Диагональ

В геометрии отрезок, соединяющий две непоследовательные вершины многоугольника или многогранника.

Диагонали куба с длиной стороны 1. AC' (показано синим цветом) — это пространственная диагональ длиной , а AC (показано красным) — диагональ грани и имеет длину . ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

В геометрии диагональ — это отрезок , соединяющий две вершины многоугольника или многогранника , когда эти вершины не находятся на одном ребре . Неофициально любая наклонная линия называется диагональю. Слово диагональ происходит от древнегреческого διαγώνιος diagonios , ^[1] «от угла к углу» (от διά- dia- , «сквозь», «поперек» и γωνία gonia , «угол», связанного с gony «колено»); он использовался как Страбоном ^[2], так и Евклидом ^[3] для обозначения линии, соединяющей две вершины ромба или кубоида , [ ^4] и позже был принят в латынь как diagonus («наклонная линия»).

В матричной алгебре диагональ квадратной матрицы состоит из элементов на линии от верхнего левого угла до правого нижнего угла. Есть также много других нематематических применений.

Нематематическое использование

Стойка основных лесов на строительной площадке дома с диагональными распорками для сохранения конструкции.

В машиностроении диагональная распорка — это балка, используемая для крепления прямоугольной конструкции (например, строительных лесов ), чтобы противостоять сильным силам, воздействующим на нее; хотя диагональные скобки и называются диагональю, по практическим соображениям диагональные скобки часто не соединяются с углами прямоугольника.

Диагональные плоскогубцы представляют собой кусачки, режущие кромки которых пересекают заклепку под углом или «по диагонали», отсюда и название.

Диагональная найтовка — это тип найтова, используемый для соединения лонжеронов или шестов вместе и применяемый так, чтобы найтовы пересекали шесты под углом.

В ассоциативном футболе диагональная система управления — это метод, который судьи и помощники судьи используют, чтобы расположиться в одном из четырех квадрантов поля.

Полигоны

Применительно к многоугольнику диагональю называется отрезок , соединяющий любые две непоследовательные вершины. Следовательно, четырехугольник имеет две диагонали, соединяющие противоположные пары вершин. Для любого выпуклого многоугольника все диагонали находятся внутри многоугольника, но для входящих многоугольников некоторые диагонали находятся вне многоугольника.

Любой n -сторонний многоугольник ( n ≥ 3), выпуклый или вогнутый , имеет полные диагонали, поскольку каждая вершина имеет диагонали ко всем другим вершинам, кроме себя и двух соседних вершин, или n  - 3 диагоналей, и каждая диагональ является общей для двух вершин. . ${\displaystyle {\tfrac {n(n-3)}{2}}}$

В общем, правильный n -сторонний многоугольник имеет разные диагонали по длине, что соответствует шаблону 1,1,2,2,3,3... начиная с квадрата. ${\displaystyle \lfloor {\frac {n-2}{2}}\rfloor }$

Области, образованные диагоналями

В выпуклом многоугольнике , если никакие три диагонали не совпадают в одной точке внутри, количество областей, на которые диагонали делят внутреннюю часть, определяется выражением

${\displaystyle {\binom {n}{4}}+{\binom {n-1}{2}}={\frac {(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12)}{24}}.}$

Для n -угольников с n =3, 4, ... количество регионов равно ^[5]

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246...

Это последовательность OEIS A006522. ^[6]

Пересечения диагоналей

Если никакие три диагонали выпуклого многоугольника не совпадают в какой-либо точке внутри, количество внутренних пересечений диагоналей определяется как . ^{[7] [8]} Это справедливо, например, для любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон. Формула следует из того факта, что каждое пересечение однозначно определяется четырьмя концами двух пересекающихся диагоналей: количество пересечений, таким образом, равно количеству комбинаций n вершин по четыре одновременно. ${\displaystyle {\binom {n}{4}}}$

Правильные многоугольники

Хотя количество различных диагоналей в многоугольнике увеличивается с увеличением количества его сторон, длину любой диагонали можно вычислить.

В правильном n-угольнике с длиной стороны a длина x-й кратчайшей отдельной диагонали равна:

${\displaystyle \sin({\frac {\pi (x+1)}{n}})\csc({\frac {\pi }{n}})*a}$

Эта формула показывает, что по мере того, как число сторон приближается к бесконечности, длина x-й кратчайшей диагонали приближается к длине (x+1)a . Кроме того, формула кратчайшей диагонали упрощается в случае x = 1:

${\displaystyle \sin({\frac {2\pi }{n}})\csc({\frac {\pi }{n}})*a=2\cos({\frac {\pi }{n}})*a}$

Если количество сторон четное, самая длинная диагональ будет эквивалентна диаметру описанной окружности многоугольника, поскольку все длинные диагонали пересекаются друг с другом в центре многоугольника.

К особым случаям относятся:

Квадрат имеет две диагонали одинаковой длины, которые пересекаются в центре квадрата. Отношение диагонали к стороне равно ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414.}$

Правильный пятиугольник имеет пять диагоналей одинаковой длины. Отношение диагонали к стороне – это золотое сечение . ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618.}$

Правильный шестиугольник имеет девять диагоналей: шесть более коротких равны по длине; три более длинных равны друг другу по длине и пересекаются в центре шестиугольника. Отношение длинной диагонали к стороне равно 2, а отношение короткой диагонали к стороне равно . ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Правильный семиугольник имеет 14 диагоналей. Семь более коротких равны друг другу, а семь более длинных равны друг другу. Обратная сторона равна сумме обратных величин короткой и длинной диагонали.

Многогранники

Многогранник ( твёрдый объект в трёхмерном пространстве , ограниченный двумерными гранями ) может иметь два разных типа диагоналей: диагонали граней на различных гранях , соединяющие несмежные вершины на одной грани; и пространственные диагонали, полностью находящиеся внутри многогранника (за исключением концов вершин).

Высшие измерения

N-куб

Длины диагоналей n-мерного гиперкуба можно вычислить методом математической индукции . Самая длинная диагональ n-куба равна . Кроме того, существуют x -ые кратчайшие диагонали. Например, 5-куб будет иметь диагонали: ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle 2^{n-1}{\binom {n}{x+1}}}$

Общее количество диагоналей у него 416. В общем случае n-куб имеет общее количество диагоналей. Это следует из более общей формы, которая описывает общее количество граней и диагоналей пространства в выпуклых многогранниках. ^[9] Здесь v представляет количество вершин, а e представляет количество ребер. ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-n-1)}$ ${\displaystyle {\frac {v(v-1)}{2}}-e}$

Матрицы

Для квадратной матрицы диагональ (или главная диагональ , или главная диагональ ) — это диагональная линия элементов, идущая от верхнего левого угла к правому нижнему углу . ^{[10] [11] [12]} Для матрицы с индексом строки, указанным с помощью, и индексом столбца, указанным с помощью , это будут записи с . Например, единичную матрицу можно определить как имеющую элементы 1 на главной диагонали и нули в других местах: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle i=j}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

След матрицы — это сумма диагональных элементов.

Диагональ от верхнего правого до нижнего левого иногда называют малой диагональю или антидиагональю .

Внедиагональные записи — это те, которые не находятся на главной диагонали. Диагональная матрица — это матрица, все недиагональные элементы которой равны нулю. ^{[13] [14]}

Супердиагональный вход — это вход , расположенный непосредственно над и справа от главной диагонали. ^{[15] [16]} Точно так же, как диагональные элементы имеют , супердиагональные элементы имеют . Например, все ненулевые элементы следующей матрицы лежат на супердиагонали: ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle j=i}$ ${\displaystyle j=i+1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

Аналогично, субдиагональная запись — это запись, которая находится непосредственно под и слева от главной диагонали, то есть запись с . ^[17] Общие диагонали матрицы могут быть указаны индексом , измеренным относительно главной диагонали: главная диагональ имеет ; супердиагональ имеет ; субдиагональ имеет ; и вообще, -диагональ состоит из записей с . ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle j=i-1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k=-1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle j=i+k}$

Полосчатая матрица — это матрица, для которой ее ненулевые элементы ограничены диагональной полосой. В трехдиагональной матрице ненулевыми являются только элементы главной диагонали, наддиагонали и поддиагонали.

Геометрия

По аналогии подмножество декартова произведения X × X любого множества X с самим собой, состоящее из всех пар (x, x), называется диагональю и является графиком отношения равенства на X или, что то же самое, графиком отношения равенства на X или , что то же самое, графиком отношения равенства на X. тождественная функция от X до X. Это играет важную роль в геометрии; например, неподвижные точки отображения F из X в себя могут быть получены путем пересечения графика F с диагональю.

В геометрических исследованиях распространена идея пересечения диагонали сама с собой , но не напрямую, а путем ее возмущения внутри класса эквивалентности . На глубоком уровне это связано с эйлеровой характеристикой и нулями векторных полей . Например, окружность S ¹ имеет числа Бетти 1, 1, 0, 0, 0 и, следовательно, эйлерову характеристику 0. Геометрический способ выразить это состоит в том, чтобы посмотреть на диагональ двухтора S 1 ^xS 1 ^и заметить, что он может переместиться небольшим движением (θ, θ) в (θ, θ + ε). В общем, число пересечения графика функции с диагональю можно вычислить с использованием гомологии с помощью теоремы Лефшеца о неподвижной точке ; самопересечение диагонали является частным случаем тождественной функции.

Смотрите также

• Джордан в нормальной форме
• Основная диагональ
• Диагональный функтор

Примечания

1. Интернет-словарь этимологии
2. Страбон, География 2.1.36–37.
3. Евклид, Книга элементов 11, предложение 28.
4. Евклид, Книга элементов 11, предложение 38.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Диагональ многоугольника». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PolygonDiagonal.html
6. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A006522». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
7. Пунен, Бьорн; Рубинштейн, Михаил. «Количество точек пересечения диагоналей правильного многоугольника». СИАМ Дж. Дискретная математика . 11 (1998), вып. 1, 135–156; ссылка на версию на сайте Пунена
8. [1], начало в 2:10
9. «Подсчет диагоналей многогранника - доктора математики».
10. Бронсон (1970, стр. 2)
11. Херштейн (1964, стр. 239)
12. Неринг (1970, стр. 38)
13. Херштейн (1964, стр. 239)
14. Неринг (1970, стр. 38)
15. Бронсон (1970, стр. 203, 205)
16. Херштейн (1964, стр. 239)
17. Каллен (1966, стр. 114)

Рекомендации

• Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: Введение , Нью-Йорк: Academic Press , LCCN  70097490
• Каллен, Чарльз Г. (1966), Матрицы и линейные преобразования , Чтение: Аддисон-Уэсли , LCCN  66021267
• Херштейн, Индиана (1964), Темы алгебры , Уолтем: издательство Blaisdell, ISBN 978-1114541016
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN  76091646

Внешние ссылки

• Диагонали многоугольника с интерактивной анимацией
• Диагональ многоугольника из MathWorld .
• Диагональ матрицы из MathWorld .