отрицательно в любом упорядоченном поле). Конечные поля не могут быть упорядочены.

Исторически аксиоматизация упорядоченного поля постепенно абстрагировалась от действительных чисел математиками, включая Давида Гильберта , Отто Гёльдера и Ганса Хана . В конечном итоге это переросло в теорию упорядоченных полей и формально действительных полей Артина–Шрайера .

Определения

Существует два эквивалентных общих определения упорядоченного поля. Определение полного порядка появилось первым исторически и является аксиоматизацией первого порядка упорядочения как бинарного предиката . Артин и Шрайер дали определение в терминах положительного конуса в 1926 году, которое аксиоматизирует подсовокупность неотрицательных элементов. Хотя последнее является более высоким порядком, рассмотрение положительных конусов как максимальных препозитивных конусов обеспечивает более широкий контекст, в котором упорядочения полей являются экстремальными частичными упорядочениями. ${\displaystyle \leq }$

Общий заказ

Поле вместе с общим порядком на является ${\displaystyle (F,+,\cdot \,)}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle F}$упорядоченное поле , если порядок удовлетворяет следующим свойствам для всех ${\displaystyle a,b,c\in F:}$

• если то и ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a+c\leq b+c,}$
• если и тогда ${\displaystyle 0\leq a}$ ${\displaystyle 0\leq b}$ ${\displaystyle 0\leq a\cdot b.}$

Как обычно, мы пишем для и . Обозначения и обозначают и соответственно. Элементы с называются положительными. ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a\neq b}$ ${\displaystyle b\geq a}$ ${\displaystyle b>a}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle a>0}$

Положительный конус

АПрепозитивный конус илипредварительный порядокполя— этоподмножество, обладающее следующими свойствами:^[1] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P\subseteq F}$

• Для и в обоих и находятся в ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle x+y}$ ${\displaystyle x\cdot y}$ ${\displaystyle P.}$
• Если тогда В частности, и ${\displaystyle x\in F,}$ ${\displaystyle x^{2}\in P.}$ ${\displaystyle 0=0^{2}\in P}$ ${\displaystyle 1=1^{2}\in P.}$
• Элемент отсутствует ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle P.}$

АПредварительно упорядоченное поле — это поле, снабженное предварительным порядком. Его ненулевые элементыобразуютподгруппумультипликативной группы ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle P^{*}}$ ${\displaystyle F.}$

Если, кроме того, множество является объединением и мы называем положительным конусом Ненулевые элементы называются положительными элементами ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle -P,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F.}$

Упорядоченное поле — это поле вместе с положительным конусом. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P.}$

Предварительные упорядочения на являются в точности пересечениями семейств положительных конусов на Положительные конусы являются максимальными предварительными упорядочениями. ^[1] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$

Эквивалентность двух определений

Пусть будет полем. Существует биекция между порядками полей и положительными конусами ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$

При наличии порядка полей ≤ , как в первом определении, множество элементов, такое что образует положительный конус Наоборот, при наличии положительного конуса , как во втором определении, можно связать полный порядок с , установив значение . Этот полный порядок удовлетворяет свойствам первого определения. ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \leq _{P}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x\leq _{P}y}$ ${\displaystyle y-x\in P.}$ ${\displaystyle \leq _{P}}$

Примеры упорядоченных полей

Примеры упорядоченных полей:

• поле рациональных чисел с его стандартным порядком (который также является его единственным порядком); ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• поле действительных чисел с его стандартным порядком (который также является его единственным порядком); ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• любое подполе упорядоченного поля, например, действительных алгебраических чисел или вычислимых чисел , становится упорядоченным полем путем ограничения упорядочения подполем;
• поле рациональных функций , где и являются многочленами с рациональными коэффициентами и , можно превратить в упорядоченное поле, зафиксировав действительное трансцендентное число и определив тогда и только тогда, когда . Это эквивалентно вложению в via и ограничению упорядочения до упорядочения образа . Таким образом, мы получаем много различных упорядочений . ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle p(x)/q(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle q(x)\neq 0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle p(x)/q(x)>0}$ ${\displaystyle p(\alpha )/q(\alpha )>0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$
• поле рациональных функций , где и являются многочленами с действительными коэффициентами и , можно превратить в упорядоченное поле, определив его так, чтобы оно означало, что , где и являются старшими коэффициентами и , соответственно. Эквивалентно: для рациональных функций мы имеем тогда и только тогда, когда для всех достаточно больших . В этом упорядоченном поле многочлен больше любого постоянного многочлена и упорядоченное поле не является архимедовым . ${\displaystyle \mathbb {R} (x)}$ ${\displaystyle p(x)/q(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle q(x)\neq 0}$ ${\displaystyle p(x)/q(x)>0}$ ${\displaystyle p_{n}/q_{m}>0}$ ${\displaystyle p_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle q_{m}\neq 0}$ ${\displaystyle p(x)=p_{n}x^{n}+\dots +p_{0}}$ ${\displaystyle q(x)=q_{m}x^{m}+\dots +q_{0}}$ ${\displaystyle f(x),g(x)\in \mathbb {R} (x)}$ ${\displaystyle f(x)<g(x)}$ ${\displaystyle f(t)<g(t)}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(x)=x}$
• Поле формальных рядов Лорана с действительными коэффициентами, где x считается бесконечно малым и положительным ${\displaystyle \mathbb {R} ((x))}$
• транссерия​
• реальные закрытые поля
• сверхреальные числа
• гиперреальные числа

Сюрреалистические числа образуют правильный класс , а не множество , но в остальном подчиняются аксиомам упорядоченного поля. Каждое упорядоченное поле может быть встроено в сюрреалистические числа.

Свойства упорядоченных полей

Собственность ${\displaystyle a>0\land x<y\Rightarrow ax<ay}$

Собственность ${\displaystyle x<y\Rightarrow a+x<a+y}$

Для каждого a , b , c , d в F :

• Либо − a ≤ 0 ≤ a , либо a ≤ 0 ≤ − a .
• Можно «складывать неравенства»: если a ≤ b и c ≤ d , то a + c ≤ b + d .
• Можно «умножать неравенства с положительными элементами»: если a ≤ b и 0 ≤ c , то ac ≤ bc .
• «Умножение на отрицательные числа меняет знак неравенства»: если a ≤ b и c ≤ 0, то ac ≥ bc .
• Если a < b и a , b > 0, то 1/ b < 1/ a .
• Квадраты неотрицательны: 0 ≤ a ² для всех a из F. В частности, поскольку 1=1 ² , то 0 ≤ 1. Поскольку 0 ≠ 1, то заключаем, что 0 < 1.
• Упорядоченное поле имеет характеристику 0. (Поскольку 1 > 0, то 1 + 1 > 0, а 1 + 1 + 1 > 0 и т. д., и никакая конечная сумма единиц не может быть равна нулю.) В частности, конечные поля не могут быть упорядочены.
• Каждая нетривиальная сумма квадратов не равна нулю. Эквивалентно: ^{[2] [3]} ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}=0\;\Longrightarrow \;\forall k\;\colon a_{k}=0.}$

Каждое подполе упорядоченного поля также является упорядоченным полем (наследующим индуцированный порядок). Наименьшее подполе изоморфно рациональным числам ( как и для любого другого поля характеристики 0), и порядок в этом рациональном подполе такой же, как порядок самих рациональных чисел.

Если каждый элемент упорядоченного поля лежит между двумя элементами его рационального подполя, то поле называется архимедовым . В противном случае такое поле является неархимедовым упорядоченным полем и содержит бесконечно малые . Например, действительные числа образуют архимедово поле, но гипердействительные числа образуют неархимедово поле, поскольку оно расширяет действительные числа элементами, большими, чем любое стандартное натуральное число . ^[4]

Упорядоченное поле F изоморфно полю действительных чисел R тогда и только тогда, когда каждое непустое подмножество F с верхней границей в F имеет наименьшую верхнюю границу в  F. Это свойство подразумевает, что поле является архимедовым.

Векторные пространства над упорядоченным полем

Векторные пространства (в частности, n -пространства ) над упорядоченным полем демонстрируют некоторые специальные свойства и имеют некоторые специфические структуры, а именно: ориентацию , выпуклость и положительно определенное скалярное произведение . См. Realordinate space#Geometric properties and uses для обсуждения тех свойств R ⁿ , которые могут быть обобщены на векторные пространства над другими упорядоченными полями.

Упорядочиваемость полей

Каждое упорядоченное поле является формально действительным полем , т.е. 0 не может быть записан в виде суммы ненулевых квадратов. ^{[2] [3]}

Наоборот, каждое формально действительное поле может быть снабжено совместимым полным порядком, который превратит его в упорядоченное поле. (Этот порядок не обязательно должен быть определен однозначно.) Доказательство использует лемму Цорна . ^[5]

Конечные поля и, в более общем смысле, поля положительной характеристики не могут быть превращены в упорядоченные поля, как показано выше. Комплексные числа также не могут быть превращены в упорядоченное поле, так как −1 является квадратом мнимой единицы i . Также p -адические числа не могут быть упорядочены, так как согласно лемме Гензеля Q ₂ содержит квадратный корень из −7, таким образом 1 ²  + 1 ²  + 1 ²  + 2 ²  +  √ −7 ²  = 0, а Q _p ( p  > 2) содержит квадратный корень из 1 −  p , таким образом ( p  − 1)⋅1 ²  +  √ 1 −  p ²  = 0. ^[6]

Топология, индуцированная порядком

Если F снабжено топологией порядка, вытекающей из полного порядка ≤, то аксиомы гарантируют, что операции + и × непрерывны , так что F является топологическим полем .

топология Харрисона

Топология Харрисона — это топология на множестве упорядочений X _F формально вещественного поля F . Каждый порядок можно рассматривать как мультипликативный групповой гомоморфизм из F ^∗ на ±1. Задание ±1 дискретной топологии и ±1 ^F топологии произведения индуцирует топологию подпространства на X _F . Множества Харрисона образуют подбазис для топологии Харрисона. Произведение — это булево пространство ( компактное , хаусдорфово и вполне несвязное ), а X _F — замкнутое подмножество, следовательно, снова булево. ^{[7] [8]} ${\displaystyle H(a)=\{P\in X_{F}:a\in P\}}$

Вентиляторы и суперупорядоченные поля

Веер на F — это предупорядочение T со свойством, что если S — подгруппа индекса 2 в F ^∗ , содержащая T  − {0} и не содержащая −1, то S — упорядочение (то есть S замкнуто относительно сложения). ^[9] Сверхупорядоченное поле — это полностью вещественное поле , в котором множество сумм квадратов образует веер. ^[10]

Смотрите также

• Линейно упорядоченная группа  – группа с трансляционно инвариантным полным порядком; т.е. если a ≤ b, то ca ≤ cb
• Упорядоченная группа  – Группа с совместимым частичным порядкомPages displaying short descriptions of redirect targets
• Упорядоченное кольцо  – кольцо с совместимым общим порядкомPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Упорядоченное векторное пространство  – векторное пространство с частичным порядком
• Частично упорядоченное кольцо  – Кольцо с совместимым частичным порядком
• Частично упорядоченное пространство  – Частично упорядоченное топологическое пространство
• Поле предварительного порядка  – алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Пространство Рисса  – Частично упорядоченное векторное пространство, упорядоченное как решетка.

Примечания

1. Lam (2005) стр. 289
2. Lam (2005) стр. 41
3. Lam (2005) стр. 232
4. Бэр, Жак; Анри, Валери. «Неявная дифференциация с помощью микроскопов» (PDF) . Льежский университет . Получено 04.05.2013 .
5. Лэм (2005) стр. 236
6. Квадраты квадратных корней √ −7 и √ 1 −  p лежат в Q , но < 0, так что эти корни не могут находиться в Q, а это значит, что их p -адические разложения не являются периодическими.
7. Лэм (2005) стр. 271
8. Лэм (1983) стр. 1–2
9. Лэм (1983) стр. 39
10. Лэм (1983) стр. 45

Ссылки

• Лэм, TY (1983), Упорядочения, оценки и квадратичные формы , CBMS Regional Conference Series in Mathematics, т. 52, Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0702-1, ЗБЛ  0516.12001
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . Том 67. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. Збл  1068.11023.
• Ланг, Серж (1993), Алгебра (третье изд.), Чтение, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, ЗБЛ  0848.13001