Радиационное затухание

Способ фокусировки пучка заряженных частиц

Радиационное затухание в физике ускорителей — явление, при котором бетатронные колебания и продольные колебания частицы затухают из-за потери энергии синхротронным излучением . Его можно использовать для уменьшения эмиттанса пучка высокоскоростных заряженных частиц .

Два основных способа использования радиационного гашения для уменьшения эмиттанса пучка частиц — это использование ондуляторов и демпфирующих колец (часто содержащих ондуляторы), оба из которых основаны на одном и том же принципе: индуцировании синхротронного излучения для уменьшения импульса частиц, а затем замене импульса только в желаемом направлении движения.

Демпфирующие кольца

Поскольку частицы движутся по замкнутой орбите, боковое ускорение заставляет их испускать синхротронное излучение , тем самым уменьшая размер их векторов импульса (относительно проектной орбиты) без изменения их ориентации (игнорируя квантовые эффекты на данный момент). В продольном направлении потеря импульса частицы из-за излучения заменяется ускоряющими секциями ( РЧ-резонаторами ), которые устанавливаются на пути пучка таким образом, чтобы равновесие достигалось при проектной энергии ускорителя. Поскольку этого не происходит в поперечном направлении, где эмиттанс пучка увеличивается только за счет квантования потерь излучения (квантовые эффекты), поперечный равновесный эмиттанс пучка частиц будет меньше при больших потерях излучения по сравнению с малыми потерями излучения.

Поскольку высокие кривизны орбиты (малые радиусы кривизны) увеличивают испускание синхротронного излучения, демпфирующие кольца часто бывают небольшими. Если для заполнения большего накопительного кольца требуются длинные пучки с большим количеством сгустков частиц , демпфирующее кольцо может быть удлинено длинными прямыми секциями.

Ондуляторы и вигглеры

Когда требуется более быстрое затухание, чем может обеспечить витки, присущие кольцу затухания, обычно добавляют ондуляторные или виглерные магниты, чтобы вызвать больше синхротронного излучения. Это устройства с периодическими магнитными полями, которые заставляют частицы колебаться поперечно, что эквивалентно множеству небольших плотных витков. Они работают по тому же принципу, что и кольца затухания, и это колебание заставляет заряженные частицы испускать синхротронное излучение.

Множество малых поворотов в ондуляторе имеют то преимущество, что конус синхротронного излучения направлен в одном направлении, вперед. Это легче экранировать, чем широкий веер, создаваемый большим поворотом.

Потеря энергии

Мощность, излучаемая заряженной частицей, определяется обобщением формулы Лармора, выведенной Льенаром в 1898 году ^{[1] [2]}

${\displaystyle P={\frac {e^{2}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}\gamma ^{6}\left[({\dot {v}})^{2}-{\frac {({v}\times {\dot {v}})^{2}}{c^{2}}}\right]}$, где - скорость частицы, ускорение, e - элементарный заряд , диэлектрическая проницаемость вакуума , фактор Лоренца и скорость света. ${\displaystyle v=\beta c}$ ${\displaystyle {\dot {v}}={\frac {dv}{dt}}}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle c}$

Примечание:

${\displaystyle p=\gamma m_{0}v}$— импульс , — масса частицы. ${\displaystyle m_{0}}$

${\displaystyle {\frac {d\gamma }{dt}}=\gamma ^{3}{\frac {v.{\dot {v}}}{c^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=\gamma ^{3}{\frac {v.{\dot {v}}}{c^{2}}}m_{0}v+\gamma m_{0}{\dot {v}}}$

Линейные ускорители и радиочастотные резонаторы

В случае ускорения, параллельного продольной оси ( ), излучаемая мощность может быть рассчитана следующим образом: ${\displaystyle {v}\times {\dot {v}}=0}$

${\displaystyle {\frac {dp_{\parallel }}{dt}}=\gamma ^{3}m_{0}{\dot {v}}}$

Подстановка в формулу Лармора дает

${\displaystyle P_{\parallel }={\frac {e^{2}}{6\pi \epsilon _{0}{m_{0}}^{2}c^{3}}}\left({\frac {dp_{\parallel }}{dt}}\right)^{2}}$

Изгиб

В случае ускорения, перпендикулярного продольной оси ( ) ${\displaystyle {v}.{\dot {v}}=0}$

${\displaystyle {\frac {dp_{\perp }}{dt}}=\gamma m_{0}{\dot {v}}}$

Подстановка в формулу Лармора дает ( Подсказка: разложить на множители и использовать ${\displaystyle 1/(\gamma m_{0})^{2}}$ ${\displaystyle 1-v^{2}/c^{2}=1/\gamma ^{2}}$ )

${\displaystyle P_{\perp }={\frac {e^{2}\gamma ^{2}}{6\pi \epsilon _{0}{m_{0}}^{2}c^{3}}}\left({\frac {dp_{\perp }}{dt}}\right)^{2}}$

Используя магнитное поле, перпендикулярное скорости

${\displaystyle F_{\perp }={\frac {dp_{\perp }}{dt}}=ev\times B}$

${\displaystyle P_{\gamma }={\frac {e^{2}\gamma ^{2}}{6\pi \epsilon _{0}{m_{0}}^{2}c^{3}}}\left(e\beta cB\right)^{2}={\frac {e^{4}\beta ^{2}\gamma ^{2}B^{2}}{6\pi \epsilon _{0}{m_{0}}^{2}c}}={\frac {e^{4}}{6\pi \epsilon _{0}{m_{0}}^{4}c^{5}}}\beta ^{2}E^{2}B^{2}}$

Используя радиус кривизны и вставив его , получаем ${\displaystyle {\dot {v}}={\frac {\beta ^{2}c^{2}}{\rho }}}$ ${\displaystyle \gamma m_{0}{\dot {v}}}$ ${\displaystyle P_{\perp }}$

${\displaystyle P_{\gamma }={\frac {e^{2}c}{6\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\beta ^{4}\gamma ^{4}}{\rho ^{2}}}}$

Электрон

Вот несколько полезных формул для расчета мощности, излучаемой электроном, ускоренным магнитным полем, перпендикулярным скорости и . ^[3] ${\displaystyle \beta \approx 1}$

${\displaystyle P_{\gamma }={\frac {e^{4}}{6\pi \epsilon _{0}{m_{e}}^{4}c^{5}}}E^{2}B^{2}}$

где , - перпендикулярное магнитное поле, масса электрона. ${\displaystyle E=\gamma m_{e}c^{2}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle m_{e}}$

${\displaystyle P_{\gamma }={\frac {e^{2}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}{\frac {\gamma ^{4}}{\rho ^{2}}}}$

Используя классический радиус электрона ${\displaystyle r_{e}}$

${\displaystyle P_{\gamma }={\frac {2}{3}}{\frac {r_{e}c}{(m_{e}c^{2})^{3}}}{\frac {E^{4}}{\rho ^{2}}}={\frac {2}{3}}{\frac {r_{e}c}{m_{e}c^{2}}}{\frac {\gamma ^{2}E^{2}}{\rho ^{2}}}={\frac {2}{3}}r_{e}c{\frac {\gamma ^{3}E}{\rho ^{2}}}={\frac {2}{3}}r_{e}m_{e}c^{3}{\frac {\gamma ^{4}}{\rho ^{2}}}}$

где - радиус кривизны , ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho ={\frac {E}{ecB}}}$

${\displaystyle \rho }$также может быть получено из координат частиц (используя общую систему координат 6D фазового пространства x,x',y,y',s, ): ${\displaystyle \Delta p/p_{0}}$

${\displaystyle \rho =\left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|\approx {\frac {\Delta _{s}}{\sqrt {{\Delta _{x'}}^{2}+{\Delta _{y'}}^{2}}}}}$

Примечание: Поперечное магнитное поле часто нормируется с использованием жесткости магнита : ^[4] ${\displaystyle B\rho ={\frac {10^{9}}{c}}E_{[GeV]}\approx 3.3356E_{[GeV]}[Tm]}$

Разложение поля (с использованием ряда Laurent_series ): где — поперечное поле, выраженное в [T], напряженности мультипольного поля (косого и нормального), выраженные в , положение частицы и порядок мультиполя, k=0 для диполя, k=1 для квадруполя, k=2 для секступоля и т. д. ${\displaystyle {\frac {b_{y}+ib_{x}}{B\rho }}=\sum _{n=0}^{k}(ia_{n}+b_{n})(x+iy)^{n}}$ ${\displaystyle (b_{x},b_{y})}$ ${\displaystyle (a_{n},b_{n})}$ ${\displaystyle [m^{-n+1}]}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle k}$

Смотрите также

• Охлаждение пучка частиц

Ссылки

1. Фицпатрик, Ричард. Классический электромагнетизм (PDF) . стр. 299.
2. Уокер, RP CERN Accelerator School: Синхротронное излучение (PDF) .
3. http://www.slac.stanford.edu/pubs/slacreports/slac-r-121.html Архивировано 11.05.2015 на Wayback Machine Физика электронных накопительных колец: Введение Мэтта Сэндса
4. Движение частиц в гамильтоновом формализме (PDF) . 2019.

Внешние ссылки

• Домашняя страница демпфирующих колец SLAC, включая нетехническое описание демпфирующих колец SLAC .
• Исследования, касающиеся малого демпфирующего кольца для Международного линейного коллайдера, отчет, описывающий ограничения на минимальный размер демпфирующего кольца.