Q-фактор

Параметр, описывающий долговечность энергии в резонаторе относительно его резонансной частоты.

Затухающее колебание. Низкая добротность – здесь около 5 – означает, что колебания быстро затухают.

В физике и технике добротность или добротность — это безразмерный параметр , который описывает, насколько затухает генератор или резонатор . Она определяется как отношение начальной энергии, запасенной в резонаторе, к энергии, теряемой за один радиан цикла колебаний. ^[1] Альтернативно добротность определяется как отношение центральной частоты резонатора к его полосе пропускания при воздействии осциллирующей движущей силы. Эти два определения дают численно схожие, но не идентичные результаты. ^[2] Более высокая добротность указывает на меньшую скорость потери энергии и более медленное затухание колебаний. Маятник, подвешенный на высококачественном подшипнике, колеблющийся на воздухе, имеет высокую добротность , а маятник, погруженный в масло, - низкую. Резонаторы с высокой добротностью имеют низкое демпфирование , поэтому они дольше звенят или вибрируют.

Объяснение

Добротность — это параметр, который описывает резонансное поведение недозатухающего гармонического осциллятора (резонатора). Резонаторы с синусоидальным приводом , имеющие более высокую добротность , резонируют с большими амплитудами (на резонансной частоте), но имеют меньший диапазон частот вокруг этой частоты, на которой они резонируют; диапазон частот, в которых резонирует генератор, называется полосой пропускания. Таким образом, настроенную схему с высокой добротностью в радиоприемнике будет сложнее настроить, но она будет иметь большую избирательность ; он будет лучше фильтровать сигналы других станций, расположенных поблизости в спектре. Генераторы с высокой добротностью генерируют колебания в меньшем диапазоне частот и более стабильны.

Добротность генераторов существенно варьируется от системы к системе в зависимости от их конструкции. Системы, для которых демпфирование важно (например, демпферы, удерживающие дверь от захлопывания), имеют Q около 1 ⁄ 2 . Часы, лазеры и другие резонирующие системы, которым необходим либо сильный резонанс, либо высокая стабильность частоты, имеют высокие добротности. Добротность камертонов составляет около 1000. Добротность атомных часов , сверхпроводящих ВЧ- резонаторов, используемых в ускорителях, а также некоторых высокодобротных лазеров может достигать 10 ^{11 [3]} и выше. ^[4]

Существует множество альтернативных величин, используемых физиками и инженерами для описания степени затухания генератора. Важные примеры включают в себя: коэффициент демпфирования , относительную полосу пропускания , ширину линии и полосу пропускания, измеряемую в октавах .

Концепция Q возникла у К.С. Джонсона из инженерного отдела Western Electric Company при оценке качества катушек (индукторов). Он выбрал символ Q только потому, что в то время были взяты все остальные буквы алфавита. Этот термин не задумывался как сокращение от «качество» или «фактор качества», хотя эти термины стали ассоциироваться с ним. ^{[5] [6] [7]}

Определение

Определение Q с момента его первого использования в 1914 году было обобщено для применения к катушкам и конденсаторам, резонансным цепям, резонансным устройствам, резонансным линиям передачи, резонаторам ^[5] и вышло за пределы области электроники и применимо к динамическим системам в целом. : механические и акустические резонаторы, материал Q и квантовые системы, такие как спектральные линии и резонансы частиц.

Определение пропускной способности

В контексте резонаторов существует два общих определения Q , которые не совсем эквивалентны. Они становятся примерно эквивалентными по мере увеличения Q , что означает, что резонатор становится менее затухающим. Одним из таких определений является отношение частоты к полосе пропускания резонатора: ^[5]

${\displaystyle Q\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\frac {f_{r}}{\Delta f}}={\frac {\omega _{r}}{\Delta \omega }},}$

где f _r — резонансная частота, Δ f — ширина резонанса или полная ширина на половине высоты (FWHM), т. е. полоса пропускания, в которой мощность вибрации превышает половину мощности на резонансной частоте, ω _r =  2π f _r угловая резонансная частота, а Δ ω – угловая полоса пропускания половинной мощности.

Согласно этому определению, Q является обратной величиной дробной полосы пропускания .

Определение запасенной энергии

Другое распространенное, почти эквивалентное определение Q - это отношение энергии, запасенной в колеблющемся резонаторе, к энергии, рассеиваемой за цикл в результате процессов демпфирования: ^{[8] [9] [5]}

${\displaystyle Q\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} 2\pi \times {\frac {\text{energy stored}}{\text{energy dissipated per cycle}}}=2\pi f_{r}\times {\frac {\text{energy stored}}{\text{power loss}}}.}$

Множитель 2π позволяет выразить Q в более простых терминах, используя только коэффициенты дифференциального уравнения второго порядка, описывающего большинство резонансных систем, электрических или механических. В электрических системах запасенная энергия представляет собой сумму энергий, запасенных в катушках индуктивности и конденсаторах без потерь ; потерянная энергия представляет собой сумму энергий, рассеиваемых в резисторах за цикл. В механических системах запасенная энергия представляет собой сумму потенциальной и кинетической энергий в определенный момент времени; потерянная энергия — это работа, совершаемая внешней силой за цикл для поддержания амплитуды.

В более общем плане и в контексте спецификации реактивных компонентов (особенно индукторов) используется частотно-зависимое определение Q : ^{[8] [10] [ неудачная проверка – см. обсуждение ] [9]}

${\displaystyle Q(\omega )=\omega \times {\frac {\text{maximum energy stored}}{\text{power loss}}},}$

где ω — угловая частота , при которой измеряются запасенная энергия и потери мощности. Это определение согласуется с его использованием при описании цепей с одним реактивным элементом (конденсатором или катушкой индуктивности), где можно показать, что он равен отношению реактивной мощности к активной мощности . ( См. Отдельные реактивные компоненты.)

Добротность и демпфирование

Добротность определяет качественное поведение простых затухающих генераторов. (Математические подробности об этих системах и их поведении см. в разделе « Гармонический осциллятор и система линейного инварианта времени (LTI) ».)

• Система с низкой добротностью ( Q  <  1/2 ) называется перезатухающей . Такая система вообще не колеблется, но при выходе из равновесного установившегося состояния она возвращается к нему путем экспоненциального затухания , асимптотически приближаясь к установившемуся значению . Он имеет импульсную характеристику , которая представляет собой сумму двух затухающих экспоненциальных функций с разной скоростью затухания. По мере уменьшения добротности более медленный режим затухания становится сильнее по сравнению с более быстрым режимом и доминирует в реакции системы, что приводит к более медленной системе. Фильтр нижних частот второго порядка с очень низкой добротностью имеет переходную характеристику почти первого порядка; выход системы реагирует на входной сигнал , медленно поднимаясь к асимптоте .
• Система с высокой добротностью ( Q  >  1/2 ) называется недостаточно демпфированной . Системы с недостаточным демпфированием сочетают колебания определенной частоты с затуханием амплитуды сигнала. Системы с недостаточным демпфированием и низкой добротностью (чуть выше Q =  1 ⁄ 2 ) могут колебаться только один или несколько раз, прежде чем затухнуть. По мере увеличения добротности относительная величина демпфирования уменьшается. Качественный колокол звонит одним чистым тоном очень долгое время после удара. Чисто колебательная система, такая как колокол, который звонит вечно, имеет бесконечную добротность. В более общем смысле, выходной сигнал фильтра нижних частот второго порядка с очень высоким коэффициентом качества реагирует на скачок входного сигнала, быстро поднимаясь выше, колеблясь и в конечном итоге сходясь к установившемуся значению.
• Система с промежуточной добротностью ( Q  =  1/2 ) называется критически демпфированной . Как и в случае с передемпфированной системой, выходной сигнал не колеблется и не выходит за пределы установившегося выходного сигнала (т. е. приближается к асимптоте установившегося состояния). Подобно недостаточному демпфированию, выход такой системы быстро реагирует на входной сигнал с единичным шагом. Критическое демпфирование приводит к максимально быстрому реагированию (приближению к конечному значению) без перерегулирования. Спецификации реальной системы обычно допускают некоторое превышение для более быстрого начального реагирования или требуют более медленного начального реагирования, чтобы обеспечить запас прочности против превышения.

В системах с отрицательной обратной связью доминирующая реакция с обратной связью часто хорошо моделируется системой второго порядка. Запас по фазе разомкнутой системы устанавливает добротность Q замкнутой системы; по мере уменьшения запаса по фазе приближенная замкнутая система второго порядка становится более колебательной (т. е. имеет более высокую добротность).

Некоторые примеры

• Топология фильтра нижних частот Саллена-Ки с единичным коэффициентом усиления с одинаковыми конденсаторами и одинаковыми резисторами критически демпфируется (т. е. Q = 1 ⁄ 2 ).
• Фильтр Бесселя второго порядка (т. е. фильтр непрерывного времени с наименьшей групповой задержкой ) имеет недостаточное демпфирование Q = 1 ⁄ √ 3 .
• Фильтр Баттерворта второго порядка (т. е. фильтр непрерывного времени с самой плоской частотной характеристикой полосы пропускания) имеет недостаточное демпфирование Q = 1 ⁄ √ 2 . ^[11]
• Добротность маятника равна: , где M — масса боба, ω = 2π/ T — радианная частота колебаний маятника, а Γ — сила демпфирования трения маятника на единицу скорости. ${\textstyle Q={M\omega }/{\Gamma }}$
• В конструкции гиротрона высокой энергии (около ТГц) учитывается как дифракционная добротность как функция длины резонатора ( L ) и длины волны ( ), так и омическая добротность ( –моды). ${\textstyle Q_{D}\approx 30\left({\frac {L}{\lambda }}\right)^{2}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle TE_{m,p}}$

  ${\displaystyle Q_{\Omega }={\frac {R_{w}}{\delta }}{\frac {1-m^{2}}{v_{m,p}^{2}}}}$,

  где - радиус стенки полости, - глубина скин- слоя стенки полости, - скаляр собственного значения (m - индекс азимута, p - радиальный индекс; в этом приложении глубина скин-слоя равна ) ^[12] ${\displaystyle R_{w}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle V_{m.p}}$ ${\textstyle \delta ={1}/{\sqrt {\pi f\sigma u_{o}}}}$
• В медицинской ультрасонографии датчик с высокой добротностью подходит для допплерографии из-за его длительного времени срабатывания, при котором он может измерять скорость кровотока. Между тем, датчик с низкой добротностью имеет короткое время срабатывания и подходит для визуализации органов, поскольку может принимать широкий диапазон отраженных эхо-сигналов от органов тела. ^[13]

Физическая интерпретация

С физической точки зрения Q — это приблизительно отношение запасенной энергии к энергии, рассеиваемой за один радиан колебания; или, что почти то же самое, при достаточно высоких значениях Q , в 2π раза превышающее соотношение общей запасенной энергии и энергии, потерянной за один цикл. ^[14]

Это безразмерный параметр, который сравнивает экспоненциальную постоянную времени τ затухания амплитуды колеблющейся физической системы с периодом ее колебаний . Эквивалентно, он сравнивает частоту, с которой система колеблется, со скоростью, с которой она рассеивает свою энергию. Точнее, используемые частота и период должны основываться на собственной частоте системы, которая при низких значениях Q несколько выше, чем частота колебаний, измеренная путем пересечения нуля.

Эквивалентно (для больших значений Q ), добротность - это приблизительно количество колебаний, необходимое для того, чтобы энергия свободно колеблющейся системы упала до e ^-2π , или примерно 1 ⁄ 535 или 0,2% от ее первоначальной энергии. ^[15] Это означает, что амплитуда падает примерно до e ^-π или 4% от исходной амплитуды. ^[16]

Ширина (пропускная способность) резонанса определяется (приблизительно):

${\displaystyle \Delta f={\frac {f_{\mathrm {N} }}{Q}},\,}$

где f _N — собственная частота , а Δ f , полоса пропускания , — это ширина диапазона частот, для которых энергия равна как минимум половине своего пикового значения.

Резонансная частота часто выражается в натуральных единицах (радианах в секунду), а _не в герцах , как

${\displaystyle \omega _{\mathrm {N} }=2\pi f_{\mathrm {N} }.}$

Коэффициенты Q , коэффициент затухания ζ, собственная частота ω _N , скорость затухания α и экспоненциальная постоянная времени τ связаны так, что: ^{[17] [ нужна страница ]}

${\displaystyle Q={\frac {1}{2\zeta }}={\frac {\omega _{\mathrm {N} }}{2\alpha }}={\frac {\tau \omega _{\mathrm {N} }}{2}},}$

а коэффициент демпфирования можно выразить как:

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{\mathrm {N} }}={1 \over \tau \omega _{\mathrm {N} }}.}$

Огибающая колебаний затухает пропорционально e ^{−α t} или e ^{− t / τ} , где α и τ можно выразить как:

${\displaystyle \alpha ={\omega _{\mathrm {N} } \over 2Q}=\zeta \omega _{\mathrm {N} }={1 \over \tau }}$

и

${\displaystyle \tau ={2Q \over \omega _{\mathrm {N} }}={1 \over \zeta \omega _{\mathrm {N} }}={\frac {1}{\alpha }}.}$

Энергия колебаний, или рассеиваемая мощность, затухает в два раза быстрее, то есть пропорционально квадрату амплитуды, как e ^{−2α t} или e ^{−2 t / τ} .

Для двухполюсного фильтра нижних частот передаточная функция фильтра равна ^[17]

${\displaystyle H(s)={\frac {\omega _{\mathrm {N} }^{2}}{s^{2}+\underbrace {\frac {\omega _{\mathrm {N} }}{Q}} _{2\zeta \omega _{\mathrm {N} }=2\alpha }s+\omega _{\mathrm {N} }^{2}}}\,}$

Для этой системы, когда Q  >  1 ⁄ 2 (т. е. когда система недостаточно демпфирована), она имеет два комплексно-сопряженных полюса, каждый из которых имеет действительную часть -α. То есть параметр затухания α представляет собой скорость экспоненциального затухания колебаний (то есть выходного сигнала после импульса ) в системе. Более высокая добротность подразумевает более низкую скорость затухания, поэтому системы с высокой добротностью колеблются в течение многих циклов. Например, качественные колокола после удара молотком долгое время имеют примерно чистый синусоидальный тон .

Электрические системы

График величины усиления фильтра, иллюстрирующий концепцию -3 дБ при коэффициенте усиления по напряжению 0,707 или полосе пропускания половинной мощности. Ось частоты этой символической диаграммы может быть линейной или логарифмической .

Для электрически резонансной системы добротность представляет собой эффект электрического сопротивления , а для электромеханических резонаторов, таких как кристаллы кварца , - механического трения .

Связь между Q и пропускной способностью

Двусторонняя полоса пропускания относительно резонансной частоты F ₀  Гц равна F ₀ / Q .

Например, антенна, настроенная на значение Q , равное 10, и центральную частоту 100 кГц, будет иметь полосу пропускания по уровню 3 дБ, равную 10 кГц.

В аудио полоса пропускания часто выражается в октавах . Тогда связь между Q и пропускной способностью будет равна

${\displaystyle Q={\frac {2^{\frac {BW}{2}}}{2^{BW}-1}}={\frac {1}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}\ln(2)BW\right)}},}$

где BW — полоса пропускания в октавах. ^[19]

RLC- схемы

В идеальной последовательной схеме RLC и в настроенном радиочастотном приемнике (TRF) добротность равна: ^[20]

${\displaystyle Q={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}={\frac {\omega _{0}L}{R}}={\frac {1}{\omega _{0}RC}}}$

где R , L и C — сопротивление , индуктивность и емкость настроенного контура соответственно. Чем больше последовательное сопротивление, тем ниже Q цепи .

Для параллельной цепи RLC добротность обратна последовательному случаю: ^{[21] [20]}

${\displaystyle Q=R{\sqrt {\frac {C}{L}}}={\frac {R}{\omega _{0}L}}=\omega _{0}RC}$^[22]

Рассмотрим схему, в которой R , L и C включены параллельно. Чем ниже параллельное сопротивление, тем больший эффект оно окажет на демпфирование цепи и, следовательно, тем ниже Q . Это полезно при проектировании фильтров для определения полосы пропускания.

В параллельной LC- цепи, где основные потери представляют собой сопротивление катушки индуктивности R , включенной последовательно с индуктивностью L , Q такая же, как и в последовательной цепи. Это обычная ситуация для резонаторов, где желаемым результатом является ограничение сопротивления дросселя для улучшения добротности и сужения полосы пропускания.

Отдельные реактивные компоненты

Добротность отдельного реактивного компонента зависит от частоты, на которой он оценивается, которая обычно представляет собой резонансную частоту цепи, в которой он используется. Добротность индуктора с сопротивлением последовательных потерь - это добротность резонансной цепи, в которой используется этот индуктор (включая его последовательные потери) и идеальный конденсатор. ^[23]

${\displaystyle Q_{L}={\frac {X_{L}}{R_{L}}}={\frac {\omega _{0}L}{R_{L}}}}$

где:

• ω ₀ – резонансная частота в радианах в секунду,
• L – индуктивность,
• X _L – индуктивное реактивное сопротивление , а
• R _L — последовательное сопротивление дросселя.

Добротность конденсатора с сопротивлением последовательных потерь такая же, как добротность резонансного контура, в котором используется этот конденсатор с идеальным индуктором: [ ^23]

${\displaystyle Q_{C}={\frac {-X_{C}}{R_{C}}}={\frac {1}{\omega _{0}CR_{C}}}}$

где:

• ω ₀ – резонансная частота в радианах в секунду,
• С – емкость,
• X _C – емкостное реактивное сопротивление , а
• R _C — последовательное сопротивление конденсатора.

В общем, добротность резонатора, включающего последовательную комбинацию конденсатора и катушки индуктивности, может быть определена по значениям добротности компонентов, независимо от того, происходят ли их потери из-за последовательного сопротивления или иным образом: ^[23]

${\displaystyle Q={\frac {1}{{\frac {1}{Q_{L}}}+{\frac {1}{Q_{C}}}}}}$

Механические системы

Для системы с одной демпфированной массой и пружиной коэффициент добротности представляет собой эффект упрощенного вязкого демпфирования или сопротивления , где сила демпфирования или сила сопротивления пропорциональна скорости. Формула для Q-фактора:

${\displaystyle Q={\frac {\sqrt {Mk}}{D}},\,}$

где M — масса, k — жесткость пружины, а D — коэффициент демпфирования, определяемый уравнением F _{демпфирования}  = − Dv , где v — скорость. ^[24]

Акустические системы

Качество музыкального инструмента имеет решающее значение ; Чрезмерно высокая добротность резонатора не будет равномерно усиливать несколько частот , создаваемых инструментом. По этой причине струнные инструменты часто имеют корпуса сложной формы, поэтому они достаточно равномерно воспроизводят широкий диапазон частот.

Добротность медного или духового инструмента должна быть достаточно высокой , чтобы выделить одну частоту из жужжания губ или трости более широкого спектра. Напротив, вувузела сделана из гибкого пластика и поэтому имеет очень низкую добротность для медных духовых инструментов, что придает ей грязный, хриплый тон. Инструменты, изготовленные из более жесткого пластика, латуни или дерева, имеют более высокую добротность. Чрезмерно высокое значение Q может затруднить взятие ноты. Добротность прибора может меняться в зависимости от частоты, но это может быть нежелательно.

Резонаторы Гельмгольца имеют очень высокую добротность, так как предназначены для выделения очень узкого диапазона частот.

Оптические системы

В оптике добротность резонансного резонатора определяется выражением

${\displaystyle Q={\frac {2\pi f_{o}\,E}{P}},\,}$

где f _o – резонансная частота, E – запасенная энергия в резонаторе, P  = –дЭ/дтрассеивается ли мощность. Оптическая добротность равна отношению резонансной частоты к полосе пропускания резонанса резонатора. Среднее время жизни резонансного фотона в резонаторе пропорционально Q резонатора . Если добротность резонатора лазера резко изменится с низкого значения на высокое, лазер будет излучать импульс света , который намного более интенсивен, чем обычный непрерывный выходной сигнал лазера. Этот метод известен как Q -переключение . Особое значение добротность имеет в плазмонике , где потери связаны с затуханием поверхностного плазмонного резонанса . ^[25] Хотя потери обычно считаются препятствием в разработке плазмонных устройств, это свойство можно использовать для предоставления новых расширенных функциональных возможностей. ^[26]

Смотрите также

• Акустический резонанс
• Затухание
• Предел Чу – Харрингтона
• Свойства пьезоэлектрических материалов
• Запас по фазе
• Q-метр
• Q-множитель
• Коэффициент рассеивания

Рекомендации

1. Хикман, Ян (2013). Аналоговая электроника: объяснение аналоговой схемы. Ньюнес. п. 42. ИСБН 9781483162287.
2. Тули, Майкл Х. (2006). Электронные схемы: основы и приложения. Ньюнес. стр. 77–78. ISBN 978-0-7506-6923-8. Архивировано из оригинала 1 декабря 2016 г.
3. Энциклопедия лазерной физики и технологий: Q-фактор. Архивировано 24 февраля 2009 г. в Wayback Machine.
4. Время и частота от А до Я: от Q до Ra. Архивировано 4 мая 2008 г. в Wayback Machine.
5. Грин, Эстилл И. (октябрь 1955 г.). «История Q» (PDF) . Американский учёный . 43 : 584–594. Архивировано (PDF) из оригинала 3 декабря 2012 г. Проверено 21 ноября 2012 г.
6. Б. Джеффрис, QJl R. астр. Соц. (1985) 26, 51–52
7. Пашотта, Рюдигер (2008). Энциклопедия лазерной физики и технологий, Vol. 1 ЧАС НОЧИ. Вайли-ВЧ. п. 580. ИСБН 978-3527408283. Архивировано из оригинала 11 мая 2018 г.
8. Слюсарь В.И. 60 лет теории электрически малых антенн.//Материалы 6-й Международной конференции по теории и технике антенн, 17–21 сентября 2007 г., Севастополь, Украина. - Пп. 116 - 118. «ТЕОРИЯ И ТЕХНИКА АНТЕНН» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 28 августа 2017 г. Проверено 2 сентября 2017 г.
9. У.А.Бакши, А.В. Бакши (2006). Сетевой анализ. Технические публикации. п. 228. ИСБН 9788189411237.
10. Джеймс В. Нильссон (1989). Электрические цепи . ISBN 0-201-17288-7.
11. Сабах, Насир Х. (2017). Анализ цепей с помощью PSpice: упрощенный подход. ЦРК Пресс. п. 446. ИСБН 9781315402215.
12. «Ближний ТГц гиротрон: теория, конструкция и применение» (PDF) . Институт исследований в области электроники и прикладной физики . Университет Мэриленда . Проверено 5 января 2021 г.
13. Карри, ТС; Дауди, Дж. Э.; Марри, RC (1990). Физика диагностической радиологии Кристенсена. Липпинкотт Уильямс и Уилкинс. п. 331. ИСБН 9780812113105. Проверено 22 января 2023 г.
14. Джексон, Р. (2004). Новые датчики и зондирование. Бристоль: Паб Института физики. п. 28. ISBN 0-7503-0989-Х.
15. Бенджамин Кроуэлл (2006). «Свет и материя». Архивировано из оригинала 19 мая 2011 г., Ч. 18
16. Анант., Агарвал (2005). Основы аналоговых и цифровых электронных схем . Лэнг, Джеффри (Джеффри Х.). Амстердам: Эльзевир. п. 647. ИСБН 9781558607354. ОСЛК  60245509.
17. Зиберт, Уильям МакК. Цепи, сигналы и системы . МТИ Пресс.
18. «Технический журнал Analog Dialogue — Аналоговые устройства» (PDF) . www.analog.com . Архивировано (PDF) из оригинала 4 августа 2016 г.
19. Деннис Бон, Рейн (январь 2008 г.). «Пропускная способность в октавах и добротность в полосовых фильтрах». www.rane.com . Проверено 20 ноября 2019 г.
20. У.А.Бакши; А.В.Бакши (2008). Электрические цепи. Технические публикации. стр. 2–79. ISBN 9788184314526.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
21. «Полный ответ I — постоянный ввод» . fourier.eng.hmc.edu . Архивировано из оригинала 10 января 2012 г.
22. Частотная характеристика: резонанс, полоса пропускания, добротность. Архивировано 6 декабря 2014 г. в Wayback Machine ( PDF ).
23. Ди Паоло, Франко (2000). Сети и устройства, использующие плоские линии передачи. ЦРК Пресс. стр. 490–491. ISBN 9780849318351. Архивировано из оригинала 11 мая 2018 г.
24. Методы экспериментальной физики - Лекция 5: Преобразования Фурье и дифференциальные уравнения. Архивировано 19 марта 2012 г. в Wayback Machine ( PDF ).
25. Таваколи, Мехди; Джалили, Юсеф Сейед; Элахи, Сейед Мохаммад (28 апреля 2019 г.). «Аппроксимация аномалий Рэлея-Вуда с помощью FDTD-моделирования массива наноотверстий плазмонного золота для определения оптимальных необычных характеристик оптического пропускания». Сверхрешетки и микроструктуры . 130 : 454–471. Бибкод : 2019SuMi..130..454T. doi :10.1016/j.spmi.2019.04.035. S2CID  150365680.
26. Чен, Банда; Махан, Джеральд; Меруэ, Лорин; Хуан, И; Цуримаки, Ёитиро; Тонг, Джонатан К.; Ни, Джордж; Цзэн, Линпин; Купер, Томас Алан (31 декабря 2017 г.). «Потери в плазмонике: от уменьшения рассеяния энергии до использования функций, обеспечивающих потери». Достижения оптики и фотоники . 9 (4): 775–827. arXiv : 1802.01469 . Бибкод : 2017AdOP....9..775B. дои : 10.1364/AOP.9.000775 . ISSN  1943-8206.

дальнейшее чтение

• Агарвал, Анант ; Лэнг, Джеффри (2005). Основы аналоговых и цифровых электронных схем. Морган Кауфманн. ISBN 1-55860-735-8.

Внешние ссылки

• Расчет частот среза, когда заданы центральная частота и добротность.
• Объяснение добротности в схемах радионастройки