Диссипативный солитон

Диссипативные солитоны ( ДС ) — это устойчивые уединенные локализованные структуры, возникающие в нелинейных пространственно протяженных диссипативных системах за счет механизмов самоорганизации . Их можно рассматривать как расширение классической концепции солитона в консервативных системах. Альтернативная терминология включает автосолитоны, пятна и импульсы.

Помимо аспектов, схожих с поведением классических частиц, таких как образование связанных состояний, DS демонстрируют интересное поведение – например, рассеяние, создание и уничтожение – все без ограничений сохранения энергии или импульса. Возбуждение внутренних степеней свободы может привести к динамически стабилизированной собственной скорости или периодическим колебаниям формы.

Историческое развитие

Происхождение концепции солитона

DSs экспериментально наблюдались в течение длительного времени. Гельмгольц ^[1] измерил скорость распространения нервных импульсов в 1850 году. В 1902 году Леманн ^[2] обнаружил образование локализованных анодных пятен в длинных газоразрядных трубках. Тем не менее, термин «солитон» изначально был разработан в другом контексте. Отправной точкой было экспериментальное обнаружение «уединенных водных волн» Расселом в 1834 году. ^[3] Эти наблюдения инициировали теоретическую работу Рэлея ^[4] и Буссинеска ^[5] около 1870 года, которая в конечном итоге привела к приблизительному описанию таких волн Кортевегом и де Вризом в 1895 году; это описание сегодня известно как (консервативное) уравнение КдФ . ^[6]

На этом фоне термин « солитон » был придуман Забуски и Крускалом ^[7] в 1965 году. Эти авторы исследовали некоторые хорошо локализованные уединенные решения уравнения КдФ и назвали эти объекты солитонами. Среди прочего они продемонстрировали, что в одномерном пространстве существуют солитоны, например, в форме двух однонаправленно распространяющихся импульсов с разным размером и скоростью и демонстрирующих замечательное свойство, что число, форма и размер одинаковы до и после столкновения.

Гарднер и др. ^[8] ввели метод обратной задачи рассеяния для решения уравнения КдФ и доказали, что это уравнение полностью интегрируемо . В 1972 году Захаров и Шабат ^[9] нашли еще одно интегрируемое уравнение, и в конце концов оказалось, что метод обратной задачи рассеяния можно успешно применять к целому классу уравнений (например, нелинейным уравнениям Шредингера и синус-Гордона ). С 1965 по 1975 год было достигнуто общее соглашение: зарезервировать термин солитон для импульсно-подобных уединенных решений консервативных нелинейных уравнений в частных производных, которые можно решить с помощью метода обратной задачи рассеяния.

Слабо и сильнодиссипативные системы

С ростом знаний о классических солитонах появилась перспектива возможной технической применимости, наиболее перспективной из которых в настоящее время является передача оптических солитонов по стеклянным волокнам с целью передачи данных . В отличие от консервативных систем, солитоны в волокнах рассеивают энергию, и этим нельзя пренебречь в промежуточных и длительных временных масштабах. Тем не менее, концепция классического солитона все еще может использоваться в том смысле, что в краткосрочных временных масштабах можно пренебречь рассеиванием энергии. В промежуточных временных масштабах необходимо учитывать небольшие потери энергии как возмущение, а в длительных масштабах амплитуда солитона будет затухать и в конечном итоге исчезнет. ^[10]

Однако существуют различные типы систем, которые способны создавать одиночные структуры и в которых диссипация играет существенную роль для их формирования и стабилизации. Хотя исследования некоторых типов этих ДС проводились в течение длительного времени (например, см. исследования нервных импульсов, завершившиеся работой Ходжкина и Хаксли ^[11] в 1952 году), с 1990 года объем исследований значительно возрос (см., например, ^{[12] [13] [14] [15]} ). Возможными причинами являются улучшение экспериментальных устройств и аналитических методов, а также доступность более мощных компьютеров для численных вычислений. В настоящее время общепринято использовать термин диссипативные солитоны для одиночных структур в сильно диссипативных системах.

Экспериментальные наблюдения

Сегодня DS можно найти во многих различных экспериментальных установках. Примеры включают

• Газоразрядные системы : плазма, заключенная в разрядном пространстве, которое часто имеет большую боковую протяженность по сравнению с основной длиной разряда. DS возникают как токовые нити между электродами и были обнаружены в системах постоянного тока с высокоомным барьером, ^[16] системах переменного тока с диэлектрическим барьером, ^[17] и как анодные пятна, ^[18] а также в затрудненном разряде с металлическими электродами. ^[19]

• ДС экспериментально наблюдались в планарных газоразрядных системах постоянного тока с высокоомным барьером
• Усредненное распределение плотности тока без колебательных хвостов.
• Усредненное распределение плотности тока с колебательными хвостами.

• Полупроводниковые системы: они похожи на газовые разряды; однако, вместо газа, полупроводниковый материал зажат между двумя плоскими или сферическими электродами. Установки включают Si и GaAs pin-диоды , ^[20] n-GaAs, ^[21] и Si p ⁺ −n ⁺ −p−n ⁻ , ^[22] и структуры ZnS:Mn. ^[23]
• Нелинейные оптические системы : световой луч высокой интенсивности взаимодействует с нелинейной средой. Обычно среда реагирует в довольно медленных временных масштабах по сравнению со временем распространения луча. Часто выходной сигнал возвращается во входную систему через обратную связь с одним зеркалом или петлю обратной связи. DS могут возникать как яркие пятна в двумерной плоскости, ортогональной направлению распространения луча; однако можно также использовать другие эффекты, такие как поляризация . DS наблюдались для насыщаемых поглотителей , ^[24] вырожденных оптических параметрических генераторов (DOPO), ^[25] жидкокристаллических световых клапанов (LCLV), ^[26] систем на основе щелочных паров, ^[27] фоторефрактивных сред , ^[28] и полупроводниковых микрорезонаторов. ^[29]
• Если учесть векторные свойства ДС, то векторный диссипативный солитон можно также наблюдать в волоконном лазере с пассивной синхронизацией мод через насыщающийся поглотитель ^{[30] .}
• Кроме того, был получен многоволновой диссипативный солитон в полностью нормальном дисперсионном волоконном лазере, пассивно синхронизированном с SESAM. Подтверждено, что в зависимости от двулучепреломления резонатора в лазере может быть сформирован стабильный одно-, двух- и трехволновой диссипативный солитон. Механизм его генерации можно проследить до природы диссипативного солитона. ^[31]
• Химические системы: реализованные либо как одно- и двумерные реакторы, либо через каталитические поверхности, ДС проявляются как импульсы (часто как распространяющиеся импульсы) повышенной концентрации или температуры. Типичными реакциями являются реакция Белоусова-Жаботинского , ^[32] реакция ферроцианида-йодата-сульфита, а также окисление водорода, ^[33] CO, ^[34] или железа. ^[35] Нервные импульсы ^[11] или волны ауры мигрени ^[36] также принадлежат к этому классу систем.
• Вибрирующие среды: вертикально встряхиваемые зернистые среды, ^[37] коллоидные суспензии ^[38] и ньютоновские жидкости ^[39] создают гармонически или субгармонически колеблющиеся кучи материала, которые обычно называют осциллонами .
• Гидродинамические системы : наиболее заметной реализацией ДС являются домены конвективных валков на проводящем фоновом состоянии в бинарных жидкостях. ^[40] Другим примером является пленка, волочащаяся во вращающейся цилиндрической трубе, заполненной маслом. ^[41]
• Электрические сети: большие одно- или двумерные массивы связанных ячеек с нелинейной вольт-амперной характеристикой . ^[42] ДС характеризуются локально увеличенным током через ячейки.

Достаточно примечательно, что феноменологически динамика DS во многих из вышеперечисленных систем схожа, несмотря на микроскопические различия. Типичными наблюдениями являются (внутреннее) распространение, рассеяние , образование связанных состояний и кластеров, дрейф в градиентах, взаимопроникновение, генерация и аннигиляция, а также более высокие нестабильности.

Теоретическое описание

Большинство систем, демонстрирующих DS, описываются нелинейными частными дифференциальными уравнениями . Также используются дискретные разностные уравнения и клеточные автоматы . До сих пор моделирование из первых принципов с последующим количественным сравнением эксперимента и теории выполнялось лишь редко и иногда также создавало серьезные проблемы из-за больших расхождений между микроскопическими и макроскопическими временными и пространственными масштабами. Часто исследуются упрощенные прототипные модели, которые отражают основные физические процессы в более широком классе экспериментальных систем. Среди них

• Системы реакция-диффузия , используемые для химических систем, газовых разрядов и полупроводников. ^[43] Эволюция вектора состояния q ( x ,  t ), описывающего концентрацию различных реагентов, определяется диффузией, а также локальными реакциями:

${\displaystyle \partial _{t}{\boldsymbol {q}}={\underline {\boldsymbol {D}}}\,\Delta {\boldsymbol {q}}+{\boldsymbol {R}}({\boldsymbol {q}}).}$

Часто встречающимся примером является двухкомпонентная система активатор-ингибитор типа Фицхью-Нагумо.

${\displaystyle \left({\begin{array}{c}\tau _{u}\,\partial _{t}u\\\tau _{v}\,\partial _{t}v\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}d_{u}^{2}&0\\0&d_{v}^{2}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\Delta u\\\Delta v\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}\lambda u-u^{3}-\kappa _{3}v+\kappa _{1}\\u-v\end{array}}\right).}$

Стационарные DS генерируются путем производства материала в центре DS, диффузионного переноса в хвосты и истощения материала в хвостах. Распространяющийся импульс возникает из-за производства в ведущем и истощения в заднем конце. ^[44] Среди других эффектов можно обнаружить периодические колебания DS («дыхание»), ^{[45] [46]} связанные состояния, ^[47] и столкновения, слияние, генерацию и аннигиляцию. ^[48]

• Системы типа Гинзбурга–Ландау для комплексного скаляра q ( x ,  t ), используемые для описания нелинейных оптических систем, плазмы, конденсации Бозе-Эйнштейна, жидких кристаллов и гранулированных сред. ^[49] Часто встречающимся примером является кубическо-пятичное субкритическое уравнение Гинзбурга–Ландау

${\displaystyle \partial _{t}q=(d_{r}+id_{i})\,\Delta q+\ell _{r}q+(c_{r}+ic_{i})|q|^{2}q+(q_{r}+iq_{i})|q|^{4}q.}$

Чтобы понять механизмы, приводящие к образованию ДС, можно рассмотреть энергию ρ = | q | ^2, для которой можно вывести уравнение непрерывности

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}\rho +\nabla \cdot {\boldsymbol {m}}=S=d_{r}(q\,\Delta q^{\ast }+q^{\ast }\,\Delta q)+2\ell _{r}\rho +2c_{r}\rho ^{2}+2q_{r}\rho ^{3}\\&{\text{with }}{\boldsymbol {m}}=2d_{i}\operatorname {Im} (q^{\ast }\nabla q).\end{aligned}}}$

Таким образом, можно показать, что энергия обычно производится на флангах DS и переносится в центр и, возможно, в хвосты, где она истощается. Динамические явления включают распространение DS в 1d, ^[50] распространение кластеров в 2d, ^[51] связанные состояния и вихревые солитоны, ^[52] , а также «взрывающиеся DS». ^[53]

• Уравнение Свифта–Хоэнберга используется в нелинейной оптике и в динамике зернистых сред пламени или электроконвекции. Уравнение Свифта–Хоэнберга можно рассматривать как расширение уравнения Гинзбурга–Ландау. Его можно записать как

${\displaystyle \partial _{t}q=(s_{r}+is_{i})\,\Delta ^{2}q+(d_{r}+id_{i})\,\Delta q+\ell _{r}q+(c_{r}+ic_{i})|q|^{2}q+(q_{r}+iq_{i})|q|^{4}q.}$

При d _r > 0 по сути имеют место те же механизмы, что и в уравнении Гинзбурга–Ландау. ^[54] При d _r  < 0 в реальном уравнении Свифта–Хоэнберга обнаруживается бистабильность между однородными состояниями и паттернами Тьюринга. DS являются стационарными локализованными доменами Тьюринга на однородном фоне. ^[55] Это также справедливо для сложных уравнений Свифта–Хоэнберга; однако также возможны распространяющиеся DS, а также явления взаимодействия, и наблюдения включают слияние и взаимопроникновение. ^[56]

• Пространственно-временные графики, показывающие динамику и взаимодействие ДС как численные решения приведенных выше модельных уравнений в одном пространственном измерении.
• Единичное «дышащее» ДС как раствор двухкомпонентной реакционно-диффузионной системы с активатором u (левая половина) и ингибитором v (правая половина).

Свойства частиц и универсальность

DS во многих различных системах демонстрируют универсальные свойства частиц. Чтобы понять и описать последнее, можно попытаться вывести «уравнения частиц» для медленно меняющихся параметров порядка, таких как положение, скорость или амплитуда DS, адиабатически исключив все быстрые переменные в описании поля. Этот метод известен из линейных систем, однако математические проблемы возникают из нелинейных моделей из-за связи быстрых и медленных мод. ^[57]

Подобно низкоразмерным динамическим системам, для сверхкритических бифуркаций стационарных DS находятся характерные нормальные формы, существенно зависящие от симметрий системы. Например, для перехода от симметричного стационарного к внутренне распространяющемуся DS находится нормальная форма Pitchfork

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {v}}}=(\sigma -\sigma _{0}){\boldsymbol {v}}-|{\boldsymbol {v}}|^{2}{\boldsymbol {v}}}$

для скорости v DS, ^[58] здесь σ представляет параметр бифуркации, а σ ₀ — точку бифуркации. Для бифуркации в «дышащую» DS можно найти нормальную форму Хопфа

${\displaystyle {\dot {A}}=(\sigma -\sigma _{0})A-|A|^{2}A}$

для амплитуды A колебания. ^[46] Также можно рассматривать «слабое взаимодействие», пока перекрытие DS не слишком велико. ^[59] Таким образом, облегчается сравнение между экспериментом и теорией. ^{[60] [61]} Обратите внимание, что вышеуказанные проблемы не возникают для классических солитонов, поскольку теория обратного рассеяния дает полные аналитические решения.

Смотрите также

• Клапотис
• Компактон , солитон с компактной опорой
• Волоконный лазер
• Аномальные волны могут быть родственным явлением
• Графен
• Нелинейное уравнение Шредингера
• Нелинейная система
• Осциллон
• Пикон , солитон с недифференцируемым пиком
• Q-шар , нетопологический солитон
• Уравнение синус-Гордона
• Уединенные волны в дискретных средах ^[62]
• Солитон (оптика)
• Солитон (топологический)
• Солитонная модель распространения нервного импульса
• Топологическое квантовое число
• Векторный солитон

Ссылки

В соответствии

1. Гельмгольц, Х. (1850). «Messungen über den zeitlichen Verlauf der Zuckung Animalischer Muskeln und die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Reizung in den Nerven». Archiv für Anatomie, Physiologie und Wissenschaftliche Medicin (на немецком языке). 57 : 276.
2. Леманн, О. (1902). «Gasentladungen in weiten Gefässen». Аннален дер Физик (на немецком языке). 312 (1). Уайли: 1–28. дои : 10.1002/andp.19013120102. ISSN  0003-3804.
3. Дж. С. Рассел, Отчет четырнадцатого заседания Британской ассоциации содействия развитию науки (1845): 311
4. Рэлей, Дж. У. (1876). «XXXII. На волнах». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 1 (4). Informa UK Limited: 257–279. doi : 10.1080/14786447608639037. ISSN  1941-5982.
5. Буссинеск, Дж. (1871). «Гидродинамика - Теория жидкого свечения, вызывающая пасьянс или перевод, распространяющаяся в прямоугольном канале». Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (на французском языке). 72 : 755.
6. Кортевег, DJ; де Врис, Г. (1895). «XLI. Об изменении формы длинных волн, распространяющихся в прямоугольном канале, и о новом типе длинных стоячих волн». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 39 (240). Informa UK Limited: 422–443. doi : 10.1080/14786449508620739. ISSN  1941-5982.
7. Забуски, Нью-Джерси; Крускаль, Мэриленд (9 августа 1965 г.). «Взаимодействие «солитонов» в бесстолкновительной плазме и повторение начальных состояний». Physical Review Letters . 15 (6). Американское физическое общество: 240–243. Bibcode : 1965PhRvL..15..240Z. doi : 10.1103/physrevlett.15.240 . ISSN  0031-9007.
8. Гарднер, Клиффорд С.; Грин, Джон М.; Крускал, Мартин Д.; Миура, Роберт М. (6 ноября 1967 г.). «Метод решения уравнения Кортевега-де Фриза». Physical Review Letters . 19 (19). Американское физическое общество: 1095–1097. Bibcode : 1967PhRvL..19.1095G. doi : 10.1103/physrevlett.19.1095. ISSN  0031-9007.
9. Захаров, VE; Шабат, AB (1975). «Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I». Функциональный анализ и его приложения . 8 (3). Springer Science and Business Media: 226–235. doi :10.1007/bf01075696. ISSN  0016-2663. S2CID  120856178.
10. Кившар, YS; Агравал, GP (2003). Оптические солитоны: от волокон до фотонных кристаллов . Амстердам Бостон: Academic Press. ISBN 978-0-12-410590-4. OCLC  162129411.
11. Hodgkin, AL; Huxley, AF (28 августа 1952 г.). «Количественное описание мембранного тока и его применение к проводимости и возбуждению в нерве». The Journal of Physiology . 117 (4). Wiley: 500–544. doi : 10.1113/jphysiol.1952.sp004764 . ISSN  0022-3751. PMC 1392413. PMID 12991237  . 
12. Кернер, Б.С.; Осипов, В.В. (1994). Автосолитоны: новый подход к проблемам самоорганизации и турбулентности . Дордрехт Бостон: Kluwer Academic. стр. 53. ISBN 978-0-7923-2816-2. OCLC  30157395.
13. Боде, М.; Пурвинс, Х.-Г. (1995). «Формирование паттернов в системах реакции-диффузии — диссипативные солитоны в физических системах». Physica D: Nonlinear Phenomena . 86 (1–2). Elsevier BV: 53–63. Bibcode : 1995PhyD...86...53B. doi : 10.1016/0167-2789(95)00087-k. ISSN  0167-2789.
14. Christov, CI; Velarde, MG (1995). «Диссипативные солитоны». Physica D: Nonlinear Phenomena . 86 (1–2). Elsevier BV: 323–347. Bibcode :1995PhyD...86..323C. doi :10.1016/0167-2789(95)00111-g. ISSN  0167-2789.
15. Ахмедиев, Наиль; Анкевич, Адриан, ред. (2005). Диссипативные солитоны . Конспект лекций по физике. Том 661. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. doi :10.1007/b11728. ISBN 978-3-540-23373-2. ISSN  0075-8450. S2CID  218646243.
16. Радехаус, Ч.; Дирксмейер, Т.; Виллебранд, Х.; Пурвинс, Х.-Г. (1987). «Формирование структуры в газоразрядных системах с электродами с высоким импедансом». Physics Letters A. 125 ( 2–3). Elsevier BV: 92–94. Bibcode : 1987PhLA..125...92R. doi : 10.1016/0375-9601(87)90128-9. ISSN  0375-9601.
17. Brauer, I.; Bode, M.; Ammelt, E.; Purwins, H.-G. (1 апреля 2000 г.). «Путешествующие пары пятен в периодически управляемой системе газового разряда: коллективное движение, вызванное взаимодействием». Physical Review Letters . 84 (18). Американское физическое общество: 4104–4107. Bibcode : 2000PhRvL..84.4104B. doi : 10.1103/physrevlett.84.4104. ISSN  0031-9007. PMID  10990621.
18. Рубенс, Сидней М.; Хендерсон, Дж. Э. (1 августа 1940 г.). «Характеристики и функции анодных пятен в тлеющих разрядах». Physical Review . 58 (5). Американское физическое общество: 446–457. Bibcode : 1940PhRv...58..446R. doi : 10.1103/physrev.58.446. ISSN  0031-899X.
19. Насуно, Сатору (2003). «Танцующие «атомы» и «молекулы» светящихся газоразрядных пятен». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 13 (3). AIP Publishing: 1010–1013. Bibcode :2003Chaos..13.1010N. doi :10.1063/1.1604271. ISSN  1054-1500. PMID  12946194.
20. Jäger, D.; Baumann, H.; Symanczyk, R. (1986). «Экспериментальное наблюдение пространственных структур, вызванных образованием токовых нитей в кремниевых pin-диодах». Physics Letters A. 117 ( 3). Elsevier BV: 141–144. Bibcode :1986PhLA..117..141J. doi :10.1016/0375-9601(86)90021-6. ISSN  0375-9601.
21. Майер, К.М.; Паризи, Дж.; Хюбенер, Р.П. (1988). «Визуализация самогенерируемых многонитевых токов в GaAs». Zeitschrift für Physik B. 71 (2). Springer Science and Business Media: 171–178. Бибкод : 1988ZPhyB..71..171M. дои : 10.1007/bf01312786. ISSN  0722-3277. S2CID  121227300.
22. Niedernostheide, F.-J.; Arps, M.; Dohmen, R.; Willebrand, H.; Purwins, H.-G. (1 июня 1992 г.). «Пространственные и пространственно-временные закономерности в полупроводниковых приборах pnpn». Physica Status Solidi B (на немецком языке). 172 (1). Wiley: 249–266. Bibcode : 1992PSSBR.172..249N. doi : 10.1002/pssb.2221720123. ISSN  0370-1972.
23. Бил, Марк (1993). «Равномерный и нитевидный транспорт в тонкопленочных электролюминесцентных устройствах постоянного тока ZnS:Mn». Philosophical Magazine B. 68 ( 5). Informa UK Limited: 573–594. Bibcode : 1993PMagB..68..573B. doi : 10.1080/13642819308220144. ISSN  1364-2812.
24. Тараненко, В.Б.; Сталюнас, К.; Вайс, КО (1 июля 1997 г.). «Пространственный солитонный лазер: локализованные структуры в лазере с насыщающимся поглотителем в самовоспроизводящемся резонаторе». Physical Review A. 56 ( 2). Американское физическое общество: 1582–1591. Bibcode : 1997PhRvA..56.1582T. doi : 10.1103/physreva.56.1582. ISSN  1050-2947.
25. Тараненко, В.Б.; Сталюнас, К.; Вайс, КО (14 сентября 1998 г.). «Формирование паттернов и локализованные структуры при вырожденном оптическом параметрическом смешивании». Physical Review Letters . 81 (11). Американское физическое общество: 2236–2239. Bibcode : 1998PhRvL..81.2236T. doi : 10.1103/physrevlett.81.2236. ISSN  0031-9007.
26. Шрайбер, А.; Тюринг, Б.; Крейцер, М.; Чуди, Т. (1997). «Экспериментальное исследование уединенных структур в нелинейной оптической системе обратной связи». Optics Communications . 136 (5–6). Elsevier BV: 415–418. Bibcode : 1997OptCo.136..415S. doi : 10.1016/s0030-4018(96)00722-5. ISSN  0030-4018.
27. Schäpers, B.; Feldmann, M.; Ackemann, T.; Lange, W. (24 июля 2000 г.). «Взаимодействие локализованных структур в оптической системе формирования паттернов». Physical Review Letters . 85 (4). Американское физическое общество: 748–751. Bibcode : 2000PhRvL..85..748S. doi : 10.1103/physrevlett.85.748. ISSN  0031-9007. PMID  10991389.
28. Denz, Cornelia ; Schwab, Michael; Weilnau, Carsten (2003). Формирование поперечного узора в фоторефрактивной оптике . Springer Tracts in Modern Physics. Т. 188. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. doi :10.1007/b13583. ISBN 978-3-540-02109-4. ISSN  0081-3869.
29. Барланд, Стефан; Тредичче, Хорхе Р.; Брамбилла, Массимо; Луджиато, Луиджи А.; Балле, Сальвадор; и др. (2002). «Резонаторные солитоны как пиксели в полупроводниковых микрорезонаторах». Природа . 419 (6908). Спрингер Природа: 699–702. Бибкод : 2002Natur.419..699B. дои : 10.1038/nature01049. ISSN  0028-0836. PMID  12384692. S2CID  4404010.
30. Zhang, H.; Tang, DY; Zhao, LM; Wu, X.; Tam, HY (6 января 2009 г.). «Диссипативные векторные солитоны в волоконном лазере с управляемым дисперсией резонатором с чистой положительной дисперсией резонатора». Optics Express . 17 (2). The Optical Society: 455–60. Bibcode : 2009OExpr..17..455Z. doi : 10.1364/oe.17.000455 . ISSN  1094-4087. PMID  19158858.
31. Zhang, H.; Tang, DY; Wu, X.; Zhao, LM (20 июля 2009 г.). «Многоволновая диссипативная солитонная работа эрбиевого волоконного лазера». Optics Express . 17 (15). The Optical Society: 12692–7. arXiv : 0907.1782 . Bibcode : 2009OExpr..1712692Z. doi : 10.1364/oe.17.012692 . ISSN  1094-4087. PMID  19654674.
32. Hamik, Chad T.; Manz, Niklas; Steinbock, Oliver (2001). «Аномальная дисперсия и притягивающее импульсное взаимодействие в реакции Белоусова−Жаботинского с 1,4-циклогександионо솻. Журнал физической химии A . 105 (25). Американское химическое общество: 6144–6153. doi :10.1021/jp010270j. ISSN  1089-5639.
33. Лейн, Сэмюэл Л.; Ласс, Дэн (8 февраля 1993 г.). «Вращающийся температурный импульс во время окисления водорода на никелированном кольце». Physical Review Letters . 70 (6). Американское физическое общество: 830–832. Bibcode : 1993PhRvL..70..830L. doi : 10.1103/physrevlett.70.830. ISSN  0031-9007. PMID  10054214.
34. Ротермунд, ХХ; Якубит, С.; фон Эртцен, А.; Эртль, Г. (10 июня 1991 г.). «Солитоны в поверхностной реакции». Physical Review Letters . 66 (23). Американское физическое общество: 3083–3086. Bibcode :1991PhRvL..66.3083R. doi :10.1103/physrevlett.66.3083. ISSN  0031-9007. PMID  10043694.
35. Р. Судзуки, Adv. Biophys. 9 (1976): 115
36. Dahlem, Markus A.; Hadjikhani, Nouchine (1 марта 2009 г.). Ben-Jacob, Eshel (ред.). "Migraine Aura: Retracting Particle-Like Waves in Weakly Susceptible Cortex". PLOS ONE . ​​4 (4). Public Library of Science: e5007. Bibcode :2009PLoSO...4.5007D. doi : 10.1371/journal.pone.0005007 . ISSN  1932-6203. PMC 2659426 . PMID  19337363. 
37. Umbanhowar, Paul B.; Melo, Francisco; Swinney, Harry L. (1996). «Локализованные возбуждения в вертикально вибрирующем зернистом слое». Nature . 382 (6594). Springer Nature: 793–796. Bibcode :1996Natur.382..793U. doi :10.1038/382793a0. ISSN  0028-0836. S2CID  4338010.
38. Любашевский, О.; Хамиель, И.; Агнон, А.; Рехес, З.; Файнберг, Дж. (18 октября 1999 г.). «Осциллоны и распространяющиеся уединенные волны в вертикально вибрирующей коллоидной суспензии». Physical Review Letters . 83 (16). Американское физическое общество: 3190–3193. Bibcode : 1999PhRvL..83.3190L. doi : 10.1103/physrevlett.83.3190. ISSN  0031-9007.
39. Любашевский, О.; Арбелл, Х.; Файнберг, Дж. (20 мая 1996 г.). «Диссипативные уединенные состояния в управляемых поверхностных волнах». Physical Review Letters . 76 (21). Американское физическое общество: 3959–3962. Bibcode : 1996PhRvL..76.3959L. doi : 10.1103/physrevlett.76.3959. ISSN  0031-9007. PMID  10061156.
40. Ahlers, Guenter (1991). «Эксперименты с системами формирования паттернов». Physica D: Nonlinear Phenomena . 51 (1–3). Elsevier BV: 421–443. Bibcode : 1991PhyD...51..421A. doi : 10.1016/0167-2789(91)90249-9. ISSN  0167-2789.
41. Мело, Ф.; Дуади, С. (15 ноября 1993 г.). «От одиночных волн к статическим моделям через пространственно-временную прерывистость». Physical Review Letters . 71 (20). Американское физическое общество: 3283–3286. Bibcode : 1993PhRvL..71.3283M. doi : 10.1103/physrevlett.71.3283. ISSN  0031-9007. PMID  10054934.
42. Дж. Нагумо и др., Proc. Инст. Радио Энгин. Электр. 50 (1962): 2061
43. Purwins, H.-G.; Bödeker, HU; Liehr, AW (2004). "Диссипативные солитоны в системах реакции-диффузии". Диссипативные солитоны . Lecture Notes on Physics. Vol. 661. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. pp. 267–308. doi :10.1007/10928028_11. ISBN 978-3-540-23373-2.
44. Мерон, Эхуд (1992). «Формирование узоров в возбудимых средах». Physics Reports . 218 (1). Elsevier BV: 1–66. Bibcode : 1992PhR...218....1M. doi : 10.1016/0370-1573(92)90098-k. ISSN  0370-1573.
45. Niedernostheide, F.-J.; Dohmen, R.; Willebrand, H.; Schulze, H.-J.; Purwins, H.-G. (1992). "Формирование паттернов в нелинейных физических системах с характерными электрическими свойствами". Нелинейность с беспорядком . Springer Proceedings in Physics. Т. 67. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. С. 282–309. doi :10.1007/978-3-642-84774-5_29. ISBN 978-3-642-84776-9. ISSN  0930-8989.
46. Гуревич, СВ; Амиранашвили, Ш.; Пурвинс, Х.-Г. (1 ноября 2006 г.). "Дыхательные диссипативные солитоны в трехкомпонентной реакционно-диффузионной системе". Physical Review E. 74 ( 6). Американское физическое общество: 066201. Bibcode : 2006PhRvE..74f6201G. doi : 10.1103/physreve.74.066201. ISSN  1539-3755. PMID  17280133.
47. Ор-Гиль, Михал; Г. Кеврекидис, Иоаннис; Бер, Маркус (2000). «Стабильные связанные состояния импульсов в возбудимой среде». Physica D: Nonlinear Phenomena . 135 (1–2). Elsevier BV: 154–174. Bibcode : 2000PhyD..135..154O. doi : 10.1016/s0167-2789(99)00136-0. ISSN  0167-2789.
48. Шенк, CP; Ор-Гил, M.; Боде, M.; Пурвинс, H.-G. (12 мая 1997 г.). «Взаимодействующие импульсы в трехкомпонентных системах реакции-диффузии в двумерных доменах». Physical Review Letters . 78 (19). Американское физическое общество: 3781–3784. Bibcode : 1997PhRvL..78.3781S. doi : 10.1103/physrevlett.78.3781. ISSN  0031-9007.
49. Арансон, Игорь С.; Крамер, Лоренц (4 февраля 2002 г.). «Мир комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау». Reviews of Modern Physics . 74 (1). Американское физическое общество: 99–143. arXiv : cond-mat/0106115 . Bibcode :2002RvMP...74...99A. doi :10.1103/revmodphys.74.99. ISSN  0034-6861. S2CID  53142414.
50. Афанасьев, В.В.; Ахмедиев, Н.; Сото-Креспо, Дж.М. (1 января 1996 г.). «Три формы локализованных решений комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау пятой степени». Physical Review E. 53 ( 2). Американское физическое общество: 1931–1939. Bibcode : 1996PhRvE..53.1931A. doi : 10.1103/physreve.53.1931. hdl : 10261/60458 . ISSN  1063-651X. PMID  9964456.
51. Розанов, НН; Федоров, СВ; Шацев, АН (2006). «Движение кластеров слабо связанных двумерных резонаторных солитонов». Журнал экспериментальной и теоретической физики . 102 (4). Издательство Pleiades: 547–555. Bibcode :2006JETP..102..547R. doi :10.1134/s1063776106040030. ISSN  1063-7761. S2CID  59290663.
52. Crasovan, L.-C.; Malomed, BA; Mihalache, D. (20 декабря 2000 г.). "Устойчивые вихревые солитоны в двумерном уравнении Гинзбурга-Ландау". Physical Review E. 63 ( 1). Американское физическое общество: 016605. Bibcode : 2000PhRvE..63a6605C. doi : 10.1103/physreve.63.016605. ISSN  1063-651X. PMID  11304376.
53. Soto-Crespo, JM; Akhmediev, N.; Ankiewicz, A. (2 октября 2000 г.). «Пульсирующие, ползущие и извергающиеся солитоны в диссипативных системах». Physical Review Letters . 85 (14). Американское физическое общество: 2937–2940. Bibcode : 2000PhRvL..85.2937S. doi : 10.1103/physrevlett.85.2937. hdl : 10261/54305 . ISSN  0031-9007. PMID  11005972.
54. Soto-Crespo, JM; Akhmediev, Nail (18 декабря 2002 г.). "Составные солитоны и двухимпульсная генерация в пассивно синхронизированных лазерах, моделируемых комплексным пятым уравнением Свифта-Хоэнберга". Physical Review E. 66 ( 6). Американское физическое общество: 066610. Bibcode : 2002PhRvE..66f6610S. doi : 10.1103/physreve.66.066610. hdl : 10261/60258 . ISSN  1063-651X. PMID  12513432.
55. Сакагучи, Хидэцугу; Бранд, Хельмут Р. (1996). «Стабильные локализованные решения произвольной длины для уравнения Свифта-Хоэнберга пятой степени». Physica D: Nonlinear Phenomena . 97 (1–3). Elsevier BV: 274–285. Bibcode :1996PhyD...97..274S. doi :10.1016/0167-2789(96)00077-2. ISSN  0167-2789.
56. Сакагучи, Хидэцугу; Бранд, Хельмут Р. (1998). «Локализованные шаблоны для комплексного уравнения Свифта-Хоэнберга пятой степени». Physica D: Nonlinear Phenomena . 117 (1–4). Elsevier BV: 95–105. Bibcode : 1998PhyD..117...95S. doi : 10.1016/s0167-2789(97)00310-2. ISSN  0167-2789.
57. Фридрих, Рудольф (2005). «Групповые теоретико-методические методы в теории формирования паттернов». Коллективная динамика нелинейных и неупорядоченных систем . Берлин/Гейдельберг: Springer-Verlag. стр. 61–84. doi :10.1007/3-540-26869-3_4. ISBN 3-540-21383-X.
58. Боде, М (1997). «Фронтовые бифуркации в системах реакция-диффузия с неоднородными распределениями параметров». Physica D: Nonlinear Phenomena . 106 (3–4). Elsevier BV: 270–286. Bibcode :1997PhyD..106..270B. doi :10.1016/s0167-2789(97)00050-x. ISSN  0167-2789.
59. Боде, М.; Лиер, AW; Шенк, CP; Пурвинс, Х.-Г. (2002). «Взаимодействие диссипативных солитонов: поведение локализованных структур в трехкомпонентной реакционно-диффузионной системе, подобное частицам». Physica D: Nonlinear Phenomena . 161 (1–2). Elsevier BV: 45–66. Bibcode : 2002PhyD..161...45B. doi : 10.1016/s0167-2789(01)00360-8. ISSN  0167-2789.
60. Bödeker, HU; Röttger, MC; Liehr, AW; Frank, TD; Friedrich, R.; Purwins, H.-G. (28 мая 2003 г.). "Дрейфовая бифуркация диссипативных солитонов с шумовым покрытием в плоской газоразрядной системе". Physical Review E. 67 ( 5). Американское физическое общество: 056220. Bibcode : 2003PhRvE..67e6220B. doi : 10.1103/physreve.67.056220. ISSN  1063-651X. PMID  12786263.
61. Bödeker, HU; Liehr, AW; Frank, TD; Friedrich, R; Purwins, HG (15 июня 2004 г.). "Измерение закона взаимодействия диссипативных солитонов". New Journal of Physics . 6 (1). IOP Publishing: 62. Bibcode : 2004NJPh....6...62B. doi : 10.1088/1367-2630/6/1/062 . ISSN  1367-2630.
62. «Обнаружены необнаружимые волны». Live Science . 14 июня 2005 г.

Книги и обзорные статьи

• Н. Ахмедиев и А. Анкевич, Диссипативные солитоны , Lecture Notes in Physics, Springer, Берлин (2005)
• Н. Ахмедиев и А. Анкевич, Диссипативные солитоны: от оптики до биологии и медицины , Lecture Notes in Physics, Springer, Берлин (2008)
• H.-G. Purwins и др., Advances in Physics 59 (2010): 485 doi :10.1080/00018732.2010.498228
• AW Liehr: Диссипативные солитоны в системах реакции-диффузии. Механизм, динамика, взаимодействие. Том 70 серии Springer по синергетике, Springer, Берлин-Гейдельберг 2013, ISBN 978-3-642-31250-2