Длина Дебая

Мера электростатического эффекта и насколько он сохраняется

В плазме и электролитах длина Дебая ( радиус Дебая или длина экранирования Дебая-Хюккеля ) является мерой чистого электростатического эффекта носителя заряда в растворе и того, насколько долго сохраняется его электростатический эффект. ^[1] С каждой дебаевской длиной заряды все больше электрически экранируются , и электрический потенциал уменьшается по величине на 1/ e . Сфера Дебая — это объем, радиус которого равен длине Дебая. Длина Дебая — важный параметр в физике плазмы , электролитов и коллоидов ( теория ДЛФО ). Соответствующий волновой вектор дебая экранирования для частиц с плотностью и зарядом при температуре выражается в гауссовых единицах . Ниже будут приведены выражения в единицах МКС. Аналогичные величины при очень низких температурах ( ) известны как длина Томаса–Ферми и волновой вектор Томаса–Ферми. Они представляют интерес для описания поведения электронов в металлах при комнатной температуре. ${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {D}}=1/\lambda _{\rm {D}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k_{\rm {D}}^{2}=4\pi nq^{2}/(k_{\rm {B}}T)}$ ${\displaystyle T\to 0}$

Длина Дебая названа в честь американского физика и химика голландского происхождения Питера Дебая (1884–1966), лауреата Нобелевской премии по химии.

Физическое происхождение

Дебаевская длина естественным образом возникает при термодинамическом описании больших систем подвижных зарядов. В системе зарядов разных видов -ый вид несет заряд и имеет концентрацию в положении . Согласно так называемой «примитивной модели», эти заряды распределены в сплошной среде, характеризующейся только ее относительной статической диэлектрической проницаемостью , . Такое распределение зарядов внутри этой среды приводит к возникновению электрического потенциала , который удовлетворяет уравнению Пуассона : ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} )-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} ),}$$

электрическая постоянная ${\displaystyle \varepsilon \equiv \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \rho _{\rm {ext}}}$

Подвижные заряды не только способствуют установлению , но и движутся в ответ на связанную с ними силу Кулона . Если мы далее предположим, что система находится в термодинамическом равновесии с тепловой баней при абсолютной температуре , то концентрации дискретных зарядов можно рассматривать как термодинамические (ансамблевые) средние значения, а связанный с ним электрический потенциал - как среднее термодинамическое поле . При этих предположениях концентрация -й разновидности заряда описывается распределением Больцмана , ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle -q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle j}$

$${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right),}$$

постоянная Больцмана ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ ${\displaystyle n_{j}^{0}}$ ${\displaystyle j}$

Отождествление мгновенных концентраций и потенциала в уравнении Пуассона с их аналогами среднего поля в распределении Больцмана дает уравнение Пуассона-Больцмана :

$${\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} ).}$$

Решения этого нелинейного уравнения известны для некоторых простых систем. Решения для более общих систем могут быть получены в пределе высоких температур (слабой связи) путем расширения экспоненты Тейлором: ${\displaystyle q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll k_{\rm {B}}T}$

$${\displaystyle \exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}.}$$

Это приближение дает линеаризованное уравнение Пуассона – Больцмана

$${\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{k_{\rm {B}}T}}\right)\,\Phi (\mathbf {r} )-\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j}-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}$$

уравнение Дебая-Хюккеля^{[2] [3] [4] [5] [6]}размерного анализа ${\displaystyle \varepsilon }$

$${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=\left({\frac {\varepsilon \,k_{\rm {B}}T}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2}}$$

${\displaystyle \lambda _{D}}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\lambda _{\rm {D}}^{-2}\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}{\varepsilon }}}$$

${\displaystyle \rho _{\rm {ext}}=Q\delta (\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}}e^{-r/\lambda _{\rm {D}}}}$$

эффект экранирования

Длина Дебая – Хюккеля может быть выражена через длину Бьеррума как ${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$

$${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=\left(4\pi \,\lambda _{\rm {B}}\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,z_{j}^{2}\right)^{-1/2},}$$

зарядовое числоэлементарным зарядом ${\displaystyle z_{j}=q_{j}/e}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle e}$

В плазме

Для слабостолкновительной плазмы дебаевское экранирование можно ввести очень интуитивно, принимая во внимание зернистый характер такой плазмы. Представим себе сферу вокруг одного из ее электронов и сравним число электронов, пересекающих эту сферу с учетом и без кулоновского отталкивания. При отталкивании это число меньше. Поэтому, согласно теореме Гаусса, кажущийся заряд первого электрона меньше, чем в отсутствие отталкивания. Чем больше радиус сферы, тем больше число отклоненных электронов и тем меньше кажущийся заряд: это дебаевское экранирование. Поскольку глобальное отклонение частиц включает в себя вклад многих других, плотность электронов не меняется, в отличие от экранирования, действующего рядом с ленгмюровским зондом ( дебаевская оболочка ). Ионы вносят аналогичный вклад в экранирование из-за притягивающего кулоновского отклонения зарядов противоположных знаков.

Эта интуитивная картина приводит к эффективному расчету дебаевского экранирования (см. раздел II.A.2 в ^[7] ). В этом расчете нет необходимости допускать распределение Больцмана: оно работает для любой функции распределения частиц. Расчет также позволяет избежать аппроксимации слабостолкновительной плазмы как сплошной среды. Расчет N-тел показывает, что чистое кулоновское ускорение одной частицы другой модифицируется вкладом, опосредованным всеми другими частицами, что является признаком дебаевского экранирования (см. раздел 8 из ^[8] ). При старте из случайных положений частиц типичный временной масштаб установления экранирования — это время, за которое тепловая частица пересекает дебаевскую длину, т. е. время, обратное плазменной частоте. Следовательно, в слабостолкновительной плазме столкновения играют важную роль, вызывая кооперативный процесс самоорганизации: дебаевское экранирование. Это экранирование важно для получения конечного коэффициента диффузии при расчете кулоновского рассеяния ( кулоновского столкновения ).

В неизотермической плазме температуры электронов и тяжелых частиц могут различаться, а фоновую среду можно рассматривать как вакуум ( ), ${\displaystyle \varepsilon _{r}=1}$ а дебаевская длина равна

$${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}/q_{e}^{2}}{n_{e}/T_{e}+\sum _{j}z_{j}^{2}n_{j}/T_{j}}}}}$$

• λ _D – дебаевская длина,
• ε ₀ — диэлектрическая проницаемость свободного пространства ,
• k _B – постоянная Больцмана ,
• q _e – заряд электрона ,
• T _e и Ti _— температуры электронов и ионов соответственно,
• n _e – плотность электронов,
• n _j — плотность атомов j с положительным ионным зарядом z _j q _e

Даже в квазинейтральной холодной плазме, где вклад ионов фактически кажется большим из-за более низкой температуры ионов, ионный член на самом деле часто опускается, что дает

$${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T_{e}}{n_{e}q_{e}^{2}}}}}$$

^[9]

Типичные значения

В космической плазме, где плотность электронов относительно мала, дебаевская длина может достигать макроскопических значений, например, в магнитосфере, солнечном ветре, межзвездной среде и межгалактической среде. См. таблицу ниже: ^[10]

В растворе электролита

В электролите или коллоидной суспензии дебаевскую длину ^{[11] [12] [13]} для одновалентного электролита обычно обозначают символом κ ^-1.

$${\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T}{2e^{2}I}}}}$$

где

• I - ионная сила электролита в ч/м ³ ед.,
• ε ₀ — диэлектрическая проницаемость свободного пространства ,
• ε _r – диэлектрическая проницаемость ,
• k _B – постоянная Больцмана ,
• Т — абсолютная температура в Кельвинах ,
• ${\displaystyle e}$это элементарный заряд ,

или, для симметричного одновалентного электролита,

$${\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}RT}{2\times 10^{3}F^{2}C_{0}}}}}$$

• R — газовая постоянная ,
• F — постоянная Фарадея ,
• C ₀ – концентрация электролита в молярных единицах (М или моль/л).

Альтернативно,

$${\displaystyle \kappa ^{-1}={\frac {1}{\sqrt {8\pi \lambda _{\rm {B}}N_{\rm {A}}\times 10^{-24}I}}}}$$

по Бьерруму ${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$ ${\displaystyle 10^{-24}}$

Для деионизированной воды при комнатной температуре и pH=7 λ _B ≈ 1 мкм.

При комнатной температуре (20 °C или 70 °F) в воде можно рассматривать соотношение: ^[14]

$${\displaystyle \kappa ^{-1}(\mathrm {nm} )={\frac {0.304}{\sqrt {I(\mathrm {M} )}}}}$$

• κ ^-1 выражается в нанометрах (нм).
• I — ионная сила , выраженная в молях (М или моль/л).

Существует метод оценки приблизительного значения дебаевской длины в жидкостях по проводимости, который описан в стандарте ISO ^[11] и книге. ^[12]

В полупроводниках

Длина Дебая становится все более значимой при моделировании твердотельных устройств, поскольку усовершенствования в литографических технологиях позволяют использовать меньшую геометрию. ^{[15] [16] [17]}

Дебаевская длина полупроводников равна:

$${\displaystyle L_{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon k_{\rm {B}}T}{q^{2}N_{\rm {dop}}}}}}$$

• ε — диэлектрическая проницаемость,
• k _B – постоянная Больцмана,
• T — абсолютная температура в Кельвинах,
• q — элементарный заряд, а
• N _dop — чистая плотность легирующих примесей (доноров или акцепторов).

Когда профили легирования превышают длину Дебая, поведение основных носителей заряда больше не зависит от распределения примесей. Вместо этого измерение профиля градиентов легирования обеспечивает «эффективный» профиль, который лучше соответствует профилю плотности основных носителей.

В контексте твердых тел вместо длины Дебая может потребоваться длина экранирования Томаса – Ферми .

Смотрите также

• Длина Бьеррума
• Эффект Дебая – Фалькенхагена
• Плазменные колебания
• Экранирующий эффект
• Экранирующий эффект

Рекомендации

1. Дебай, П.; Хюкель, Э. (2019) [1923]. Перевод Брауса, Майкла Дж. «Zur Theorie der Elektrolyte. I. Gefrierpunktserniedrigung und verwandte Erscheinungen» [Теория электролитов. I. Депрессия точки замерзания и связанное с ней явление. Physikalische Zeitschrift . 24 (9): 185–206.
2. Кирби, Би Джей (2010). Микро- и наномеханика жидкости: транспорт в микрофлюидных устройствах . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-11903-0.
3. Ли, Д. (2004). Электрокинетика в микрофлюидике . Академическая пресса. ISBN 0-12-088444-5.
4. ПК Клеммоу и Дж. П. Догерти (1969). Электродинамика частиц и плазмы. Редвуд-Сити, Калифорния: Аддисон-Уэсли . п. п. 7.6.7, с. 236 и далее. ISBN 978-0-201-47986-7.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
5. Р. А. Робинсон и Р. Х. Стоукс (2002). Электролитные растворы. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications . п. 76. ИСБН 978-0-486-42225-1.
6. См. Бриджес, Дэвид К.; Мартин, доктор философии (1999). «Кулоновские системы при низкой плотности: обзор». Журнал статистической физики . 96 (5/6): 1163–1330. arXiv : cond-mat/9904122 . Бибкод : 1999JSP....96.1163B. дои : 10.1023/А: 1004600603161. S2CID  54979869.
7. Мейер-Верне Н. (1993) Аспекты дебаевского экранирования. Американский физический журнал 61, 249–257.
8. Эсканде, Д.Ф., Бенисти, Д., Элскенс, Ю., Зарзосо, Д., и Довейл, Ф. (2018). Основы микроскопической физики плазмы из механики N тел, Дань уважения Пьеру-Симону де Лапласу, Обзоры современной физики плазмы, 2, 1-68
9. IH Hutchinson Принципы плазменной диагностики ISBN 0-521-38583-0 
10. Кип Торн (2012). «Глава 20: Кинетика частиц плазмы» (PDF) . Приложения классической физики . Проверено 7 сентября 2017 г.
11. Международный стандарт ISO 13099-1, 2012, «Коллоидные системы. Методы определения дзета-потенциала. Часть 1: Электроакустические и электрокинетические явления».
12. Духин, А.С.; Гетц, Пи Джей (2017). Характеристика жидкостей, нано- и микрочастиц и пористых тел с помощью ультразвука . Эльзевир. ISBN 978-0-444-63908-0.
13. Рассел, ВБ; Сэвилл, Д.А.; Шовальтер, WR (1989). Коллоидные дисперсии . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-42600-6.
14. Исраэлачвили, Дж. (1985). Межмолекулярные и поверхностные силы . Академическая пресса. ISBN 0-12-375181-0.
15. Стерн, Эрик; Робин Вагнер; Фред Дж. Сигворт; Рональд Брейкер; Тарек М. Фахми; Марк А. Рид (1 ноября 2007 г.). «Важность длины дебаевского экранирования в датчиках нанопроволочных полевых транзисторов». Нано-буквы . 7 (11): 3405–3409. Бибкод : 2007NanoL...7.3405S. дои : 10.1021/nl071792z. ПМЦ 2713684 . ПМИД  17914853. 
16. Го, Линцзе; Эффенди Леобандунг; Стивен Ю. Чоу (199). «Кремниевая одноэлектронная память металл-оксид-полупроводник при комнатной температуре с наноразмерным плавающим затвором и сверхузким каналом». Письма по прикладной физике . 70 (7): 850. Бибкод : 1997АпФЛ..70..850Г. дои : 10.1063/1.118236.
17. Тивари, Сандип; Фархан Рана; Кевин Чан; Кожаный Ши; Хусейн Ханафи (1996). «Одиночный заряд и эффекты удержания в нанокристаллической памяти». Письма по прикладной физике . 69 (9): 1232. Бибкод : 1996ApPhL..69.1232T. дои : 10.1063/1.117421.

дальнейшее чтение

• Голдстон и Резерфорд (1997). Введение в физику плазмы . Филадельфия: Издательство Института физики .
• Ликлема (1993). Основы интерфейсов и коллоидной науки . Нью-Йорк: Академическая пресса .