Приведенная стоимость

Экономическая концепция, обозначающая стоимость ожидаемого потока доходов, определенную на дату оценки.

В экономике и финансах текущая стоимость ( PV ) , также известная как текущая дисконтированная стоимость , представляет собой стоимость ожидаемого потока доходов, определенного на дату оценки. Текущая стоимость обычно меньше, чем будущая стоимость, поскольку деньги обладают потенциалом приносить проценты , характеристика, называемая временной стоимостью денег , за исключением периодов отрицательных процентных ставок, когда текущая стоимость будет равна или больше, чем будущая стоимость. . ^[1] Временную стоимость можно описать упрощенной фразой: «Доллар сегодня стоит больше, чем доллар завтра». Здесь «стоит больше» означает, что его ценность выше, чем завтра. Доллар сегодня стоит больше, чем доллар завтра, потому что доллар можно инвестировать и заработать проценты за день, в результате чего к завтрашнему дню общая сумма накопится до стоимости, превышающей доллар. Проценты можно сравнить с арендой . ^[2] Так же, как арендатор выплачивает арендодателю арендную плату без передачи права собственности на актив, проценты выплачивает кредитору заемщик, который получает доступ к деньгам на некоторое время, прежде чем вернуть их. Предоставляя заемщику доступ к деньгам, кредитор пожертвовал меновой стоимостью этих денег и получил за это компенсацию в виде процентов. Первоначальная сумма заемных средств (приведенная стоимость) меньше общей суммы денег, выплаченных кредитору.

Расчеты текущей стоимости, а также расчеты будущей стоимости используются для оценки кредитов , ипотечных кредитов , аннуитетов , фондов погашения , бессрочных контрактов , облигаций и многого другого. Эти расчеты используются для сравнения денежных потоков, которые происходят не одновременно, ^[1] поскольку время и даты должны быть согласованными, чтобы можно было сравнивать значения. При принятии решения о том, в какие проекты инвестировать, выбор может быть сделан путем сравнения соответствующей приведенной стоимости таких проектов посредством дисконтирования ожидаемых потоков доходов по соответствующей процентной ставке проекта или норме доходности . Следует выбрать проект с наибольшей текущей стоимостью, то есть наиболее ценный на сегодняшний день.

Фон

Если ему предлагается выбор между 100 долларами сегодня или 100 долларами через год и в течение всего года существует положительная реальная процентная ставка, разумный человек выберет 100 долларов сегодня. Экономисты описывают это как временное предпочтение . Временные предпочтения можно измерить, продав с аукциона безрисковые ценные бумаги, например векселя Казначейства США. Если банкнота в 100 долларов с нулевым купоном, подлежащая выплате через год, продается сейчас за 80 долларов, то 80 долларов — это текущая стоимость банкноты, которая через год будет стоить 100 долларов. Это связано с тем, что деньги можно положить на банковский счет или в любую другую (безопасную) инвестицию, которая принесет проценты в будущем.

У инвестора, у которого есть деньги, есть два варианта: потратить их прямо сейчас или сохранить. Но финансовая компенсация за их сохранение (а не за их трату) заключается в том, что денежная стоимость будет увеличиваться за счет сложных процентов , которые он или она получит от заемщика (банковского счета, на котором он хранит деньги).

Следовательно, чтобы оценить реальную стоимость суммы денег сегодня через определенный период времени, экономические агенты составляют сумму денег по заданной (процентной) ставке. В большинстве актуарных расчетов используется безрисковая процентная ставка , которая соответствует минимальной гарантированной ставке, предоставляемой, например, сберегательным счетом банка, при условии отсутствия риска невыполнения банком своих обязательств по возврату денег владельцу счета в срок. Для сравнения изменения покупательной способности следует использовать реальную процентную ставку ( номинальную процентную ставку минус уровень инфляции ).

Операция переоценки текущей стоимости в будущую называется капитализацией (сколько будут стоить сегодняшние 100 долларов через 5 лет?). Обратная операция — оценка текущей стоимости будущей суммы денег — называется дисконтированием (сколько будут стоить сегодня 100 долларов, полученные через 5 лет — например, в лотерее?).

Отсюда следует, что если нужно выбирать между получением 100 долларов сегодня и 100 долларов через год, рациональным решением будет выбрать 100 долларов сегодня. Если деньги должны быть получены в течение одного года и предполагается, что процентная ставка по сберегательному счету составляет 5%, человеку необходимо предложить как минимум 105 долларов в течение одного года, чтобы два варианта были эквивалентными (либо получение 100 долларов сегодня, либо получение 105 долларов через один год). год). Это связано с тем, что если 100 долларов положить на сберегательный счет, через год его стоимость составит 105 долларов, опять же при условии отсутствия риска потери первоначальной суммы из-за дефолта банка.

Процентные ставки

Проценты — это дополнительная сумма денег, полученная между началом и концом периода времени. Проценты представляют собой временную стоимость денег и могут рассматриваться как рента, которую требует заемщик для использования денег кредитора. ^{[2] [3]} Например, когда физическое лицо берет банковский кредит, с него взимаются проценты. Альтернативно, когда человек вкладывает деньги в банк, на эти деньги приносят проценты. В этом случае банк является заемщиком средств и несет ответственность за зачисление процентов владельцу счета. Аналогичным образом, когда физическое лицо инвестирует в компанию (через корпоративные облигации или акции ), компания занимает средства и должна выплачивать проценты физическому лицу (в форме купонных выплат, дивидендов или повышения цены акций). ^[1] Процентная ставка – это изменение, выраженное в процентах, суммы денег в течение одного периода начисления сложных процентов. Период начисления сложных процентов — это период времени, который должен пройти, прежде чем проценты будут зачислены или добавлены к общей сумме. ^[2] Например, проценты, начисляемые ежегодно, начисляются один раз в год, а период начисления сложных процентов составляет один год. Проценты, начисляемые ежеквартально, начисляются четыре раза в год, а период начисления сложных процентов составляет три месяца. Период начисления сложных процентов может быть любой продолжительности, но некоторые распространенные периоды — это год, полугодие, квартал, месяц, день и даже непрерывно.

Существует несколько типов и условий, связанных с процентными ставками:

• Сложные проценты , проценты, которые увеличиваются в геометрической прогрессии в течение последующих периодов.
• Простые проценты , аддитивные проценты, которые не увеличиваются.
• Эффективная процентная ставка , эффективный эквивалент по сравнению с несколькими периодами сложных процентов.
• Номинальный годовой процент , простая годовая процентная ставка для нескольких процентных периодов.
• Ставка дисконтирования , обратная процентная ставка при выполнении расчетов в обратном порядке.
• Непрерывно начисляемые проценты — математический предел процентной ставки с нулевым периодом времени.
• Реальная процентная ставка , учитывающая инфляцию.

Расчет

Операция оценки текущей суммы денег через некоторое время в будущем называется капитализацией (сколько будут стоить 100 сегодняшних денег через пять лет?). Обратная операция — оценка текущей стоимости будущей суммы денег — называется дисконтированием (сколько будут стоить сегодня 100, полученных через пять лет?). ^[3]

Электронные таблицы обычно предлагают функции для расчета текущей стоимости. В Microsoft Excel существуют функции текущей стоимости для одиночных платежей - "=NPV(...)" и серии равных периодических платежей - "=PV(...)". Программы будут гибко рассчитывать текущую стоимость для любого денежного потока и процентной ставки или для графика различных процентных ставок в разное время.

Текущая стоимость единовременной выплаты

Наиболее часто применяемая модель текущей оценки использует сложные проценты . Стандартная формула:

${\displaystyle PV={\frac {C}{(1+i)^{n}}}\,}$

Где - будущая сумма денег, которая должна быть дисконтирована, - количество периодов начисления сложных процентов между текущей датой и датой, когда сумма равна стоимости , - процентная ставка для одного периода начисления процентов (конец периода начисления процентов - это когда проценты применяется, например, ежегодно, полугодично, ежеквартально, ежемесячно, ежедневно). Процентная ставка дается в процентах, но в этой формуле выражается десятичной дробью. ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle \,n\,}$ ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle \,i\,}$ ${\displaystyle \,i\,}$

Часто его называют коэффициентом текущей стоимости ^[2]. ${\displaystyle v^{n}=\,(1+i)^{-n}}$

Это также можно найти по формуле будущего значения с отрицательным временем.

Например, если вы должны получить 1000 долларов США через пять лет, а эффективная годовая процентная ставка в течение этого периода составляет 10% (или 0,10), то текущая стоимость этой суммы равна

${\displaystyle PV={\frac {\$1000}{(1+0.10)^{5}}}=\$620.92\,}$

Интерпретация заключается в том, что при эффективной годовой процентной ставке 10% человек будет безразличен к получению 1000 долларов через пять лет или 620,92 доллара сегодня. ^[1]

Покупательная способность определенной суммы денег в сегодняшних деньгах на годы вперед может быть рассчитана по той же формуле, где в данном случае — предполагаемый будущий уровень инфляции . ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle \,n\,}$ ${\displaystyle \,i\,}$

Если мы используем более низкую ставку дисконтирования ( i ), то это позволяет текущим значениям в будущем скидок иметь более высокие значения.

Чистая приведенная стоимость потока денежных средств

Денежный поток — это сумма денег, которая либо выплачивается, либо получена, дифференцированная по отрицательному или положительному знаку, в конце периода. Традиционно полученные денежные потоки обозначаются положительным знаком (общая сумма денежных средств увеличилась), а выплачиваемые денежные потоки обозначаются отрицательным знаком (общая сумма денежных средств уменьшилась). Денежный поток за период представляет собой чистое изменение денежных средств за этот период. ^[3] Расчет чистой приведенной стоимости потока денежных средств состоит из дисконтирования каждого денежного потока до настоящего времени с использованием коэффициента приведенной стоимости и соответствующего количества периодов начисления процентов и объединения этих значений. ^[1] ${\displaystyle \,NPV\,}$

Например, если поток денежных средств состоит из +100 долларов США в конце первого периода, -50 долларов США в конце второго периода и +35 долларов США в конце третьего периода, а процентная ставка за период начисления процентов составляет 5% ( 0,05), то приведенная стоимость этих трех денежных потоков составит:

${\displaystyle PV_{1}={\frac {\$100}{(1.05)^{1}}}=\$95.24\,}$

${\displaystyle PV_{2}={\frac {-\$50}{(1.05)^{2}}}=-\$45.35\,}$

${\displaystyle PV_{3}={\frac {\$35}{(1.05)^{3}}}=\$30.23\,}$ соответственно

Таким образом, чистая приведенная стоимость составит:

${\displaystyle NPV=PV_{1}+PV_{2}+PV_{3}={\frac {100}{(1.05)^{1}}}+{\frac {-50}{(1.05)^{2}}}+{\frac {35}{(1.05)^{3}}}=95.24-45.35+30.23=80.12,}$

Есть несколько соображений, которые следует принять во внимание.

• Периоды могут быть не последовательными. Если это так, показатели степени изменятся, чтобы отразить соответствующее количество периодов.
• Процентные ставки за период могут не совпадать. Денежный поток должен быть дисконтирован с использованием процентной ставки за соответствующий период: если процентная ставка изменится, сумму необходимо дисконтировать до периода, в котором произошло изменение, с использованием второй процентной ставки, а затем дисконтировать обратно до настоящего времени с использованием первой процентной ставки. . ^[2] Например, если денежный поток для первого периода составляет 100 долларов США, а для второго периода — 200 долларов США, а процентная ставка для первого периода составляет 5%, а для второго периода — 10%, то чистая приведенная стоимость будет равна:

${\displaystyle NPV=100\,(1.05)^{-1}+200\,(1.10)^{-1}\,(1.05)^{-1}={\frac {100}{(1.05)^{1}}}+{\frac {200}{(1.10)^{1}(1.05)^{1}}}=\$95.24+\$173.16=\$268.40}$

• Процентная ставка обязательно должна совпадать со сроком выплаты. В противном случае необходимо изменить либо период платежа, либо процентную ставку. Например, если указанная процентная ставка является эффективной годовой процентной ставкой, но денежные потоки поступают (и/или выплачиваются) ежеквартально, необходимо рассчитать процентную ставку за квартал. Это можно сделать путем преобразования эффективной годовой процентной ставки в номинальную годовую процентную ставку, начисляемую ежеквартально: ${\displaystyle \,i\,}$

${\displaystyle (1+i)=\left(1+{\frac {i^{4}}{4}}\right)^{4}}$^[2]

Здесь – номинальная годовая процентная ставка, начисляемая ежеквартально, а процентная ставка за квартал равна ${\displaystyle i^{4}}$ ${\displaystyle {\frac {i^{4}}{4}}}$

Текущая стоимость аннуитета

Многие финансовые соглашения (включая облигации, другие кредиты, аренду, заработную плату, членские взносы, аннуитеты, включая аннуитеты с немедленным и аннуитетным сроком погашения, прямолинейные амортизационные отчисления) предусматривают структурированные графики платежей; выплаты одной и той же суммы через равные промежутки времени. Такое соглашение называется аннуитетом . Выражения для текущей стоимости таких платежей представляют собой сумму геометрических рядов .

Существует два типа аннуитетов: аннуитет-немедленный и аннуитет-срочный. Для немедленного аннуитета платежи поступают (или выплачиваются) в конце каждого периода в моменты времени от 1 до , тогда как для причитающегося аннуитета платежи поступают (или выплачиваются) в начале каждого периода в моменты времени от 0 до . ^[3] Эту тонкую разницу необходимо учитывать при расчете текущей стоимости. ${\displaystyle \,n\,}$ ${\displaystyle \,n\,}$ ${\displaystyle \,n\,}$ ${\displaystyle \,n-1\,}$

Причитающийся аннуитет представляет собой немедленный аннуитет с еще одним периодом получения процентов. Таким образом, две приведенные стоимости отличаются в раз : ${\displaystyle (1+i)}$

${\displaystyle PV_{\text{annuity due}}=PV_{\text{annuity immediate}}(1+i)\,\!}$^[2]

Текущая стоимость немедленного аннуитета представляет собой стоимость потока денежных средств в момент 0:

${\displaystyle PV=\sum _{k=1}^{n}{\frac {C}{(1+i)^{k}}}=C\left[{\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\right],\qquad (1)}$

где:

${\displaystyle \,n\,}$= количество периодов,

${\displaystyle \,C\,}$= сумма денежных потоков,

${\displaystyle \,i\,}$= эффективная периодическая процентная ставка или норма прибыли.

Приблизительные расчеты аннуитета и кредита

Приведенная выше формула (1) для немедленного расчета аннуитета мало что дает обычному пользователю и требует использования той или иной вычислительной техники. Существует приближение, которое менее устрашает, его легче вычислить и которое дает некоторое представление неспециалисту. Это определяется ^[4]

${\displaystyle C\approx PV\left({\frac {1}{n}}+{\frac {2}{3}}i\right)}$

Где, как указано выше, C — аннуитетный платеж, PV — основная сумма долга, n — количество платежей, начиная с конца первого периода, а i — процентная ставка за период. Эквивалентно C — это периодическое погашение кредита для кредита PV, рассчитанного на n периодов, по процентной ставке, т.е. Формула справедлива (при положительных n, i) при ni≤3. Для полноты, для ni≥3 приближение равно . ${\displaystyle C\approx PVi}$

При некоторых обстоятельствах формула может свести вычисления к одной лишь ментальной арифметике. Например, каковы (приблизительные) выплаты по кредиту в размере PV = 10 000 долларов США, выплачиваемому ежегодно в течение n = десяти лет под ставку 15% (i = 0,15)? Применимая приблизительная формула: C ≈ 10 000 * (1/10 + (2/3) 0,15) = 10 000 * (0,1 + 0,1) = 10 000 * 0,2 = 2000 долларов США в год только с помощью ментальной арифметики. Настоящий ответ — 1993 доллара, очень близко.

Общая аппроксимация имеет точность в пределах ±6% (для всех n≥1) для процентных ставок 0≤i≤0,20 и в пределах ±10% для процентных ставок 0,20≤i≤0,40. Однако он предназначен только для «грубых» расчетов.

Текущая стоимость бессрочного контракта

Бессрочная рента относится к периодическим платежам, подлежащим получению на неопределенный срок, хотя таких инструментов существует немного. Текущую стоимость бессрочной ренты можно рассчитать, взяв предел приведенной выше формулы, когда n приближается к бесконечности.

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {C}{i}}.\qquad (2)}$

Формулу (2) также можно найти, вычитая из (1) текущую стоимость бессрочного контракта с отсрочкой n периодов или непосредственно суммируя текущую стоимость платежей.

${\displaystyle PV=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {C}{(1+i)^{k}}}={\frac {C}{i}},\qquad i>0,}$

которые образуют геометрический ряд .

Опять же, существует различие между бессрочным немедленным платежом – когда платежи получены в конце периода – и бессрочным платежом – платежом, полученным в начале периода. Как и при расчете аннуитета, бессрочная рента и немедленная рента различаются в коэффициенте : ${\displaystyle (1+i)}$

${\displaystyle PV_{\text{perpetuity due}}=PV_{\text{perpetuity immediate}}(1+i)\,\!}$^[2]

PV облигации

См.: Оценка облигаций #Подход по текущей стоимости.

Корпорация выпускает облигацию , долговую ценную бумагу, приносящую процентный доход, инвестору для привлечения средств. ^[3] Облигация имеет номинальную стоимость , ставку купона и дату погашения, которая, в свою очередь, определяет количество периодов до наступления срока погашения долга и его погашения. Владелец облигации будет получать купонные выплаты раз в полгода (если не указано иное) в размере до погашения облигации, после чего владелец облигации получит окончательную купонную выплату и номинальную стоимость облигации . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle Fr}$ ${\displaystyle F(1+r)}$

Текущая стоимость облигации представляет собой цену покупки. ^[2] Покупную цену можно рассчитать как:

${\displaystyle PV=\left[\sum _{k=1}^{n}Fr(1+i)^{-k}\right]}$ ${\displaystyle +F(1+i)^{-n}}$

Цена покупки равна номинальной стоимости облигации, если купонная ставка равна текущей процентной ставке на рынке, и в этом случае говорят, что облигация продается «по номиналу». Если купонная ставка меньше рыночной процентной ставки, цена покупки будет меньше номинальной стоимости облигации, и говорят, что облигация была продана «со скидкой» или ниже номинала. Наконец, если ставка купона превышает рыночную процентную ставку, цена покупки будет выше номинальной стоимости облигации, и говорят, что облигация была продана «с премией» или выше номинала. ^[3]

Технические детали

Текущая стоимость является аддитивной . Текущая стоимость пакета денежных потоков представляет собой сумму приведенной стоимости каждого из них. См. временную стоимость денег для дальнейшего обсуждения. Эти расчеты следует применять осторожно, поскольку в их основе лежат допущения:

• Нет необходимости учитывать инфляцию цен или, альтернативно, стоимость инфляции включена в процентную ставку; см. Облигации, индексированные по инфляции .
• Высокая вероятность получения платежей или, альтернативно, риск дефолта включен в процентную ставку; см. Корпоративные облигации #Анализ рисков .

(Фактически, текущая стоимость денежного потока при постоянной процентной ставке математически равна одной точке преобразования Лапласа этого денежного потока, оцененного с помощью переменной преобразования (обычно обозначаемой «s»), равной процентной ставке. Полное преобразование Лапласа равно кривая всех приведенных стоимостей, построенная как функция процентной ставки. Для дискретного времени, когда платежи разделены большими периодами времени, преобразование сводится к сумме, но когда платежи происходят почти непрерывно, математика непрерывных функции можно использовать в качестве приближения.)

Варианты/подходы

Существует в основном две разновидности приведенной стоимости. Всякий раз, когда возникает неопределенность как в отношении сроков, так и в размере денежных потоков, подходящим методом часто является метод ожидаемой приведенной стоимости. Поскольку текущая стоимость находится в условиях неопределенности, будущие дивиденды заменяются их условным ожиданием.

• Традиционный подход по приведенной стоимости – в этом подходе для оценки справедливой стоимости будет использоваться один набор предполагаемых денежных потоков и одна процентная ставка (соразмерная риску, обычно средневзвешенное значение компонентов затрат).
• Подход на основе ожидаемой приведенной стоимости – в этом подходе для оценки справедливой стоимости используются несколько сценариев движения денежных средств с различными/ожидаемыми вероятностями и безрисковой ставкой, скорректированной с учетом кредитного риска.

Выбор процентной ставки

Используемая процентная ставка представляет собой безрисковую процентную ставку, если проект не сопряжен с рисками. Доходность проекта должна быть равна или превышать эту норму доходности, иначе было бы лучше инвестировать капитал в эти безрисковые активы. Если инвестиции сопряжены с риском, это можно отразить с помощью премии за риск . Требуемую премию за риск можно определить путем сравнения проекта с нормой доходности, требуемой от других проектов с аналогичными рисками. Таким образом, инвесторы могут принять во внимание любую неопределенность, связанную с различными инвестициями.

Метод оценки по текущей стоимости

Инвестор, кредитор денег, должен решить, в какой финансовый проект вложить свои деньги, и приведенная стоимость предлагает один из методов принятия решения. ^[1] Финансовый проект требует первоначальных денежных затрат, таких как цена акций или цена корпоративной облигации. Проект утверждает, что возвращает первоначальные затраты, а также некоторый излишек (например, проценты или будущие денежные потоки). Инвестор может решить, в какой проект инвестировать, рассчитав текущую стоимость каждого проекта (используя одну и ту же процентную ставку для каждого расчета), а затем сравнив их. Проект с наименьшей текущей стоимостью (наименьшими первоначальными затратами) будет выбран, поскольку он предлагает ту же прибыль, что и другие проекты, за наименьшую сумму денег. ^[2]

покупка на несколько лет

Традиционный метод оценки будущих потоков доходов как текущей суммы капитала заключается в умножении среднего ожидаемого годового денежного потока на кратное число, известное как «годовая покупка». Например, при продаже третьей стороне недвижимости, сданной в аренду арендатору по договору аренды сроком на 99 лет с арендной платой в размере 10 000 долларов США в год, может быть заключена сделка «покупка на 20 лет», при которой стоимость аренды составит 20*. 10 000 долларов, то есть 200 000 долларов. Это соответствует приведенной стоимости, дисконтированной на неограниченный срок в размере 5%. Для более рискованных инвестиций покупатель потребует оплатить покупку на меньшее количество лет. Этот метод использовался, например, английской короной при установлении цен перепродажи поместий, конфискованных при роспуске монастырей в начале 16 века. Стандартное использование - покупка на 20 лет. ^[5]

Смотрите также

• Бюджетирование капитала
• Дериватив (финансы)
• Пожизненная ценность
• Ликвидация
• Чистая приведенная стоимость

Рекомендации

1. Мойер, Чарльз; Уильям Кретлоу; Джеймс МакГиган (2011). Современный финансовый менеджмент (12-е изд.). Уинстед: Юго-Западная издательская компания, стр. 147–498. ISBN 9780538479172.
2. Броверман, Сэмюэл (2010). Математика инвестиций и кредита . Уинстед: Издательство ACTEX. стр. 4–229. ISBN 9781566987677.
3. Росс, Стивен; Рэндольф В. Вестерфилд; Брэдфорд Д. Джордан (2010). Основы корпоративных финансов (9-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 145–287. ISBN 9780077246129.
4. Свинглер, Д. Н., (2014), «Практическое правило расчета временной стоимости денег», Journal of Personal Finance , Vol. 13, Вып. 2, стр. 57-61.
5. Юингс, Джойс, «Монашеские земли Девона: Календарь подробностей грантов 1536–1558», Общество звукозаписи Девона и Корнуолла, новая серия , Том 1, 1955

дальнейшее чтение

• Хендерсон, Дэвид Р. (2008). "Приведенная стоимость". Краткая экономическая энциклопедия (2-е изд.). Индианаполис: Библиотека экономики и свободы . ISBN 978-0865976658. ОСЛК  237794267.