Диапазон (статистика)

Концепция в статистике

В статистике диапазон набора данных — это разница между наибольшим и наименьшим значениями, ^[1] результат вычитания максимума и минимума выборки . Он выражается в тех же единицах , что и данные.

В описательной статистике диапазон – это размер наименьшего интервала , который содержит все данные и служит показателем статистической дисперсии . Поскольку он зависит только от двух наблюдений, он наиболее полезен для представления дисперсии небольших наборов данных. ^[2]

Для непрерывных случайных величин IID

Для n независимых и одинаково распределенных непрерывных случайных величин X ₁ , X ₂ , ..., X _n с кумулятивной функцией распределения G( x ) и функцией плотности вероятности g( x ) пусть T обозначает их диапазон, то есть , T= max( X ₁ , X ₂ , ..., X _n )- min( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ).

Распределение

Диапазон T имеет кумулятивную функцию распределения ^{[3] [4]}

${\displaystyle F(t)=n\int _{-\infty }^{\infty }g(x)[G(x+t)-G(x)]^{n-1}\,{\text{d}}x.}$

Гамбель отмечает, что «красота этой формулы полностью омрачена тем фактом, что, вообще говоря, мы не можем выразить G ( x  +  t ) через G ( x ), и что численное интегрирование является длительным и утомительным». ^{[3] : 385}

Если распределение каждого X _i ограничено справа (или слева), то асимптотическое распределение диапазона равно асимптотическому распределению наибольшего (наименьшего) значения. Для более общих распределений асимптотическое распределение можно выразить как функцию Бесселя . ^[3]

Моменты

Средний диапазон определяется выражением ^[5]

${\displaystyle n\int _{0}^{1}x(G)[G^{n-1}-(1-G)^{n-1}]\,{\text{d}}G}$

где x ( G ) — обратная функция. В случае, когда каждый из X _i имеет стандартное нормальное распределение , средний диапазон определяется выражением ^[6]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(1-(1-\Phi (x))^{n}-\Phi (x)^{n})\,{\text{d}}x.}$

Для непрерывных случайных величин, не относящихся к IID

Для n неидентично распределенных независимых непрерывных случайных величин X ₁ , X ₂ , ..., X _n с кумулятивными функциями распределения G ₁ ( x ), G ₂ ( x ), ..., G _n ( x ) и функциями плотности вероятности g ₁ ( x ), g ₂ ( x ), ..., g _n ( x ), диапазон имеет кумулятивную функцию распределения ^[4]

${\displaystyle F(t)=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }g_{i}(x)\prod _{j=1,j\neq i}^{n}[G_{j}(x+t)-G_{j}(x)]\,{\text{d}}x.}$

Для дискретных случайных величин IID

Для n независимых и одинаково распределенных дискретных случайных величин X ₁ , X ₂ , ..., X _n с кумулятивной функцией распределения G ( x ) и функцией вероятности g ( x ) диапазон X _i представляет собой диапазон выборки размер n из популяции с функцией распределения G ( x ). Без ограничения общности мы можем предположить , что носитель каждого X _i равен {1,2,3,..., N }, где N — целое положительное число или бесконечность. ^{[7] [8]}

Распределение

Диапазон имеет функцию массы вероятности ^{[7] [9] [10]}

${\displaystyle f(t)={\begin{cases}\sum _{x=1}^{N}[g(x)]^{n}&t=0\\[6pt]\sum _{x=1}^{N-t}\left({\begin{alignedat}{2}&[G(x+t)-G(x-1)]^{n}\\{}-{}&[G(x+t)-G(x)]^{n}\\{}-{}&[G(x+t-1)-G(x-1)]^{n}\\{}+{}&[G(x+t-1)-G(x)]^{n}\\\end{alignedat}}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1.\end{cases}}}$

Пример

Если мы предположим, что g ( x ) = 1/ N , дискретное равномерное распределение для всех x , то мы найдем ^{[9] [11]}

${\displaystyle f(t)={\begin{cases}{\frac {1}{N^{n-1}}}&t=0\\[4pt]\sum _{x=1}^{N-t}\left(\left[{\frac {t+1}{N}}\right]^{n}-2\left[{\frac {t}{N}}\right]^{n}+\left[{\frac {t-1}{N}}\right]^{n}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1.\end{cases}}}$

Вывод

Вероятность наличия определенного значения диапазона t может быть определена путем сложения вероятностей наличия двух выборок, отличающихся на t , и каждой другой выборки, имеющей значение между двумя крайними значениями. Вероятность того, что одна выборка будет иметь значение x, равна . Вероятность того, что другое значение t будет больше x , равна: ${\displaystyle ng(x)}$

${\displaystyle (n-1)g(x+t).}$

Вероятность того, что все остальные значения лежат между этими двумя крайностями, равна:

${\displaystyle \left(\int _{x}^{x+t}g(x)\,{\text{d}}x\right)^{n-2}=\left(G(x+t)-G(x)\right)^{n-2}.}$

Объединение трех вместе дает:

${\displaystyle f(t)=n(n-1)\int _{-\infty }^{\infty }g(x)g(x+t)[G(x+t)-G(x)]^{n-2}\,{\text{d}}x}$

Сопутствующие количества

Диапазон представляет собой конкретный пример статистики заказов . В частности, диапазон является линейной функцией статистики порядка, что приводит его в область действия L-оценки .

Смотрите также

• Математический портал

• Межквартильный размах
• Студенческий диапазон

Рекомендации

1. Джордж Вудбери (2001). Введение в статистику . Cengage Обучение. п. 74. ИСБН 0534377556.
2. Карин Вилджоэн (2000). Элементарная статистика: Том 2 . Пирсон Южная Африка. стр. 7–27. ISBN 186891075X.
3. EJ Gumbel (1947). «Распределение ареала». Анналы математической статистики . 18 (3): 384–412. дои : 10.1214/aoms/1177730387 . JSTOR  2235736.
4. Цимашенко, И.; Ноттенбелт, В.; Харрисон, П. (2012). «Управление изменчивостью в системах разделения-слияния». Методы и приложения аналитического и стохастического моделирования (PDF) . Конспекты лекций по информатике. Том. 7314. с. 165. дои : 10.1007/978-3-642-30782-9_12. ISBN 978-3-642-30781-2.
5. Х.О. Хартли ; Х.А. Дэвид (1954). «Универсальные границы среднего диапазона и экстремальных наблюдений». Анналы математической статистики . 25 (1): 85–99. дои : 10.1214/aoms/1177728848 . JSTOR  2236514.
6. БАК Типпетт (1925). «Об экстремальных особях и диапазоне образцов, взятых из нормальной популяции». Биометрика . 17 (3/4): 364–387. дои : 10.1093/biomet/17.3-4.364. JSTOR  2332087.
7. Эванс, DL; Лимис, LM; Дрю, Дж. Х. (2006). «Распределение статистики порядка для дискретных случайных величин с применением к начальной загрузке». ИНФОРМС Журнал по вычислительной технике . 18:19 . дои :10.1287/ijoc.1040.0105.
8. Ирвинг В. Берр (1955). «Расчет точного выборочного распределения диапазонов из дискретной совокупности». Анналы математической статистики . 26 (3): 530–532. дои : 10.1214/aoms/1177728500 . JSTOR  2236482.
9. Абдель-Ати, SH (1954). «Упорядоченные переменные в разрывных распределениях». Статистика Неерландики . 8 (2): 61–82. doi :10.1111/j.1467-9574.1954.tb00442.x.
10. Сиотани, М. (1956). «Порядковая статистика для дискретного случая с численным применением к биномиальному распределению». Летопись Института статистической математики . 8 : 95–96. дои : 10.1007/BF02863574.
11. Пол Р. Райдер (1951). «Распределение диапазона выборок из дискретной прямоугольной совокупности». Журнал Американской статистической ассоциации . 46 (255): 375–378. дои : 10.1080/01621459.1951.10500796. JSTOR  2280515.