В алгебраической геометрии дивизоры являются обобщением подмногообразий коразмерности -1 алгебраических многообразий . Широко используются два различных обобщения: дивизоры Картье и дивизоры Вейля (названные в честь Пьера Картье и Андре Вейля Дэвидом Мамфордом ). Оба выведены из понятия делимости в целых числах и полях алгебраических чисел .
Глобально каждое подмногообразие коразмерности 1 проективного пространства определяется исчезновением одного однородного многочлена ; напротив, подмногообразие коразмерности r не обязательно должно определяться только r уравнениями, когда r больше 1. (То есть, не каждое подмногообразие проективного пространства является полным пересечением .) Локально каждое подмногообразие коразмерности 1 гладкого многообразия может быть определено одним уравнением в окрестности каждой точки. Опять же, аналогичное утверждение неверно для подмногообразий более высокой коразмерности. В результате этого свойства большая часть алгебраической геометрии изучает произвольное многообразие, анализируя его подмногообразия коразмерности 1 и соответствующие линейные расслоения .
На особых многообразиях это свойство также может не выполняться, и поэтому необходимо различать подмногообразия коразмерности 1 и многообразия, которые можно локально определить одним уравнением. Первые являются дивизорами Вейля, а вторые — дивизорами Картье.
Топологически дивизоры Вейля играют роль классов гомологии , тогда как дивизоры Картье представляют классы когомологии . На гладком многообразии (или, в более общем случае, регулярной схеме ) результат, аналогичный двойственности Пуанкаре, утверждает, что дивизоры Вейля и Картье одинаковы.
Название «дивизор» восходит к работам Дедекинда и Вебера , которые показали значимость дедекиндовых областей для изучения алгебраических кривых . [1] Группа делителей на кривой ( свободная абелева группа, порожденная всеми делителями) тесно связана с группой дробных идеалов для дедекиндовой области.
Алгебраический цикл — это обобщение дивизора более высокой коразмерности; по определению, дивизор Вейля — это цикл коразмерности 1.
Риманова поверхность является одномерным комплексным многообразием , и поэтому ее подмногообразия коразмерности 1 имеют размерность 0. Группа дивизоров на компактной римановой поверхности X является свободной абелевой группой в точках X.
Эквивалентно, дивизор на компактной римановой поверхности X — это конечная линейная комбинация точек X с целыми коэффициентами. Степень дивизора на X — это сумма его коэффициентов.
Для любой ненулевой мероморфной функции f на X можно определить порядок стремления f к нулю в точке p в X , ord p ( f ). Это целое число, отрицательное, если f имеет полюс в p . Делитель ненулевой мероморфной функции f на компактной римановой поверхности X определяется как
что является конечной суммой. Делители вида ( f ) также называются главными делителями . Поскольку ( fg ) = ( f ) + ( g ), множество главных делителей является подгруппой группы делителей. Два делителя, отличающиеся главным делителем, называются линейно эквивалентными .
На компактной римановой поверхности степень главного дивизора равна нулю; то есть число нулей мероморфной функции равно числу полюсов, подсчитанных с кратностью. В результате степень хорошо определена на линейных классах эквивалентности дивизоров.
Если задан дивизор D на компактной римановой поверхности X , важно изучить комплексное векторное пространство мероморфных функций на X с полюсами, не превышающими заданные D , называемое H 0 ( X , O ( D )) или пространством сечений линейного расслоения, связанного с D . Степень D многое говорит о размерности этого векторного пространства. Например, если D имеет отрицательную степень, то это векторное пространство равно нулю (потому что мероморфная функция не может иметь больше нулей, чем полюсов). Если D имеет положительную степень, то размерность H 0 ( X , O ( mD )) линейно растет по m для достаточно больших m . Теорема Римана–Роха является более точным утверждением в этом направлении. С другой стороны, точная размерность H 0 ( X , O ( D )) для дивизоров D низкой степени является тонкой и не полностью определяется степенью D . Отличительные черты компактной римановой поверхности отражаются в этих размерностях.
Одним из ключевых дивизоров на компактной римановой поверхности является канонический дивизор . Чтобы определить его, сначала определяется дивизор ненулевой мероморфной 1-формы по приведенным выше схемам. Поскольку пространство мероморфных 1-форм является одномерным векторным пространством над полем мероморфных функций, любые две ненулевые мероморфные 1-формы дают линейно эквивалентные дивизоры. Любой дивизор в этом классе линейной эквивалентности называется каноническим дивизором X , K X . Род g дивизора X можно прочитать из канонического дивизора: а именно, K X имеет степень 2 g − 2. Ключевая трихотомия среди компактных римановых поверхностей X заключается в том, имеет ли канонический дивизор отрицательную степень (то есть X имеет род ноль), нулевую степень (род один) или положительную степень (род не менее 2). Например, это определяет, имеет ли X метрику Кэлера с положительной кривизной , нулевой кривизной или отрицательной кривизной. Канонический дивизор имеет отрицательную степень тогда и только тогда, когда X изоморфен сфере Римана CP 1 .
Пусть X — целочисленная локально нётерова схема . Простой делитель или неприводимый делитель на X — это целочисленная замкнутая подсхема Z коразмерности 1 в X. Делитель Вейля на X — это формальная сумма по простым делителям Z схемы X ,
где набор локально конечен. Если X квазикомпактно, локальная конечность эквивалентна конечности. Группа всех делителей Вейля обозначается Div( X ) . Делитель Вейля D эффективен, если все коэффициенты неотрицательны. Пишется D ≥ D′ , если разность D − D′ эффективна .
Например, делитель на алгебраической кривой над полем является формальной суммой конечного числа замкнутых точек. Делитель на Spec Z является формальной суммой простых чисел с целыми коэффициентами и, следовательно, соответствует ненулевому дробному идеалу в Q . Подобная характеристика верна для делителей на , где K — числовое поле.
Если Z ⊂ X — простой делитель, то локальное кольцо имеет размерность Крулля один. Если — ненулевой, то порядок исчезновения f вдоль Z , записанный как ord Z ( f ) , равен длине Эта длина конечна, [2] и она аддитивна относительно умножения, то есть ord Z ( fg ) = ord Z ( f ) + ord Z ( g ) . [3] Если k ( X ) — поле рациональных функций на X , то любой ненулевой f ∈ k ( X ) можно записать в виде частного g / h , где g и h находятся в , а порядок исчезновения f определяется как ord Z ( g ) − ord Z ( h ) . [4] При таком определении порядок исчезновения — это функция ord Z : k ( X ) × → Z . Если X нормально , то локальное кольцо является дискретным кольцом оценки , а функция ord Z является соответствующей оценкой. Для ненулевой рациональной функции f на X главный делитель Вейля, связанный с f, определяется как делитель Вейля
Можно показать, что эта сумма локально конечна и, следовательно, она действительно определяет делитель Вейля. Главный делитель Вейля, связанный с f, также обозначается ( f ) . Если f — регулярная функция, то ее главный делитель Вейля эффективен, но в общем случае это неверно. Аддитивность порядка исчезающей функции подразумевает, что
Следовательно, div является гомоморфизмом, и в частности его образ является подгруппой группы всех дивизоров Вейля.
Пусть X — нормальная интегральная нётерова схема. Каждый дивизор Вейля D определяет когерентный пучок на X. Конкретно его можно определить как подпучок пучка рациональных функций [5]
То есть, ненулевая рациональная функция f является сечением над U тогда и только тогда, когда для любого простого делителя Z, пересекающего U ,
где n Z — коэффициент Z в D. Если D — главный, то есть D — делитель рациональной функции g , то существует изоморфизм
поскольку является эффективным дивизором и, следовательно, является регулярным благодаря нормальности X . Обратно, если является изоморфным как -модуль, то D является главным. Отсюда следует, что D является локально главным тогда и только тогда, когда является обратимым; то есть является линейным расслоением.
Если D — эффективный делитель, соответствующий подсхеме X (например, D может быть приведенным делителем или простым делителем), то идеальный пучок подсхемы D равен Это приводит к часто используемой короткой точной последовательности,
Когомологии пучков этой последовательности показывают, что содержит информацию о том , являются ли регулярные функции на D ограничениями регулярных функций на X.
Также есть включение пучков
Это дает канонический элемент , а именно, образ глобального сечения 1. Это называется каноническим сечением и может быть обозначено s D . В то время как каноническое сечение является образом нигде не исчезающей рациональной функции, его образ в исчезает вдоль D , поскольку функции перехода исчезают вдоль D . Когда D является гладким дивизором Картье, коядро указанного выше включения может быть идентифицировано; см. #Дивизоры Картье ниже.
Предположим, что X — нормальная целочисленная разделенная схема конечного типа над полем. Пусть D — дивизор Вейля. Тогда — рефлексивный пучок ранга один , и поскольку определяется как его подпучок, то является дробным идеальным пучком (см. ниже). Наоборот, каждый рефлексивный пучок ранга один соответствует дивизору Вейля: Пучок можно ограничить регулярным локусом, где он становится свободным и, таким образом, соответствует дивизору Картье (снова см. ниже), и поскольку сингулярный локус имеет коразмерность не менее двух, замыкание дивизора Картье является дивизором Вейля.
Группа классов дивизоров Вейля Cl( X ) является частным от деления Div( X ) на подгруппу всех главных дивизоров Вейля. Два дивизора называются линейно эквивалентными , если их разность является главной, поэтому группа классов дивизоров является группой дивизоров по модулю линейной эквивалентности. Для многообразия X размерности n над полем группа классов дивизоров является группой Чжоу ; а именно, Cl( X ) является группой Чжоу CH n −1 ( X ) ( n −1)-мерных циклов.
Пусть Z — замкнутое подмножество X. Если Z неприводимо коразмерности один, то Cl( X − Z ) изоморфно фактор-группе Cl( X ) по классу Z. Если Z имеет коразмерность не менее 2 в X , то ограничение Cl( X ) → Cl( X − Z ) является изоморфизмом. [6] (Эти факты являются частными случаями последовательности локализации для групп Чжоу.)
На нормальной целочисленной нётеровой схеме X два дивизора Вейля D , E линейно эквивалентны тогда и только тогда, когда и изоморфны как -модули. Классы изоморфизма рефлексивных пучков на X образуют моноид с произведением, заданным как рефлексивная оболочка тензорного произведения. Затем определяет изоморфизм моноида из группы классов дивизоров Вейля X в моноид классов изоморфизма рефлексивных пучков ранга один на X .
Пусть X — нормальное многообразие над совершенным полем . Гладкое множество U многообразия X — это открытое подмножество, дополнение которого имеет коразмерность не менее 2. Пусть j : U → X — отображение включения, тогда гомоморфизм ограничения:
является изоморфизмом, поскольку X − U имеет коразмерность не менее 2 в X . Например, этот изоморфизм можно использовать для определения канонического дивизора K X множества X : это дивизор Вейля (с точностью до линейной эквивалентности), соответствующий линейному расслоению дифференциальных форм высшей степени на U . Эквивалентно, пучок на X является пучком прямого образа, где n — размерность X .
Пример : Пусть X = P n — проективное n -пространство с однородными координатами x 0 , ..., x n . Пусть U = { x 0 ≠ 0}. Тогда U изоморфно аффинному n -пространству с координатами y i = x i / x 0 . Пусть
Тогда ω является рациональной дифференциальной формой на U ; таким образом, это рациональное сечение , которое имеет простые полюса вдоль Z i = { x i = 0}, i = 1, ..., n . Переключение на другую аффинную карту меняет только знак ω, и поэтому мы видим, что ω также имеет простой полюс вдоль Z 0 . Таким образом, делитель ω равен
и его класс делителей равен
где [ H ] = [ Z i ], i = 0, ..., n . (См. также последовательность Эйлера .)
Пусть X — интегральная нётерова схема. Тогда X имеет пучок рациональных функций Все регулярные функции являются рациональными функциями, что приводит к короткой точной последовательности
Делитель Картье на X — это глобальная секция Эквивалентное описание таково, что делитель Картье — это коллекция , где — открытая крышка — это секция и так далее вплоть до умножения на секцию
Дивизоры Картье также имеют описание в теории пучков. Дробный идеальный пучок является подмодулем Дробный идеальный пучок J обратим , если для каждого x в X существует открытая окрестность U точки x , на которой ограничение J на U равно , где и произведение берется в Каждый дивизор Картье определяет обратимый дробный идеальный пучок, используя описание дивизора Картье как набора , и наоборот, обратимые дробные идеальные пучки определяют дивизоры Картье. Если дивизор Картье обозначается D , то соответствующий дробный идеальный пучок обозначается или L ( D ).
Согласно точной последовательности, приведенной выше, существует точная последовательность групп когомологий пучков :
Дивизор Картье называется главным, если он находится в образе гомоморфизма , то есть если он является делителем рациональной функции на X. Два дивизора Картье линейно эквивалентны, если их разность является главной. Каждое линейное расслоение L на целочисленной нётеровой схеме X является классом некоторого дивизора Картье. В результате точная последовательность выше отождествляет группу Пикара линейных расслоений на целочисленной нётеровой схеме X с группой дивизоров Картье по модулю линейной эквивалентности. Это справедливо в более общем случае для редуцированных нётеровых схем или для квазипроективных схем над нётеровым кольцом [12], но может не выполняться в общем случае (даже для собственных схем над C ), что снижает интерес к дивизорам Картье в полной общности. [13]
Предположим, что D — эффективный делитель Картье. Тогда существует короткая точная последовательность
Эта последовательность выводится из короткой точной последовательности, связывающей структурные пучки X и D и идеальный пучок D . Поскольку D является дивизором Картье, является локально свободным, и, следовательно, тензорирование этой последовательности на дает другую короткую точную последовательность, указанную выше. Когда D гладкий, является нормальным расслоением D в X .
Дивизор Вейля D называется дивизором Картье тогда и только тогда, когда пучок обратим. Когда это происходит, (с его вложением в M X ) является линейным расслоением, связанным с дивизором Картье. Точнее, если обратимо, то существует открытое покрытие { U i } такое, что ограничивается до тривиального расслоения на каждом открытом множестве. Для каждого U i выберите изоморфизм Образ при этом отображении является сечением на U i . Поскольку определено как подпучок пучка рациональных функций, образ 1 может быть отождествлен с некоторой рациональной функцией f i . Тогда набор является дивизором Картье. Это хорошо определено, потому что единственными задействованными выборами были покрытие и изоморфизм, ни один из которых не меняет дивизор Картье. Этот дивизор Картье может быть использован для получения пучка, который для отличия мы будем обозначать L ( D ). Существует изоморфизм с L ( D ), определяемый работой над открытым покрытием { U i }. Ключевым фактом для проверки здесь является то, что функции перехода и L ( D ) совместимы, и это равносильно тому, что все эти функции имеют вид
В противоположном направлении дивизор Картье на целочисленной нётеровой схеме X естественным образом определяет дивизор Вейля на X , применяясь к функциям f i на открытых множествах U i .
Если X является нормальным, то делитель Картье определяется соответствующим делителем Вейля, а делитель Вейля является делителем Картье тогда и только тогда, когда он является локально главным.
Нётерова схема X называется факториальной, если все локальные кольца X являются уникальными областями факторизации . [5] (Некоторые авторы говорят «локально факториальная».) В частности, каждая регулярная схема является факториальной. [14] На факториальной схеме X каждый дивизор Вейля D является локально главным, и поэтому всегда является линейным расслоением. [7] В общем случае, однако, дивизор Вейля на нормальной схеме не обязательно должен быть локально главным; см. примеры квадратичных конусов выше.
Эффективные делители Картье — это те, которые соответствуют идеальным пучкам. Фактически, теория эффективных делителей Картье может быть разработана без какой-либо ссылки на пучки рациональных функций или дробные идеальные пучки.
Пусть X — схема. Эффективный дивизор Картье на X — это идеальный пучок I , который обратим и такой, что для каждой точки x в X стебель I x является главным. Это эквивалентно требованию, чтобы вокруг каждого x существовало открытое аффинное подмножество U = Spec A такое, что U ∩ D = Spec A / ( f ) , где f — ненулевой делитель в A . Сумма двух эффективных дивизоров Картье соответствует умножению идеальных пучков.
Существует хорошая теория семейств эффективных дивизоров Картье. Пусть φ : X → S — морфизм. Относительный эффективный дивизор Картье для X над S — это эффективный дивизор Картье D на X , который является плоским над S. Из-за предположения о плоскостности для каждого существует обратный путь D к , и этот обратный путь является эффективным дивизором Картье. В частности, это верно для слоев φ.
В качестве основного результата (большого) делителя Картье существует результат, называемый леммой Кодаиры: [15] [16]
Пусть X — неприводимое проективное многообразие , D — большой дивизор Картье на X , а H — произвольный эффективный дивизор Картье на X. Тогда
- .
для всех достаточно больших .
Лемма Кодаиры дает некоторые результаты о большом делителе.
Пусть φ : X → Y — морфизм целочисленных локально нётеровых схем. Часто — но не всегда — возможно использовать φ для переноса дивизора D из одной схемы в другую. Возможность этого зависит от того, является ли дивизор дивизором Вейля или Картье, следует ли перемещать дивизор из X в Y или наоборот, и какие дополнительные свойства может иметь φ.
Если Z — простой дивизор Вейля на X , то — замкнутая неприводимая подсхема Y . В зависимости от φ она может быть или не быть простым дивизором Вейля. Например, если φ — раздутие точки на плоскости, а Z — исключительный дивизор, то ее образ не является дивизором Вейля. Следовательно, φ * Z определяется как , если эта подсхема является простым дивизором, и определяется как делитель нуля в противном случае. Расширение этого по линейности, предполагая, что X квазикомпактно, определит гомоморфизм Div( X ) → Div( Y ), называемый pushforward . (Если X не квазикомпактно, то pushforward может не быть локально конечной суммой.) Это особый случай pushforward на группах Чжоу.
Если Z — дивизор Картье, то при умеренных гипотезах относительно φ существует обратный путь . С точки зрения теории пучков, когда есть отображение обратного пути , то этот обратный путь может быть использован для определения обратного пути дивизоров Картье. В терминах локальных сечений обратный путь определяется как . Обратный путь всегда определен, если φ является доминирующим, но его нельзя определить в общем случае. Например, если X = Z и φ — включение Z в Y , то φ * Z не определено, поскольку соответствующие локальные сечения будут везде равны нулю. (Однако обратный путь соответствующего линейного расслоения определен.)
Если φ плоский, то определен пулбэк дивизоров Вейля. В этом случае пулбэк Z равен φ * Z = φ −1 ( Z ) . Плоскость φ гарантирует, что прообраз Z продолжает иметь коразмерность один. Это может не сработать для морфизмов, которые не являются плоскими, например, для небольшого сжатия.
Для целочисленной нётеровой схемы X естественный гомоморфизм из группы дивизоров Картье в группу дивизоров Вейля даёт гомоморфизм
известный как первый класс Черна . [17] [18] Первый класс Черна является инъективным, если X является нормальным, и является изоморфизмом, если X является факториальным (как определено выше). В частности, дивизоры Картье могут быть отождествлены с дивизорами Вейля на любой регулярной схеме, и поэтому первый класс Черна является изоморфизмом для X регулярного.
Явно первый класс Черна может быть определен следующим образом. Для линейного расслоения L на целочисленной нётеровой схеме X пусть s будет ненулевым рациональным сечением L (то есть сечением на некотором непустом открытом подмножестве L ), которое существует в силу локальной тривиальности L . Определим дивизор Вейля ( s ) на X по аналогии с дивизором рациональной функции. Тогда первый класс Черна L может быть определен как дивизор ( s ). Изменение рационального сечения s изменяет этот делитель по линейной эквивалентности, поскольку ( fs ) = ( f ) + ( s ) для ненулевой рациональной функции f и ненулевого рационального сечения s из L . Таким образом, элемент c 1 ( L ) в Cl( X ) корректно определен.
Для комплексного многообразия X размерности n , не обязательно гладкого или собственного над C , существует естественный гомоморфизм, отображение циклов , из группы классов дивизоров в гомологии Бореля–Мура :
Последняя группа определяется с помощью пространства X ( C ) комплексных точек X с его классической (евклидовой) топологией. Аналогично, группа Пикара отображается в интегральные когомологии с помощью первого класса Черна в топологическом смысле:
Два гомоморфизма связаны коммутативной диаграммой , где правое вертикальное отображение является произведением с фундаментальным классом X в гомологиях Бореля–Мура:
Для X, гладкого над C , оба вертикальных отображения являются изоморфизмами.
Дивизор Картье эффективен , если его локальные определяющие функции f i являются регулярными (а не просто рациональными функциями). В этом случае дивизор Картье можно отождествить с замкнутой подсхемой коразмерности 1 в X , подсхемой, определяемой локально как f i = 0. Дивизор Картье D линейно эквивалентен эффективному дивизору тогда и только тогда, когда его ассоциированное линейное расслоение имеет ненулевое глобальное сечение s ; тогда D линейно эквивалентно нулевому локусу s .
Пусть X — проективное многообразие над полем k . Тогда умножение глобального сечения на ненулевой скаляр в k не меняет его нулевого локуса. В результате проективное пространство прямых в k -векторном пространстве глобальных сечений H 0 ( X , O ( D )) можно отождествить с множеством эффективных дивизоров, линейно эквивалентных D , называемым полной линейной системой D . Проективное линейное подпространство этого проективного пространства называется линейной системой дивизоров .
Одной из причин изучения пространства глобальных сечений линейного расслоения является понимание возможных отображений из данного многообразия в проективное пространство. Это существенно для классификации алгебраических многообразий. Явно, морфизм из многообразия X в проективное пространство P n над полем k определяет линейное расслоение L на X , обратный образ стандартного линейного расслоения на P n . Более того, L поставляется с n +1 секциями, базисное множество которых (пересечение их нулевых множеств) пусто. Наоборот, любое линейное расслоение L с n +1 глобальными секциями, общее базисное множество которых пусто, определяет морфизм X → P n . [19] Эти наблюдения приводят к нескольким понятиям положительности для дивизоров Картье (или линейных расслоений), таким как обильные дивизоры и nef-дивизоры . [20]
Для дивизора D на проективном многообразии X над полем k векторное пространство H 0 ( X , O ( D )) имеет конечную размерность. Теорема Римана–Роха является фундаментальным инструментом для вычисления размерности этого векторного пространства, когда X является проективной кривой. Последовательные обобщения, теорема Хирцебруха–Римана–Роха и теорема Гротендика–Римана–Роха , дают некоторую информацию о размерности H 0 ( X , O ( D )) для проективного многообразия X любой размерности над полем.
Поскольку канонический дивизор внутренне связан с многообразием, ключевую роль в классификации многообразий играют отображения в проективное пространство, заданные K X и его положительными кратными. Размерность Кодаиры X является ключевым бирациональным инвариантом, измеряющим рост векторных пространств H 0 ( X , mK X ) (то есть H 0 ( X , O ( mK X ))) по мере увеличения m . Размерность Кодаиры делит все n -мерные многообразия на n +2 класса, которые (очень грубо) идут от положительной кривизны до отрицательной кривизны.
Пусть X — нормальное многообразие. Q -дивизор (Вейля) — это конечная формальная линейная комбинация неприводимых подмногообразий коразмерности 1 многообразия X с рациональными коэффициентами. ( R -дивизор определяется аналогично.) Q -дивизор эффективен , если коэффициенты неотрицательны. Q -дивизор D является Q-Картье, если mD является дивизором Картье для некоторого положительного целого числа m . Если X гладко, то каждый Q -дивизор является Q -Картье.
Если
является делителем Q , то его округление вниз является делителем
где — наибольшее целое число, меньшее или равное a . Пучок тогда определяется как
Теорема Лефшеца о гиперплоскости подразумевает, что для гладкого комплексного проективного многообразия X размерности не менее 4 и гладкого обильного дивизора Y в X ограничение Pic( X ) → Pic( Y ) является изоморфизмом. Например, если Y — гладкое многообразие полного пересечения размерности не менее 3 в комплексном проективном пространстве, то группа Пикара Y изоморфна Z , порожденной ограничением линейного расслоения O (1) на проективное пространство.
Гротендик обобщил теорему Лефшеца в нескольких направлениях, включая произвольные базовые поля, сингулярные многообразия и результаты о локальных кольцах, а не о проективных многообразиях. В частности, если R — локальное кольцо полного пересечения , которое факторно в коразмерности не более 3 (например, если нерегулярное множество R имеет коразмерность не менее 4), то R — уникальная факторизационная область (и, следовательно, каждый дивизор Вейля на Spec( R ) — это Картье). [21] Ограниченная здесь размерность является оптимальной, как показано на примере 3-мерного квадратичного конуса выше.