Дифференцируемый стек

Дифференцируемый стек — это аналог в дифференциальной геометрии алгебраического стека в алгебраической геометрии . Его можно описать либо как стек над дифференцируемыми многообразиями , допускающий атлас, либо как группоид Ли с точностью до эквивалентности Мориты . ^[1]

Дифференцируемые стеки особенно полезны для обработки пространств с особенностями (т. е. орбифолдов, листовых пространств, фактор-пространств), которые естественным образом появляются в дифференциальной геометрии, но не являются дифференцируемыми многообразиями. Например, дифференцируемые стеки имеют приложения в теории расслоения , ^[2] геометрии Пуассона ^[3] и скрученной K-теории . ^[4]

Определение

Определение 1 (через группоидные расслоения)

Напомним, что категория, расслоенная на группоиды (также называемая расслоением группоидов ), состоит из категории вместе с функтором в категорию дифференцируемых многообразий таким, что ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd} }$

1. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$является волокнистой категорией , т.е. для любого объекта и любой стрелки существует стрелка, лежащая над ; ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle V\to U}$ ${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$ ${\displaystyle v\to u}$ ${\displaystyle V\to U}$
2. для каждого коммутативного треугольника в и каждой стрелки над и над существует единственная стрелка над , делающая треугольник коммутативным. ${\displaystyle W\to V\to U}$ ${\displaystyle \mathrm {Mdf} }$ ${\displaystyle w\to u}$ ${\displaystyle W\to U}$ ${\displaystyle v\to u}$ ${\displaystyle V\to U}$ ${\displaystyle w\to v}$ ${\displaystyle W\to V}$ ${\displaystyle w\to v\to u}$

Эти свойства гарантируют, что для каждого объекта в можно определить его волокно , обозначаемое или , как подкатегорию из составленную всеми объектами , лежащими над и всеми морфизмами , лежащими над . По построению, является группоидом , что объясняет название. Стек — это расслоение группоида, удовлетворяющее дополнительным свойствам склеивания, выраженным в терминах спуска . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle id_{U}}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$

Любое многообразие определяет свою категорию среза , объектами которой являются пары многообразия и гладкого отображения ; тогда есть группоидное расслоение, которое на самом деле также является стеком. Морфизм группоидных расслоений называется представимой субмерсией, если ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{X}=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Mdf} }(-,X)}$ ${\displaystyle (U,f)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:U\to X}$ ${\displaystyle F_{X}\to \mathrm {Mdf} ,(U,f)\mapsto U}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$

• для любого многообразия и любого морфизма расслоенное произведение представимо , т.е. оно изоморфно (для некоторого многообразия ) группоидным расслоениям; ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F_{U}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times _{\mathcal {D}}F_{U}}$ ${\displaystyle F_{V}}$ ${\displaystyle Y}$
• индуцируемое гладкое отображение является погружением . ${\displaystyle V\to U}$

Дифференцируемый стек — это стек вместе с особым видом представимой субмерсии (каждая субмерсия , описанная выше, должна быть сюръективной ), для некоторого многообразия . Карта называется атласом, представлением или покрытием стека . ^{[5] [6]} ${\displaystyle \pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd} }$ ${\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle V\to U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$

Определение 2 (через 2-функторы)

Напомним, что предстек (группоидов) на категории , также известный как 2 - предпучок , является 2-функтором , где — 2-категория (теоретико-множественных) группоидов , их морфизмов и естественных преобразований между ними. Стек — это предстек, удовлетворяющий дополнительным свойствам склеивания (аналогично свойствам склеивания, которым удовлетворяет пучок). Чтобы точно сформулировать такие свойства, нужно определить (пред)стеки на сайте , т.е. категорию, снабженную топологией Гротендика . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$ ${\displaystyle \mathrm {Grp} }$

Любой объект определяет стек , который связывает с другим объектом группоид морфизмов из в . Стек называется геометрическим, если существует объект и морфизм стеков (часто называемый атласом, презентацией или покрытием стека ) такие, что ${\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle {\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,M)}$ ${\displaystyle N\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(N,M)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$ ${\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$ ${\displaystyle X}$

• морфизм представим, т.е. для каждого объекта из и любого морфизма расслоенное произведение изоморфно (для некоторого объекта ) в виде стеков; ${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle {\underline {M}}\times _{X}{\underline {Y}}}$ ${\displaystyle {\underline {Z}}}$ ${\displaystyle Z}$
• индуцирующий морфизм удовлетворяет дополнительному свойству в зависимости от категории (например, для многообразия предполагается, что оно является погружением ). ${\displaystyle Z\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Дифференцируемый стек — это стек на , категории дифференцируемых многообразий (рассматриваемой как сайт с обычной топологией открытого покрытия), т.е. 2-функтор , который также является геометрическим, т.е. допускает атлас, как описано выше. ^{[7] [8]} ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mfd} }$ ${\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$ ${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$

Обратите внимание, что, заменяя на категорию аффинных схем , мы восстанавливаем стандартное понятие алгебраического стека . Аналогично, заменяя на категорию топологических пространств , мы получаем определение топологического стека. ${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$ ${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$

Определение 3 (через эквивалентности Мориты)

Напомним, что группоид Ли состоит из двух дифференцируемых многообразий и , а также двух сюръективных субмерсий , а также частичного отображения умножения , единичного отображения и обратного отображения , удовлетворяющих групповым совместимости. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s,t:G\to M}$ ${\displaystyle m:G\times _{M}G\to G}$ ${\displaystyle u:M\to G}$ ${\displaystyle i:G\to G}$

Два группоида Ли и эквивалентны по Морите , если между ними существует главное бирасслоение , то есть главное правое -расслоение , главное левое -расслоение , такое, что два действия на коммутируют. Эквивалентность по Морите - это отношение эквивалентности между группоидами Ли, более слабое, чем изоморфизм, но достаточно сильное, чтобы сохранить многие геометрические свойства. ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle H\rightrightarrows N}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P\to M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\to N}$ ${\displaystyle P}$

Дифференцируемый стек , обозначаемый как , является классом эквивалентности Мориты некоторого группоида Ли . ^{[5] [9]} ${\displaystyle [M/G]}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Эквивалентность определений 1 и 2

Любая расслоенная категория определяет 2-пучок . Наоборот, любой престек порождает категорию , чьи объекты являются парами многообразия и объекта , а чьи морфизмы являются отображениями такими, что . Это становится расслоенной категорией с функтором . ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} }$ ${\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{opp}\to \mathrm {Grp} ,U\mapsto \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (U,x)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in X(U)}$ ${\displaystyle \phi :(U,x)\to (V,y)}$ ${\displaystyle X(\phi )(y)=x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} ,(U,x)\mapsto U}$

Свойства склеивания, определяющие стек в первом и втором определении, эквивалентны; аналогично, атлас в смысле определения 1 индуцирует атлас в смысле определения 2 и наоборот. ^[5]

Эквивалентность определений 2 и 3

Каждый группоид Ли порождает дифференцируемый стек , который переводит любое многообразие в категорию - торсоров на (т.е. - главных расслоений ). Любой другой группоид Ли в классе Мориты индуцирует изоморфный стек. ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle BG:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Наоборот, любой дифференцируемый стек имеет вид , т.е. он может быть представлен группоидом Ли. Точнее, если является атласом стека , то определяется группоид Ли и проверяется, что он изоморфен . ${\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G_{X}:=M\times _{X}M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle BG_{X}}$ ${\displaystyle X}$

Теорема Доретт Пронк утверждает эквивалентность бикатегорий между дифференцируемыми стеками согласно первому определению и группоидами Ли с точностью до эквивалентности Мориты. ^[10]

Примеры

• Любое многообразие определяет дифференцируемый стек , который тривиально представляется тождественным морфизмом . Стек соответствует классу эквивалентности Мориты единичного группоида . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Hom} }(-,M)}$ ${\displaystyle {\underline {M}}\to {\underline {M}}}$ ${\displaystyle {\underline {M}}}$ ${\displaystyle u(M)\rightrightarrows M}$
• Любая группа Ли определяет дифференцируемый стек , который переводит любое многообразие в категорию -главного расслоения на . Он представлен тривиальным морфизмом стека , переводящим точку в универсальное -расслоение над классифицирующим пространством . Стек соответствует классу эквивалентности Мориты , рассматриваемому как группоид Ли над точкой (т. е. классу эквивалентности Мориты любых транзитивных группоидов Ли с изотропией ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\underline {pt}}\to BG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows \{*\}}$ ${\displaystyle G}$
• Любое слоение на многообразии определяет дифференцируемый стек через свои листовые пространства. Он соответствует классу эквивалентности Мориты группоида голономии . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$
• Любой орбифолд является дифференцируемым стеком, поскольку он является классом эквивалентности Мориты собственного группоида Ли с дискретными изотропиями (следовательно, конечными , поскольку изотропии собственных группоидов Ли компактны ).

Факторно-дифференцируемый стек

При наличии действия группы Ли на ее факторный (дифференцируемый) стек является дифференциальным аналогом факторного (алгебраического) стека в алгебраической геометрии. Он определяется как стек, сопоставляющий любому многообразию категорию главных -расслоений и -эквивариантных отображений . Это дифференцируемый стек, представленный морфизмом стека, определенным для любого многообразия как ${\displaystyle a:M\times G\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [M/G]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi :P\to M}$ ${\displaystyle {\underline {M}}\to [M/G]}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\underline {M}}(X)=\mathrm {Hom} (X,M)\to [M/G](X),\quad f\mapsto (X\times G\to X,\phi _{f})}$$

где - -эквивариантное отображение . ^[7] ${\displaystyle \phi _{f}:X\times G\to M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi _{f}=a\circ (f\circ \mathrm {pr} _{1},\mathrm {pr} _{2}):(x,g)\mapsto f(x)\cdot g}$

Стек соответствует классу эквивалентности Мориты группоида действия . Соответственно, можно восстановить следующие частные случаи: ${\displaystyle [M/G]}$ ${\displaystyle M\times G\rightrightarrows M}$

• если - точка, то дифференцируемый стек совпадает с ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [M/G]}$ ${\displaystyle BG}$
• если действие свободно и правильно (и, следовательно, фактор является многообразием), то дифференцируемый стек совпадает с ${\displaystyle M/G}$ ${\displaystyle [M/G]}$ ${\displaystyle {\underline {M/G}}}$
• если действие является собственным (и, следовательно, фактор является орбифолдом), дифференцируемый стек совпадает со стеком, определяемым орбифолдом ${\displaystyle M/G}$ ${\displaystyle [M/G]}$

Дифференциальное пространство

Дифференцируемое пространство — это дифференцируемый стек с тривиальными стабилизаторами. Например, если группа Ли действует свободно, но не обязательно правильно на многообразии, то фактор по ней в общем случае не является многообразием, а дифференцируемым пространством.

С топологией Гротендика

Дифференцируемый стек может быть снабжен топологией Гротендика определенным образом (см. ссылку). Это дает понятие пучка над . Например, пучок дифференциальных -форм над задается как для любого в над многообразием , пусть будет пространством -форм на . Пучок называется структурным пучком на и обозначается как . поставляется с внешней производной и, таким образом, является комплексом пучков векторных пространств над : таким образом, имеется понятие когомологий де Рама для . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Гербы

Эпиморфизм между дифференцируемыми стеками называется gerbe над , если также является эпиморфизмом. Например, если является стеком, является gerbe. Теорема Жиро утверждает, что соответствует один к одному множеству gerbe над , которые локально изоморфны и которые поставляются с тривиализациями их полос. ^[11] ${\displaystyle G\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\to G\times _{X}G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle BS^{1}\times X\to X}$ ${\displaystyle H^{2}(X,S^{1})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle BS^{1}\times X\to X}$

Ссылки

1. Бломанн, Кристиан (2008-01-01). "Stacky Lie Groups". Международные уведомления по математическим исследованиям . 2008. arXiv : math/0702399 . doi :10.1093/imrn/rnn082. ISSN  1687-0247 .
2. Мурдейк, Ике (1993). «Слоения, группоиды и étendues Гротендика». Преподобный акад. наук. Сарагоса . 48 (2): 5–33. МР  1268130.
3. Blohmann, Christian; Weinstein, Alan (2008). «Групповые объекты в геометрии и алгебре Пуассона». Геометрия Пуассона в математике и физике. Contemporary Mathematics. Vol. 450. American Mathematical Society. pp. 25–39. arXiv : math/0701499 . doi :10.1090/conm/450. ISBN 978-0-8218-4423-6. S2CID  16778766.
4. Ту, Жан-Луи; Сюй, Пин; Лоран-Жангу, Камилла (1 ноября 2004 г.). «Витая K-теория дифференцируемых стеков». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 37 (6): 841–910. arXiv : математика/0306138 . doi : 10.1016/j.ansens.2004.10.002. ISSN  0012-9593. S2CID  119606908 - через нумерацию древних математических документов.  [фр] .
5. Беренд, Кай ; Сюй, Пин (2011). «Дифференцируемые стеки и gerbes». Журнал симплектической геометрии . 9 (3): 285–341. arXiv : math/0605694 . doi :10.4310/JSG.2011.v9.n3.a2. ISSN  1540-2347. S2CID  17281854.
6. Грегори Жино, Введение в дифференцируемые стеки (и gerbes, модульные пространства …), 2013
7. Йохен Хейнлот: Некоторые заметки о дифференцируемых стеках , Семинары Математического института, Университет Геттингена, 2004-05, стр. 1-32.
8. Евгений Лерман, Антон Малкин, Дифференциальные символы как стеки и предварительное квантование, 2008
9. Пин Сюй, Дифференцируемые стеки, Gerbes и скрученная K-теория, 2017
10. Пронк, Доретт А. (1996). «Etendus и stacks как бикатегории дробей». Математическая композиция . 102 (3): 243–303 - через нумеризацию документов древних математиков.  [фр] .
11. Жиро, Жан (1971). «Когомологии не абелиенны». Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 179 . дои : 10.1007/978-3-662-62103-5. ISBN 978-3-540-05307-1. ISSN  0072-7830.

Внешние ссылки

• http://ncatlab.org/nlab/show/дифференциабле+стек