Обыкновенное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение, содержащее производные только по одной переменной

Траектория снаряда, выпущенного из пушки , следует кривой , определяемой обыкновенным дифференциальным уравнением, полученным из второго закона Ньютона.

В математике обыкновенное дифференциальное уравнение ( ОДУ ) — это дифференциальное уравнение (ДУ), зависящее только от одной независимой переменной . Как и в случае с другими DE, его неизвестное(и) состоит из одной (или нескольких) функций и включает в себя производные этих функций. ^[1] Термин «обычный» используется в отличие от уравнений в частных производных , которые могут относиться к более чем одной независимой переменной. ^[2]

Дифференциальные уравнения

Линейное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, которое определяется линейным многочленом от неизвестной функции и ее производных, то есть уравнение вида

${\displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}+b(x)=0,}$

где , ..., и – произвольные дифференцируемые функции , которые не обязательно должны быть линейными, и являются последовательными производными неизвестной функции y переменной x . ${\displaystyle a_{0}(x)}$ ${\displaystyle a_{n}(x)}$ ${\displaystyle b(x)}$ ${\displaystyle y',\ldots ,y^{(n)}}$

Среди обыкновенных дифференциальных уравнений линейные дифференциальные уравнения играют заметную роль по нескольким причинам. Большинство элементарных и специальных функций, встречающихся в физике и прикладной математике, являются решениями линейных дифференциальных уравнений (см. Голономная функция ). Когда физические явления моделируются нелинейными уравнениями, для упрощения решения они обычно аппроксимируются линейными дифференциальными уравнениями. Несколько нелинейных ОДУ, которые можно решить явно, обычно решаются путем преобразования уравнения в эквивалентное линейное ОДУ (см., например, уравнение Риккати ).

Некоторые ОДУ могут быть решены явно с использованием известных функций и интегралов . Если это невозможно, может оказаться полезным уравнение для вычисления ряда Тейлора решений. Для прикладных задач численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений могут обеспечить приближение решения.

Фон

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) возникают во многих контекстах математики, социальных и естественных наук. Математические описания изменений используют дифференциалы и производные. Различные дифференциалы, производные и функции связываются посредством уравнений, так что дифференциальное уравнение является результатом, описывающим динамически изменяющиеся явления, эволюцию и вариации. Часто величины определяются как скорость изменения других величин (например, производных перемещения по времени) или как градиенты величин, и именно так они входят в дифференциальные уравнения. ^{[ нужна цитата ]}

Конкретные математические области включают геометрию и аналитическую механику . Научные области включают в себя большую часть физики и астрономии (небесная механика), метеорологии (моделирование погоды), химии (скорость реакций), ^[3] биологии (инфекционные заболевания, генетические вариации), экологии и популяционного моделирования (конкуренция популяций), экономики (конкуренция численности населения ). , процентные ставки и изменения рыночно-равновесной цены).

Многие математики изучали дифференциальные уравнения и внесли свой вклад в эту область, в том числе Ньютон , Лейбниц , семья Бернулли , Риккати , Клеро , Даламбер и Эйлер .

Простым примером является второй закон движения Ньютона : связь между смещением x и временем t объекта под действием силы F определяется дифференциальным уравнением

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=F(x(t))\,}$

которое ограничивает движение частицы постоянной массы m . В общем, F является функцией положения x ( t ) частицы в момент времени t . Неизвестная функция x ( t ) появляется в обеих частях дифференциального уравнения и обозначается обозначением F ( x ( t )). ^{[4] [5] [6] [7]}

Определения

Далее y — зависимая переменная , представляющая неизвестную функцию y = f ( x ) независимой переменной x . Обозначения для дифференцирования различаются в зависимости от автора и от того, какое обозначение наиболее полезно для поставленной задачи. В этом контексте обозначения Лейбница (умри/дх,день ² года/дх ², …,день ^, день/дх ^н) более полезна для дифференцирования и интегрирования , тогда как нотация Лагранжа ( y ′, y ”, …, y ^{( n )} ) более полезна для компактного представления производных более высокого порядка , а обозначения Ньютона часто используются в физике для представления производных низшего порядка по времени. ${\displaystyle ({\dot {y}},{\ddot {y}},{\overset {...}{y}})}$

Общее определение

Учитывая F , функцию x , y и производных y . Тогда уравнение вида

${\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

называется явным обыкновенным дифференциальным уравнением порядка n . ^{[8] [9]}

В более общем смысле неявное обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n принимает форму: ^[10]

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n)}\right)=0}$

Существуют и другие классификации:

Автономный

Дифференциал является автономным, если он не зависит от переменной x .

Линейный

Дифференциальное уравнение является линейным , если его можно записать как линейную комбинацию производных y ; то есть если можно переписать как ${\displaystyle F}$

${\displaystyle y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)}$

где a  _i  ( x ) и r  ( x ) являются непрерывными функциями x . ^{[8] [11] [12]} Функция r ( x ) называется исходным термином , что приводит к дальнейшей классификации. ^{[11] [13]}

Однородный

Линейное дифференциальное уравнение является однородным, если r ( x ) = 0 . В этом случае всегда существует « тривиальное решение » y = 0 .

Неоднородный (или неоднородный)

Линейное дифференциальное уравнение неоднородно, если р ( Икс ) ≠ 0 .

Нелинейный

Дифференциальное уравнение, которое не является линейным.

Система ОДУ

Ряд связанных дифференциальных уравнений образуют систему уравнений. Если y — вектор, элементы которого являются функциями; y ( x ) = [ y ₁ ( x ), y ₂ ( x ),..., y _m ( x )], а F — вектор-функция от y и ее производных, тогда

${\displaystyle \mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)}$

является явной системой обыкновенных дифференциальных уравнений порядка n и размерности m . В форме вектора-столбца :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}}$

Они не обязательно линейны. Неявный аналог :

${\displaystyle \mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}}}$

где 0 = (0, 0, ..., 0) — нулевой вектор . В матричной форме

${\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\f_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}}$

Для системы вида некоторые источники также требуют, чтобы матрица Якоби была неособой , чтобы называть ее неявным ОДУ [системой]; неявная система ОДУ, удовлетворяющая этому условию несингулярности Якобиана, может быть преобразована в явную систему ОДУ. В тех же источниках неявные системы ОДУ с сингулярным якобианом называются дифференциальными алгебраическими уравнениями (ДАУ). Это различие не просто терминологическое; ДАУ имеют принципиально разные характеристики и, как правило, требуют больше усилий для решения, чем (несингулярные) системы ОДУ. ^{[14] [15] [16]} Предположительно для дополнительных производных матрица Гессе и т. д. также считаются неособыми в соответствии с этой схемой, ^{[ нужна цитация ],} хотя обратите внимание, что любое ОДУ порядка больше единицы может быть (и обычно is) переписано как система ОДУ первого порядка ^[17] , что делает критерий сингулярности Якобиана достаточным для того, чтобы эта таксономия была всеобъемлющей на всех порядках. ${\displaystyle \mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\right)={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} (x,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {v} }}}$

Поведение системы ОДУ можно визуализировать с помощью фазового портрета .

Решения

Учитывая дифференциальное уравнение

${\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0}$

функция u : I ⊂ R → R , где I — интервал, называется решением или интегральной кривой для F , если u n -раз дифференцируема на I , и

${\displaystyle F(x,u,u',\ \ldots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.}$

Учитывая два решения u : J ⊂ R → R и v : I ⊂ R → R , u называется расширением v , если I ⊂ J и

${\displaystyle u(x)=v(x)\quad x\in I.\,}$

Решение, не имеющее расширения, называется максимальным решением . Решение, определенное на всем R, называется глобальным решением .

Общим решением уравнения n -го порядка является решение, содержащее n произвольных независимых констант интегрирования . Частное решение получается из общего решения путем присвоения константам определенных значений, часто выбираемых для выполнения набора « начальных или граничных условий ». ^[18] Особое решение — это решение, которое нельзя получить, присваивая определенные значения произвольным константам в общем решении. ^[19]

В контексте линейного ОДУ терминологическое частное решение может также относиться к любому решению ОДУ (не обязательно удовлетворяющему начальным условиям), которое затем добавляется к однородному решению (общему решению однородного ОДУ), которое затем образует общее решение исходного ОДУ. Эта терминология используется в разделе метода угадывания в этой статье и часто используется при обсуждении метода неопределенных коэффициентов и вариации параметров .

Решения конечной длительности

Для нелинейных автономных ОДУ при некоторых условиях возможно разработать решения конечной длительности, ^[20] имея в виду здесь, что из-за своей собственной динамики система достигнет нулевого значения в конечный момент времени и останется там в нуле навсегда. Эти решения конечной длительности не могут быть аналитическими функциями на всей вещественной прямой, и поскольку они будут нелипшицевыми функциями в момент окончания, они не включены в теорему единственности решений липшицевых дифференциальных уравнений.

Например, уравнение:

${\displaystyle y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1}$

Допускает решение конечной длительности:

${\displaystyle y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}}$

Теории

Сингулярные решения

Теория сингулярных решений обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных была предметом исследований еще со времен Лейбница, но только с середины XIX века ей стало уделяться особое внимание. Ценной, но малоизвестной работой по этой теме является работа Хаутэна (1854 г.). Дарбу (с 1873 г.) был лидером в теории, и в геометрической интерпретации этих решений он открыл область, над которой работали различные авторы, особенно Казорати и Кэли . Последнему обязана (1872 г.) теория сингулярных решений дифференциальных уравнений первого порядка, принятая около 1900 г.

Приведение к квадратурам

Примитивная попытка обращения с дифференциальными уравнениями имела в виду сведение к квадратурам . Как алгебраисты восемнадцатого века надеялись найти метод решения общего уравнения n- й степени, так и аналитики надеялись найти общий метод интегрирования любого дифференциального уравнения. Гаусс (1799) показал, однако, что для сложных дифференциальных уравнений требуются комплексные числа . Следовательно, аналитики начали заменять изучение функций, открывая тем самым новое и плодородное поле. Коши был первым, кто оценил важность этой точки зрения. После этого реальный вопрос заключался уже не в том, возможно ли решение с помощью известных функций или их интегралов, а в том, достаточно ли данного дифференциального уравнения для определения функции независимой переменной или переменных, и если да, то каковы характерные свойства.

Фуксова теория

Два мемуара Фукса ^[21] вдохновили на новый подход, впоследствии развитый Томе и Фробениусом . Колле внес выдающийся вклад, начиная с 1869 года. Его метод интегрирования нелинейной системы был передан Бертрану в 1868 году. Клебш (1873) атаковал теорию в направлении, параллельном тем, которые были в его теории абелевых интегралов . Поскольку последние можно классифицировать по свойствам фундаментальной кривой, остающейся неизменной при рациональном преобразовании, Клебш предложил классифицировать трансцендентные функции, определяемые дифференциальными уравнениями, по инвариантным свойствам соответствующих поверхностей f = 0 при рациональном одно-к -одно преобразование.

Теория лжи

С 1870 года работы Софуса Ли положили теорию дифференциальных уравнений на лучшую основу. Он показал, что теории интеграции старых математиков можно, используя группы Ли , отнести к общему источнику и что обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие одни и те же бесконечно малые преобразования, представляют сопоставимые трудности интеграции. Он также остановился на теме трансформаций контакта .

Групповая теория дифференциальных уравнений Ли была сертифицирована, а именно: (1) она объединяет многие специальные методы, известные для решения дифференциальных уравнений, и (2) что она обеспечивает новые мощные способы поиска решений. Теория имеет приложения как к обыкновенным уравнениям, так и к уравнениям в частных производных. ^[22]

Общий подход к решению использует свойство симметрии дифференциальных уравнений, непрерывные бесконечно малые преобразования решений в решения ( теория Ли ). Непрерывная теория групп , алгебры Ли и дифференциальная геометрия используются для понимания структуры линейных и нелинейных (частных) дифференциальных уравнений, для генерации интегрируемых уравнений, для нахождения их пар Лакса , операторов рекурсии, преобразования Беклунда и, наконец, для нахождения точных аналитических решений. в ДЭ.

Методы симметрии применялись к дифференциальным уравнениям, возникающим в математике, физике, технике и других дисциплинах.

Теория Штурма – Лиувилля

Теория Штурма–Лиувилля — это теория особого типа линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Их решения основаны на собственных значениях и соответствующих собственных функциях линейных операторов, определенных с помощью однородных линейных уравнений второго порядка . Проблемы идентифицируются как задачи Штурма-Лиувилля (SLP) и названы в честь Дж. К. Ф. Штурма и Дж. Лиувилля , которые изучали их в середине 1800-х годов. SLP имеют бесконечное количество собственных значений, а соответствующие собственные функции образуют полный ортогональный набор, что делает возможным ортогональное разложение. Это ключевая идея в прикладной математике, физике и технике. ^[23] SLP также полезны при анализе некоторых уравнений в частных производных.

Существование и единственность решений

Существует несколько теорем, которые устанавливают существование и единственность решений начальных задач с участием ОДУ как локально, так и глобально. Две основные теоремы:

В своей базовой форме обе эти теоремы гарантируют только локальные результаты, хотя последняя может быть расширена для получения глобального результата, например, если выполняются условия неравенства Грёнвалля .

Кроме того, теоремы единственности, подобные приведенной выше Липшицевой теореме, не применимы к системам ДАУ , которые могут иметь несколько решений, вытекающих только из их (нелинейной) алгебраической части. ^[24]

Упрощенная теорема локального существования и единственности

Теорему можно сформулировать просто следующим образом. ^[25] Для уравнения и задачи начального значения:

$${\displaystyle y'=F(x,y)\,,\quad y_{0}=y(x_{0})}$$

FFy

$${\displaystyle R=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b]}$$

xyabсимволическиa , b ∈ R×декартово произведениезамкнутые интервалы

$${\displaystyle I=[x_{0}-h,x_{0}+h]\subset [x_{0}-a,x_{0}+a]}$$

h ∈ RрешениеFFxy

Глобальная уникальность и максимальная область решения

Когда условия теоремы Пикара–Линделёфа удовлетворены, локальное существование и уникальность могут быть расширены до глобального результата. Точнее: ^[26]

Для каждого начального условия ( x ₀ , y ₀ ) существует уникальный максимальный (возможно, бесконечный) открытый интервал.

${\displaystyle I_{\max }=(x_{-},x_{+}),x_{\pm }\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},x_{0}\in I_{\max }}$

такое, что любое решение, удовлетворяющее этому начальному условию, является ограничением решения, удовлетворяющего этому начальному условию, областью определения . ${\displaystyle I_{\max }}$

В этом случае есть ровно две возможности ${\displaystyle x_{\pm }\neq \pm \infty }$

• взрыв за конечное время: ${\displaystyle \limsup _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty }$
• покидает область определения: ${\displaystyle \lim _{x\to x_{\pm }}y(x)\ \in \partial {\bar {\Omega }}}$

где Ω — открытое множество, в котором определено F , и — его граница. ${\displaystyle \partial {\bar {\Omega }}}$

Обратите внимание, что максимальная область определения решения

• всегда является интервалом (чтобы иметь уникальность)
• может быть меньше, чем ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• может зависеть от конкретного выбора ( x ₀ , y ₀ ).

Пример.

${\displaystyle y'=y^{2}}$

Это означает, что F ( x, y ) = y ² , что является C ¹ и, следовательно, локально липшицевым, удовлетворяя теореме Пикара–Линделёфа.

Даже в такой простой ситуации максимальная область решения не может быть всей, поскольку решение ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle y(x)={\frac {y_{0}}{(x_{0}-x)y_{0}+1}}}$

который имеет максимальный домен:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} &y_{0}=0\\[4pt]\left(-\infty ,x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}}\right)&y_{0}>0\\[4pt]\left(x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}},+\infty \right)&y_{0}<0\end{cases}}}$

Это ясно показывает, что максимальный интервал может зависеть от начальных условий. Область определения y можно было бы принять как существующую, но это привело бы к тому, что область, которая не является интервалом, так что сторона, противоположная начальному условию, была бы отключена от начального условия и, следовательно, не определялась бы им однозначно. ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (x_{0}+1/y_{0}),}$

Максимальный домен не потому, что ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lim _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty ,}$

что является одним из двух возможных случаев согласно приведенной выше теореме.

Сокращение порядка

Дифференциальные уравнения обычно легче решать, если порядок уравнения можно уменьшить.

Приведение к системе первого порядка

Любое явное дифференциальное уравнение порядка n ,

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

можно записать как систему n дифференциальных уравнений первого порядка, определив новое семейство неизвестных функций

${\displaystyle y_{i}=y^{(i-1)}.\!}$

для i = 1, 2, ..., n . Тогда n -мерная система связанных дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}y_{1}'&=&y_{2}\\y_{2}'&=&y_{3}\\&\vdots &\\y_{n-1}'&=&y_{n}\\y_{n}'&=&F(x,y_{1},\ldots ,y_{n}).\end{array}}}$

более компактно в векторной записи:

${\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {F} (x,\mathbf {y} )}$

где

${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n}),\quad \mathbf {F} (x,y_{1},\ldots ,y_{n})=(y_{2},\ldots ,y_{n},F(x,y_{1},\ldots ,y_{n})).}$

Сводка точных решений

Некоторые дифференциальные уравнения имеют решения, которые можно записать в точной и замкнутой форме. Здесь приведены несколько важных классов.

В таблице ниже P ( x ) , Q ( x ) , P ( y ) , Q ( y ) и M ( x , y ) , N ( x , y ) — любые интегрируемые функции от x , y ; b и c — действительные заданные константы; C ₁ , C ₂ , ... — произвольные константы ( вообще говоря, комплексные ). Дифференциальные уравнения находятся в их эквивалентных и альтернативных формах, которые приводят к решению путем интегрирования.

В интегральных решениях λ и ε являются фиктивными переменными интегрирования (континуальные аналоги индексов при суммировании ), а обозначение ∫ ^x F ( λ ) dλ просто означает интегрирование F ( λ ) по λ , затем после интегрирования замените λ = x без добавления констант (явно указано).

Разделимые уравнения

Общие уравнения первого порядка

Общие уравнения второго порядка

Линейные уравнениям n- го порядка

Метод угадывания

Когда все другие методы решения ОДУ терпят неудачу или в тех случаях, когда у нас есть некоторая интуиция относительно того, как может выглядеть решение ДУ, иногда можно решить ДУ, просто угадав решение и проверив его правильность. Чтобы использовать этот метод, мы просто угадываем решение дифференциального уравнения, а затем подставляем это решение в дифференциальное уравнение, чтобы проверить, удовлетворяет ли оно уравнению. Если да, то у нас есть конкретное решение DE, в противном случае мы начинаем заново и пробуем еще одно предположение. Например, мы могли бы догадаться, что решение ДУ имеет вид: поскольку это очень распространенное решение, которое физически ведет себя синусоидально. ${\displaystyle y=Ae^{\alpha t}}$

В случае неоднородного ОДУ первого порядка нам нужно сначала найти решение ДУ однородной части ДУ, также известное как характеристическое уравнение, а затем найти решение всего неоднородного уравнения, угадывая . Наконец, мы сложим оба этих решения вместе, чтобы получить полное решение ОДУ, то есть:

${\displaystyle {\text{total solution}}={\text{homogeneous solution}}+{\text{particular solution}}}$

Программное обеспечение для решения ОДУ

• Maxima — система компьютерной алгебры с открытым исходным кодом .
• COPASI , бесплатный ( Artistic License 2.0 ) пакет программного обеспечения для интеграции и анализа ODE.
• MATLAB , приложение для технических вычислений (MATrix LABoratory)
• GNU Octave — язык высокого уровня, в первую очередь предназначенный для числовых вычислений.
• Scilab — приложение с открытым исходным кодом для численных вычислений.
• Maple — фирменное приложение для символьных вычислений.
• Mathematica — проприетарное приложение, предназначенное в первую очередь для символьных вычислений.
• SymPy , пакет Python, который может символически решать ОДУ.
• Julia (язык программирования) — язык высокого уровня, в первую очередь предназначенный для числовых вычислений.
• SageMath — приложение с открытым исходным кодом, использующее синтаксис, подобный Python, с широким спектром возможностей, охватывающим несколько областей математики.
• SciPy — пакет Python, включающий модуль интеграции ODE.
• Chebfun — пакет с открытым исходным кодом, написанный на MATLAB , для вычислений с функциями с точностью до 15 разрядов.
• GNU R , вычислительная среда с открытым исходным кодом, в первую очередь предназначенная для статистики, которая включает пакеты для решения ОДУ.

Смотрите также

• Краевая задача
• Примеры дифференциальных уравнений
• Преобразование Лапласа, примененное к дифференциальным уравнениям
• Список тем динамических систем и дифференциальных уравнений
• Матричное дифференциальное уравнение
• Метод неопределенных коэффициентов
• Рекуррентное отношение

Примечания

1. Деннис Г. Зилл (15 марта 2012 г.). Первый курс дифференциальных уравнений с приложениями для моделирования. Cengage Обучение. ISBN 978-1-285-40110-2. Архивировано из оригинала 17 января 2020 года . Проверено 11 июля 2019 г.
2. «Откуда произошел термин «обыкновенные дифференциальные уравнения»?». hsm.stackexchange.com . Обмен стеками . Проверено 28 июля 2016 г.
3. Математика для химиков, Д. М. Херст, Macmillan Press , 1976, (без ISBN) SBN: 333-18172-7
4. Крейциг (1972, стр. 64)
5. Симмонс (1972, стр. 1, 2)
6. Холлидей и Резник (1977, стр. 78)
7. Типлер (1991, стр. 78–83)
8. Харпер (1976, стр. 127)
9. Крейциг (1972, стр. 2)
10. Симмонс (1972, стр. 3)
11. Крейциг (1972, стр. 24)
12. Симмонс (1972, стр. 47)
13. Харпер (1976, стр. 128)
14. Крейциг (1972, стр. 12)
15. Ашер (1998, стр. 12) harvtxt error: no target: CITEREFAscher1998 (help)
16. Ахим Ильхманн; Тимо Рейс (2014). Обзоры по дифференциально-алгебраическим уравнениям II . Спрингер. стр. 104–105. ISBN 978-3-319-11050-9.
17. Ашер (1998, стр. 5) harvtxt error: no target: CITEREFAscher1998 (help)
18. Крейциг (1972, стр. 78)
19. Крейциг (1972, стр. 4)
20. Вардиа Т. Хаймо (1985). «Дифференциальные уравнения в конечном времени». 1985 24-я конференция IEEE по принятию решений и управлению . стр. 1729–1733. дои : 10.1109/CDC.1985.268832. S2CID  45426376.
21. Крель , 1866, 1868 г.
22. Лоуренс (1999, стр. 9) harvtxt error: no target: CITEREFLawrence1999 (help)
23. Логан, Дж. (2013). Прикладная математика (Четвертое изд.).
24. Ашер (1998, стр. 13) harvtxt error: no target: CITEREFAscher1998 (help)
25. Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (4-е издание), WE Boyce, RC Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1 
26. Боскен; Читур 2011, с. 21
27. Математический справочник формул и таблиц (3-е издание), С. Липшуц, М. Р. Шпигель, Дж. Лю, Серия схем Шаума, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
28. Дальнейший элементарный анализ, Р. Портер, G.Bell & Sons (Лондон), 1978, ISBN 0-7135-1594-5. 
29. Математические методы в физике и технике, К. Ф. Райли, М. П. Хобсон, С. Дж. Бенс, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3

Рекомендации

• Холлидей, Дэвид ; Резник, Роберт (1977), Физика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-71716-9
• Харпер, Чарли (1976), Введение в математическую физику , Нью-Джерси: Прентис-Холл , ISBN 0-13-487538-9
• Крейциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8.
• Полянин А.Д. и В.Ф. Зайцев, Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е издание), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2 . 
• Симмонс, Джордж Ф. (1972), Дифференциальные уравнения с приложениями и историческими примечаниями , Нью-Йорк: McGraw-Hill , LCCN  75173716
• Типлер, Пол А. (1991), Физика для ученых и инженеров: расширенная версия (3-е изд.), Нью-Йорк: Worth Publishers , ISBN 0-87901-432-6
• Боскейн, Уго; Читур, Ясин (2011), Введение в автоматику (PDF) (на французском языке)
• Дреснер, Лоуренс (1999), Приложения теории Ли для обыкновенных и дифференциальных уравнений в частных производных , Бристоль и Филадельфия: Издательство Института физики , ISBN 978-0750305303
• Ашер, Ури; Петцольд, Линда (1998), Компьютерные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциально-алгебраических уравнений , SIAM, ISBN 978-1-61197-139-2

Библиография

• Коддингтон, граф А.; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл .
• Хартман, Филип (2002) [1964], Обыкновенные дифференциальные уравнения, Классика прикладной математики, том. 38, Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики , номер документа : 10.1137/1.9780898719222, ISBN. 978-0-89871-510-1, МР  : 1929104
• У. Джонсон, Трактат об обыкновенных дифференциальных уравнениях и уравнениях в частных производных, Джон Уайли и сыновья, 1913, в коллекции исторической математики Мичиганского университета.
• Инс, Эдвард Л. (1944) [1926], Обыкновенные дифференциальные уравнения, Dover Publications, Нью-Йорк, ISBN 978-0-486-60349-0, МР  0010757
• Витольд Гуревич , Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям , Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8 
• Ибрагимов, Наиль Х. (1993). Справочник CRC по групповому анализу дифференциальных уравнений Vol. 1-3 . Провиденс: ЦРК-Пресс. ISBN 0-8493-4488-3..
• Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• А. Д. Полянин , В. Ф. Зайцев и А. Муссио, Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка , Тейлор и Фрэнсис, Лондон, 2002. ISBN 0-415-27267-X 
• Д. Цвиллингер, Справочник по дифференциальным уравнениям (3-е издание) , Academic Press, Бостон, 1997.

Внешние ссылки

• «Дифференциальное уравнение обыкновенное», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• EqWorld: Мир математических уравнений, содержащий список обыкновенных дифференциальных уравнений с их решениями.
• Интернет-заметки/Дифференциальные уравнения Пола Докинза, Университет Ламара .
• Дифференциальные уравнения, SOS-математика.
• Учебник по аналитическому решению дифференциальных уравнений от Института целостных численных методов Университета Южной Флориды.
• Конспект лекций Джеральда Тешля « Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы» .
• Заметки о Diffy Qs: Дифференциальные уравнения для инженеров Вводный учебник по дифференциальным уравнениям Иржи Лебла из UIUC .
• Моделирование с помощью ODE с использованием Scilab Учебное пособие по моделированию физической системы, описываемой ODE, с использованием стандартного языка программирования Scilab от команды Openeering.
• Решение обыкновенного дифференциального уравнения в Wolfram|Alpha