Угол

Фигура, образованная двумя лучами, встречающимися в общей точке.

Зеленый угол, образованный двумя красными лучами в декартовой системе координат.

В евклидовой геометрии угол — это фигура, образованная двумя лучами , называемыми сторонами угла, имеющими общую конечную точку, называемую вершиной угла. ^[1] Углы, образованные двумя лучами, также называются плоскими , поскольку они лежат в плоскости , содержащей лучи. Углы также образуются при пересечении двух плоскостей; они называются двугранными углами . Две пересекающиеся кривые также могут определять угол, который представляет собой угол лучей, лежащих по касательной к соответствующим кривым в их точке пересечения.

Величина угла называется угловой мерой или просто «углом». Угол поворота — это мера , традиционно определяемая как отношение длины дуги окружности к ее радиусу , и может быть отрицательным числом . В случае геометрического угла дуга центрируется в вершине и ограничивается сторонами. В случае вращения дуга центрируется в центре вращения и ограничивается любой другой точкой и ее изображением при вращении.

История и этимология

Слово угол происходит от латинского слова angulus , что означает «угол». Родственные слова включают греческое ἀγκύλος ( ankylos ), означающее «кривой, изогнутый», и английское слово « лодыжка ». Оба связаны с протоиндоевропейским корнем *ank- , означающим «сгибаться» или «поклоняться». ^[2]

Евклид определяет плоский угол как наклон друг к другу в плоскости двух прямых, которые встречаются друг с другом и не лежат прямо по отношению друг к другу. По мнению метафизика-неоплатоника Прокла , угол должен быть либо качеством, либо количеством, либо отношением. Первое понятие, угол как качество, использовал Евдем Родосский , который рассматривал угол как отклонение от прямой линии ; второй, угол как качество, Карп Антиохийский , который рассматривал его как интервал или пространство между пересекающимися линиями; Евклид принял третье: угол как отношение. ^[3]

Определение углов

В математических выражениях принято использовать греческие буквы ( α , β , γ , θ , φ ,...) в качестве переменных , обозначающих величину некоторого угла ^[4] (символ π для этой цели обычно не используется во избежание путаница с константой, обозначенной этим символом ). Также используются строчные латинские буквы ( a ,  b ,  c ,...). В тех случаях, когда это не сбивает с толку, угол может обозначаться заглавной римской буквой, обозначающей его вершину. Примеры см. на рисунках в этой статье.

Три определяющие точки могут также определять углы в геометрических фигурах. Например, угол с вершиной А, образованный лучами AB и AC (то есть полупрямыми, проходящими от точки A через точки B и C), обозначается ∠BAC или . Если нет риска путаницы, угол иногда может обозначаться только одной вершиной (в данном случае «угол А»). ${\displaystyle {\widehat {\rm {BAC}}}}$

Потенциально угол, обозначаемый, скажем, как ∠BAC , может относиться к любому из четырех углов: угол по часовой стрелке от B до C вокруг A, угол против часовой стрелки от B до C вокруг A, угол по часовой стрелке от C до B вокруг A или угол против часовой стрелки от C до B вокруг A, где направление измерения угла определяет его знак (см. § Углы со знаком ). Однако во многих геометрических ситуациях из контекста очевидно, что имеется в виду положительный угол, меньший или равный 180 градусам, и в этих случаях не возникает никакой двусмысленности. В противном случае, чтобы избежать двусмысленности, могут быть приняты специальные соглашения, например, ∠BAC всегда относится к углу против часовой стрелки (положительный) от B к C вокруг A, а ∠CAB - к углу против часовой стрелки (положительный) от C к B вокруг A.

Виды углов

Индивидуальные углы

Существует некоторая общая терминология для углов, мера которых всегда неотрицательна (см. § Углы со знаком ):

• Угол, равный 0° или не повернутый, называется нулевым углом. ^[5]
• Угол, меньший прямого угла (менее 90°), называется острым углом ^[6] («острый» означает « острый »).
• Угол, равный1/4 поворот (90° илиπ/2радианы) называется прямым углом . Две прямые, образующие прямой угол, называются нормальными , ортогональными или перпендикулярными . ^[7]
• Угол больше прямого угла и меньше прямого угла (между 90° и 180°) называется тупым углом ^[6] («тупой» означает «тупой»).
• Угол, равный1/2 поворот (180° или π радиан) называется прямым углом . ^[5]
• Угол, больший прямого угла, но менее 1 оборота (между 180° и 360°), называется рефлекторным углом .
• Угол, равный 1 обороту (360° или 2 π радиан), называется полным углом , полным углом , круглым углом или перигоном .
• Угол, не кратный прямому углу, называется косым .

Названия, интервалы и единицы измерения показаны в таблице ниже:

Вертикальные и.mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}пары смежных углов

Углы А и В — пары вертикальных углов; углы C и D являются парой вертикальных углов. Здесь используются штриховки , чтобы показать равенство углов.

При пересечении двух прямых в одной точке образуются четыре угла. Попарно эти углы называются по их расположению относительно друг друга.

• Пара противоположных друг другу углов, образованная двумя пересекающимися прямыми линиями, образующими Х-образную форму, называется вертикальными углами , или противоположными углами , или вертикально противоположными углами . Они сокращенно обозначаются как верт. опп. ∠с . ^[8]

  Равенство вертикально противоположных углов называется теоремой о вертикальном угле . Евдем Родосский приписал доказательство Фалесу Милетскому . ^{[9] [10]} Предложение показало, что, поскольку оба вертикальных угла являются дополнительными к обоим соседним углам, вертикальные углы равны по мере. Согласно исторической заметке, ^[10] когда Фалес посетил Египет, он заметил, что всякий раз, когда египтяне рисовали две пересекающиеся линии, они измеряли вертикальные углы, чтобы убедиться, что они равны. Фалес пришел к выводу, что можно доказать, что все вертикальные углы равны, если принять некоторые общие понятия, такие как:

  • Все прямые углы равны.
  • Равные, добавленные к равным, равны.
  • Равные, вычтенные из равных, равны.

  Когда два смежных угла образуют прямую, они являются дополнительными. Следовательно, если мы предположим, что величина угла A равна x , то величина угла C будет равна 180° − x . Точно так же величина угла D будет равна 180° − x . И угол C , и угол D имеют размеры, равные 180 ° - x , и равны. Поскольку угол B является дополнительным к обоим углам C и D , любая из этих угловых мер может использоваться для определения меры угла B. Используя меру угла C или угла D , мы находим, что мера угла B равна 180° - (180° - x ) = 180° - 180° + x = x . Следовательно, и угол А , и угол В имеют меры, равные х , и равны по мере.

  

  Углы А и В смежные.

• Смежные углы , часто сокращаемые как прил. ∠s — это углы, имеющие общую вершину и ребро, но не имеющие общих внутренних точек. Другими словами, это углы, расположенные рядом или прилегающие друг к другу, имеющие общее «рукав». Смежные углы, которые в сумме образуют прямой угол, прямой угол или полный угол, являются особыми и называются соответственно дополнительными , дополнительными и дополнительными углами (см. § Объединение пар углов ниже).

Трансверсаль — это линия, которая пересекает пару (часто параллельных) линий и связана с альтернативными внутренними углами , соответствующими углами , внутренними углами и внешними углами . ^[11]

Объединение пар углов

Постулат сложения углов гласит, что если B находится внутри угла AOC, то

$${\displaystyle m\angle \mathrm {AOC} =m\angle \mathrm {AOB} +m\angle \mathrm {BOC} }$$

То есть мера угла АОС есть сумма меры угла АОВ и меры угла ВОС.

Три специальные пары углов включают суммирование углов:

Дополнительные углы a и b ( b — дополнение a , а a — дополнение b ) .

• Дополнительные углы — это пары углов, сумма мер которых равна одному прямому углу (1/4поворот, 90° илиπ/2радианы). ^[12] Если два дополнительных угла смежны, их необщие стороны образуют прямой угол. В евклидовой геометрии два острых угла прямоугольного треугольника дополняют друг друга, поскольку сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов, а прямой угол составляет 90 градусов.

  Прилагательное комплементарное происходит от латинского комплементума , связанного с глаголом complere , «наполнять». Острый угол «заполняется» своим дополнением, образуя прямой угол.

  Разность между углом и прямым углом называется дополнением угла . ^[13]

  Если углы A и B дополнительны, выполняются следующие соотношения:

  $${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin ^{2}A+\sin ^{2}B=1&&\cos ^{2}A+\cos ^{2}B=1\\[3pt]&\tan A=\cot B&&\sec A=\csc B\end{aligned}}}$$

  ( Тангенс угла равен котангенсу его дополнения, а его секанс равен косекансу его дополнения.)

  Приставка « со- » в названиях некоторых тригонометрических отношений относится к слову «дополнительные» .

  

  Углы a и b являются дополнительными углами.

• Два угла, сумма которых образует прямой угол (1/2поворот, 180°, или π радиан) называются дополнительными углами . ^[14]

  Если два дополнительных угла смежны (т. е. имеют общую вершину и имеют только одну сторону), их необщие стороны образуют прямую линию . Такие углы называются линейной парой углов . ^[15] Однако дополнительные углы не обязательно должны находиться на одной линии и могут быть разделены в пространстве. Например, смежные углы параллелограмма являются дополнительными, а противоположные углы вписанного четырехугольника (все вершины которого лежат на одной окружности) являются дополнительными.

  Если точка P является внешней по отношению к окружности с центром O, и если касательные линии, проходящие из P, касаются окружности в точках T и Q, то ∠TPQ и ∠TOQ являются дополнительными.

  Синусы дополнительных углов равны. Их косинусы и тангенсы (если они не определены) равны по величине, но имеют противоположные знаки.

  В евклидовой геометрии любая сумма двух углов треугольника является дополнительной к третьему, поскольку сумма внутренних углов треугольника является прямым углом.

  

  Углы AOB и COD сопряжены, так как образуют полный угол. Учитывая звездные величины, 45° + 315° = 360°.

• Два угла, сумма которых образует полный угол (1 оборот, 360° или 2 π радиан), называются дополнительными углами или сопряженными углами . ^[16]

  Разность между углом и полным углом называется дополнением угла или сопряжением угла.

Углы, связанные с многоугольниками

Внутренние и внешние углы.

• Угол, являющийся частью простого многоугольника, называется внутренним, если он лежит внутри этого простого многоугольника. Простой вогнутый многоугольник имеет хотя бы один внутренний угол, то есть рефлекторный угол.
  В евклидовой геометрии сумма внутренних углов треугольника равна π радиан , 180° или1/2повернуть; меры внутренних углов простого выпуклого четырехугольника в сумме составляют 2 π радиан, 360° или 1 оборот. В общем, сумма внутренних углов простого выпуклого многоугольника с n сторонами составляет ( n  - 2) π   радиан, или ( n  - 2)180 градусов, ( n  - 2)2 прямых углов или ( n  - 2)1/2 повернуть.
• Дополнение внутреннего угла называется внешним углом ; то есть внутренний угол и внешний угол образуют линейную пару углов. В каждой вершине многоугольника есть два внешних угла, каждый из которых определяется продолжением одной из двух сторон многоугольника, которые встречаются в вершине; эти два угла вертикальны и, следовательно, равны. Внешний угол измеряет величину поворота, которую необходимо совершить в вершине, чтобы обвести многоугольник. ^[17] Если соответствующий внутренний угол является рефлекторным, внешний угол следует считать отрицательным . Даже в непростом многоугольнике можно определить внешний угол. Тем не менее, чтобы определить знак меры внешнего угла, придется выбрать ориентацию плоскости (или поверхности ).
  В евклидовой геометрии сумма внешних углов простого выпуклого многоугольника, если в каждой вершине предполагается только один из двух внешних углов, будет равна одному полному обороту (360 °). Внешний угол здесь можно назвать дополнительным внешним углом . Внешние углы обычно используются в программах Logo Turtle при рисовании правильных многоугольников.
• В треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса другого внутреннего угла совпадают ( встречаются в одной точке). ^{[18] : 149}
• В треугольнике три точки пересечения, каждая из которых представляет собой биссектрису внешнего угла с противоположной расширенной стороной , лежат на одной прямой . ^{[18] : с. 149}
• В треугольнике три точки пересечения: две между биссектрисой внутреннего угла и противоположной стороной и третья между биссектрисой другого внешнего угла и продолженной противоположной стороной являются коллинеарными. ^{[18] : 149}
• Некоторые авторы используют название « внешний угол» простого многоугольника для обозначения дополнительного внешнего угла ( а не дополнения!) внутреннего угла. ^[19] Это противоречит приведенному выше использованию.

Углы, связанные с плоскостью

• Угол между двумя плоскостями (например, двумя смежными гранями многогранника ) называется двугранным углом . ^[13] Его можно определить как острый угол между двумя линиями, нормальными к плоскостям.
• Угол между плоскостью и пересекающей прямой равен девяносто градусов минус угол между пересекающей линией и линией, проходящей через точку пересечения и перпендикулярной плоскости.

Измерение углов

Размер геометрического угла обычно характеризуется величиной наименьшего поворота, преобразующего один из лучей в другой. Углы одинаковой величины называются равными или равными по мере .

В некоторых контекстах, таких как определение точки на круге или описание ориентации объекта в двух измерениях относительно базовой ориентации, углы, которые отличаются точно кратно полному повороту , фактически эквивалентны. В других контекстах, таких как определение точки на спиральной кривой или описание совокупного вращения объекта в двух измерениях относительно базовой ориентации, углы, которые отличаются ненулевым кратным полного оборота, не являются эквивалентными.

Мера угла θ равнас/ррадианы .

Чтобы измерить угол θ , рисуют дугу окружности с центром в вершине угла, например, с помощью циркуля . Отношение длины s дуги к радиусу r окружности есть число радиан в угле: ^[20]

$${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}\,\mathrm {rad} .}$$

системе СИединице

Угол, выраженный в другой угловой единице, затем может быть получен путем умножения угла на подходящую константу преобразования видак/2 π, где k — мера полного поворота, выраженная в выбранных единицах измерения (например, k = 360° для градусов или 400 град для граданов ):

$${\displaystyle \theta ={\frac {k}{2\pi }}\cdot {\frac {s}{r}}.}$$

Определенное таким образом значение θ не зависит от размера круга: если изменить длину радиуса, то длина дуги изменится в той же пропорции, поэтому соотношение s / r не изменится. ^{[номер 1]}

Единицы

Определение 1 радиана

На протяжении всей истории углы измерялись в различных единицах . Они известны как угловые единицы , причем наиболее современными единицами являются градус (°), радиан (рад) и градиан (град), хотя на протяжении всей истории использовались и многие другие . ^[22] Большинство единиц углового измерения определены так, что один оборот (т.е. угол, образуемый окружностью круга в его центре) равен n единицам для некоторого целого числа n . Двумя исключениями являются радиан (и его десятичные дробные) и часть диаметра.

В Международной системе величин угол определяется как безразмерная величина, в частности, безразмерной является единица радиан. Это соглашение влияет на то, как углы обрабатываются при анализе размеров .

В следующей таблице перечислены некоторые единицы измерения углов.

Размерный анализ

Плоский угол можно определить как θ = s / r , где θ — стянутый угол в радианах, s — длина дуги, а r — радиус. Один радиан соответствует углу, для которого s = r , следовательно, 1 радиан = 1 м/м . ^[30] Однако рад следует использовать только для выражения углов, а не для выражения отношений длин в целом. ^[31] Аналогичный расчет с использованием площади кругового сектора θ = 2 A / r ² дает 1 радиан как 1 м ² /м ² . ^[32] Ключевым фактом является то, что радиан является безразмерной единицей , равной 1 . В СИ 2019 года радиан определяется соответственно как 1 рад = 1 . ^[33] Использование рад = 1 является давней практикой в ​​математике и во всех областях науки . ^{[34] [35]}

Джакомо Прандо пишет, что «текущее положение дел неизбежно приводит к призрачным появлениям и исчезновениям радиана в размерном анализе физических уравнений». ^[36] Например, объект, подвешенный на веревке на шкиве, поднимется или опустится на y = rθ сантиметров, где r — радиус шкива в сантиметрах, а θ — угол поворота шкива в радианах. При умножении r на θ из результата исчезает единица радиан. Аналогично в формуле для угловой скорости катящегося колеса ω = v / r радианы появляются в единицах ω , но не в правой части. ^[37] Энтони Френч называет это явление «вечной проблемой преподавания механики». ^[38] Оберхофер говорит, что типичный совет игнорировать радианы во время размерного анализа и добавлять или удалять радианы в единицах в соответствии с соглашением и контекстуальными знаниями «педагогически неудовлетворителен». ^[39]

В 1993 году Метрический комитет Американской ассоциации учителей физики уточнил, что радиан должен явно указываться в количествах только в том случае, если при использовании других угловых мер будут получены разные числовые значения, например, в величинах угловой меры (рад), угловой скорости (рад). /с), угловое ускорение (рад/с ² ) и крутильную жесткость (Н⋅м/рад), а не в величинах крутящего момента (Н⋅м) и углового момента (кг⋅м ² /с). ^[40]

По крайней мере дюжина ученых в период с 1936 по 2022 год внесли предложения рассматривать радиан как базовую единицу измерения базовой величины (и измерения) «плоского угла». ^{[41] [42] [43]} Обзор предложений Куинси выделяет два класса предложений. Первый вариант меняет единицу измерения радиуса на метры на радиан, но это несовместимо с анализом размеров площади круга π r ² . Другой вариант — ввести размерную константу. По словам Куинси, этот подход «логически строг» по сравнению с SI, но требует «модификации многих знакомых математических и физических уравнений». ^[44] Размерная константа для угла является «довольно странной», и сложность изменения уравнений для добавления размерной константы, вероятно, помешает широкому использованию. ^[43]

В частности, Куинси идентифицирует предложение Торренса ввести константу η , равную 1 обратному радиану (1 рад ^-1 ), аналогично введению константы ε ₀ . ^{[44] [a]} С этим изменением формула для угла, образуемого в центре круга, s = rθ , изменяется и становится s = ηrθ , а ряд Тейлора для синуса угла θ становится: ^{[43] [45]}

$${\displaystyle \operatorname {Sin} \theta =\sin _{\text{rad}}x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\eta \theta -{\frac {(\eta \theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(\eta \theta )^{5}}{5!}}-{\frac {(\eta \theta )^{7}}{7!}}+\cdots ,}$$

где . Функция Sin, написанная с заглавной буквы , является «полной» функцией, которая принимает аргумент размером в угол и не зависит от выраженных единиц измерения, ^[45], в то время как sin _rad — это традиционная функция для чистых чисел , которая предполагает, что ее аргумент выражен в радианах. ^[46] можно обозначить, если ясно, что имеется в виду полная форма. ^{[43] [47]} ${\displaystyle x=\eta \theta =\theta /{\text{rad}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sin} }$ ${\displaystyle \sin }$

Текущую систему SI можно рассматривать относительно этой системы как естественную систему единиц , в которой предполагается, что выполняется уравнение η = 1 , или, аналогично, 1 рад = 1 . Это соглашение о радианах позволяет опускать η в математических формулах. ^[48]

Определение радиана как базовой единицы может быть полезно для программного обеспечения, где недостаток более длинных уравнений минимален. ^[49] Например, библиотека единиц Boost определяет угловые единицы с plane_angleразмером, ^[50] и система единиц Mathematica аналогичным образом считает, что углы имеют угловое измерение. ^{[51] [52]}

Знаковые углы

При измерении от оси X углы единичного круга считаются положительными в направлении против часовой стрелки и отрицательными в направлении по часовой стрелке .

Часто бывает полезно ввести соглашение, которое позволяет положительным и отрицательным угловым значениям представлять ориентацию и/или вращение в противоположных направлениях или «направление» относительно некоторой ссылки.

В двумерной декартовой системе координат угол обычно определяется двумя сторонами с вершиной в начале координат. Начальная сторона находится на положительной оси X , тогда как другая сторона или конечная сторона определяется размером от начальной стороны в радианах, градусах или оборотах, при этом положительные углы представляют собой повороты в сторону положительной оси Y , а отрицательные углы представляют собой вращения в сторону отрицательной оси Y. Когда декартовы координаты представлены стандартной позицией , определяемой осью X вправо и осью Y вверх, положительные вращения выполняются против часовой стрелки , а отрицательные циклы — по часовой стрелке .

Во многих контекстах угол − θ фактически эквивалентен углу «один полный оборот минус θ ». Например, ориентация, представленная как -45°, фактически равна ориентации, определенной как 360° - 45° или 315°. Хотя конечное положение одинаковое, физическое вращение (движение) на −45° — это не то же самое, что вращение на 315° (например, вращение человека, держащего метлу, лежащего на пыльном полу, оставило бы визуально разные следы). заметенных участков на полу).

В трехмерной геометрии «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки» не имеют абсолютного значения, поэтому направление положительных и отрицательных углов должно определяться с точки зрения ориентации , которая обычно определяется вектором нормали , проходящим через вершину угла и перпендикуляром. к плоскости, в которой лежат лучи угла.

В навигации пеленги или азимут измеряются относительно севера . По соглашению, если смотреть сверху, углы азимута положительны по часовой стрелке, поэтому азимут 45 ° соответствует ориентации на северо-восток. Отрицательные пеленги в навигации не используются, поэтому ориентация на северо-запад соответствует пеленгу 315°.

Эквивалентные углы

• Углы, имеющие одинаковую меру (т.е. одинаковую величину), называются равными или конгруэнтными . Угол определяется своей мерой и не зависит от длин сторон угла (например, все прямые углы равны по мере).
• Два угла, имеющие общие конечные стороны, но различающиеся по размеру на целое кратное поворота, называются коконцевыми углами .
• Базовый угол (иногда называемый смежным углом ) для любого угла θ в стандартном положении — это положительный острый угол между конечной стороной θ и осью X (положительный или отрицательный). ^{[53] [54]} Процедурно величина опорного угла для данного угла может быть определена путем взятия величины угла по модулю. 1/2поворот на 180 ° или π радиан, затем остановка, если угол острый, в противном случае принимается дополнительный угол, 180 ° минус уменьшенная величина. Например, угол в 30 градусов уже является опорным углом, а угол в 150 градусов также имеет опорный угол 30 градусов (180° − 150°). Углы 210° и 510° также соответствуют исходному углу 30 градусов (210° по модулю 180° = 30°, 510° по модулю 180° = 150°, дополнительный угол которого равен 30°).

Сопутствующие количества

Для угловой единицы определяющим является постулат сложения углов . Некоторые величины, связанные с углами, для которых постулат сложения углов не выполняется, включают:

• Наклон или градиент равен тангенсу угла ; градиент часто выражается в процентах. Для очень малых значений (менее 5%) наклон линии примерно равен ее углу в радианах с горизонтальным направлением.
• Разброс между двумя линиями определяется в рациональной геометрии как квадрат синуса угла между линиями. Поскольку синус угла и синус дополнительного угла одинаковы, любой угол поворота, который отображает одну из линий в другую, приводит к одному и тому же значению разброса между линиями.
• Хотя это делается редко, можно сообщить о прямых результатах тригонометрических функций , таких как синус угла.

Углы между кривыми

Угол между двумя кривыми в точке P определяется как угол между касательными A и B в точке P.

Угол между линией и кривой (смешанный угол) или между двумя пересекающимися кривыми (криволинейный угол) определяется как угол между касательными в точке пересечения. Частным случаям давались различные названия (сейчас редко, если вообще употребляются): — амфициртический (греч. ἀμφί , с обеих сторон, κυρτός, выпуклый) или циссоидальный (греч. κισσός, плющ), двояковыпуклый; ксистроидный или систроидный (греч. ξυστρίς, инструмент для соскабливания), вокаво-выпуклый; амфикоэлический (греч. κοίλη, впадина) или angulus lunularis , двояковогнутый. ^[55]

Биссектрисы и трисекции углов.

Древнегреческие математики знали, как разделить угол пополам (разделить его на два равных угла), используя только циркуль и линейку, но могли разделить только три угла. В 1837 году Пьер Ванцель показал, что эту конструкцию невозможно выполнить для большинства углов.

Скалярное произведение и обобщения

В евклидовом пространстве угол θ между двумя евклидовыми векторами u и v связан с их скалярным произведением и их длинами по формуле

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

Эта формула предоставляет простой метод определения угла между двумя плоскостями (или изогнутыми поверхностями) по их нормальным векторам и между наклонными линиями по их векторным уравнениям.

Внутренний продукт

Чтобы определить углы в абстрактном реальном пространстве внутреннего продукта , мы заменяем евклидово скалярное произведение ( · ) внутренним произведением , т.е. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

$${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

В сложном пространстве внутреннего произведения выражение для косинуса, приведенное выше, может давать недействительные значения, поэтому оно заменяется на

$${\displaystyle \operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

или, чаще, используя абсолютное значение, с

$${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

Последнее определение игнорирует направление векторов. Таким образом, он описывает угол между одномерными подпространствами и натянутыми векторами и соответственно. ${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Углы между подпространствами

Определение угла между одномерными подпространствами , данное формулой ${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}$

$${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|}$$

в гильбертовом пространстве можно расширить до подпространств конечной размерности. Учитывая два подпространства с , это приводит к определению углов, называемых каноническими или главными углами между подпространствами. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle \dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l}$ ${\displaystyle k}$

Углы в римановой геометрии

В римановой геометрии метрический тензор используется для определения угла между двумя касательными . Где U и V — касательные векторы, а g _ij — компоненты метрического тензора G ,

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.}$$

Гиперболический угол

Гиперболический угол является аргументом гиперболической функции точно так же, как круговой угол является аргументом круговой функции . Сравнение можно представить как размер отверстий гиперболического сектора и кругового сектора , поскольку площади этих секторов в каждом случае соответствуют величинам углов. В отличие от кругового угла, гиперболический угол не ограничен. Когда круговые и гиперболические функции рассматриваются как бесконечные ряды по их угловому аргументу, круговые функции представляют собой просто чередующиеся формы серий гиперболических функций. Это переплетение двух типов угла и функции было объяснено Леонардом Эйлером во «Введении в анализ бесконечного» .

Углы в географии и астрономии

В географии местоположение любой точки на Земле можно определить с помощью географической системы координат . Эта система определяет широту и долготу любого места в виде углов, образующих центр Земли, используя в качестве ориентиров экватор и (обычно) Гринвичский меридиан .

В астрономии данная точка на небесной сфере (то есть видимое положение астрономического объекта) может быть идентифицирована с использованием любой из нескольких астрономических систем координат , где ссылки различаются в зависимости от конкретной системы. Астрономы измеряют угловое расстояние между двумя звездами , представляя две линии, проходящие через центр Земли , каждая из которых пересекает одну из звезд. Угол между этими линиями и угловое расстояние между двумя звездами можно измерить.

И в географии, и в астрономии направление визирования может быть указано через вертикальный угол , например, высоту / превышение относительно горизонта , а также азимут относительно севера .

Астрономы также измеряют видимый размер объектов как угловой диаметр . Например, полная Луна имеет угловой диаметр примерно 0,5°, если смотреть с Земли. Можно было бы сказать: «Диаметр Луны составляет угол в полградуса». Формула малого угла может преобразовать такое угловое измерение в отношение расстояния к размеру.

Другие астрономические приближения включают:

• 0,5° — приблизительный диаметр Солнца и Луны , если смотреть с Земли.
• 1° — это примерная ширина мизинца на расстоянии вытянутой руки.
• 10° — это примерная ширина сжатого кулака на расстоянии вытянутой руки.
• 20° — это приблизительная ширина размаха рук на расстоянии вытянутой руки.

Эти измерения зависят от конкретного субъекта, и приведенное выше следует рассматривать только как грубые приближения .

В астрономии прямое восхождение и склонение обычно измеряются в угловых единицах, выраженных во времени, исходя из 24-часовых суток.

Смотрите также

• Угловой измерительный прибор
• Углы между плоскостями
• Угловая статистика ( среднее значение , стандартное отклонение )
• Биссектриса угла
• Угловое ускорение
• Угловой диаметр
• Угловая скорость
• Аргумент (комплексный анализ)
• Астрологический аспект
• Центральный угол
• Проблема с углом часов
• Десятичные градусы
• Двугранный угол
• Теорема о внешнем угле
• Золотой угол
• Большое расстояние круга
• Угол рупора
• Вписанный угол
• Иррациональный угол
• Фаза (волны)
• Транспортир
• Телесный угол
• Сферический угол
• Трансцендентный угол
• Трисекция
• Зенитный угол

Примечания

1. Однако этот подход требует дополнительного доказательства того, что мера угла не меняется с изменением радиуса r , в дополнение к вопросу «выбранных единиц измерения». Более плавный подход — измерить угол по длине соответствующей единичной дуги окружности. Здесь «единицу» можно выбрать безразмерной в том смысле, что это действительное число 1, связанное с единичным сегментом на действительной линии. См., например, Радослава М. Димитрича. ^[21]

1. Другие предложения включают аббревиатуру «рад» (Бринсмейд, 1936), обозначения (Ромен, 1962) и константы ם (Браунштейн, 1997), ◁ (Леви-Леблон, 1998), k (Фостер, 2010), θ _C (Квинси, 2021). и (Мор и др., 2022). ${\displaystyle \langle \theta \rangle }$ ${\displaystyle {\cal {C}}={\frac {2\pi }{\Theta }}}$

Рекомендации

1. Сидоров 2001.
2. Слокам 2007
3. Чисхолм 1911; Хейберг 1908, стр. 177–178.
4. Обильный 2010, с. 18.
5. Мозер 1971, с. 41.
6. Годфри и Сиддонс 1919, с. 9.
7. Мозер 1971, с. 71.
8. Вонг и Вонг 2009, стр. 161–163.
9. Евклид . Элементы .Предложение I:13.
10. Shute, Shirk & Porter 1960, стр. 25–27.
11. Джейкобс 1974, с. 255.
12. «Дополнительные углы». www.mathsisfun.com . Проверено 17 августа 2020 г.
13. Чисхолм 1911 г.
14. «Дополнительные углы». www.mathsisfun.com . Проверено 17 августа 2020 г.
15. Джейкобс 1974, с. 97.
16. Уиллис, Кларенс Аддисон (1922). Плоская геометрия. Сын Блэкистона. п. 8.
17. Хендерсон и Таймина 2005, с. 104.
18. Джонсон, Роджер А. Расширенная евклидова геометрия , Dover Publications, 2007.
19. Д. Цвиллингер, изд. (1995), Стандартные математические таблицы и формулы CRC , Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, стр. 270как цитируется в книге Вайсштейна Эрика В. «Внешний угол». Математический мир .
20. Международное бюро мер и весов (20 мая 2019 г.), Международная система единиц (СИ) (PDF) (9-е изд.), ISBN 978-92-822-2272-0, заархивировано из оригинала 18 октября 2021 г.
21. Димитрич, Радослав М. (2012). «Об углах и угловых измерениях» (PDF) . Преподавание математики . XV (2): 133–140. Архивировано (PDF) из оригинала 17 января 2019 г. Проверено 6 августа 2019 г.
22. «Угловая единица». TheFreeDictionary.com . Проверено 31 августа 2020 г.
23. «Руководство программиста ooPIC — Глава 15: URCP» . Руководство и технические характеристики ooPIC — Компилятор ooPIC, версия 6.0 . Саваж Инновации, ООО. 2007 [1997]. Архивировано из оригинала 28 июня 2008 г. Проверено 5 августа 2019 г.
24. Харгривз, Шон [на польском языке] . «Углы, целые числа и арифметика по модулю». blogs.msdn.com. Архивировано из оригинала 30 июня 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
25. Бонин, Уолтер (11 января 2016 г.). «RE: WP-32S в 2016 году?». Музей HP . Архивировано из оригинала 6 августа 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
26. Бонин, Уолтер (2019) [2015]. Руководство пользователя WP 43S (PDF) . 0,12 (проект ред.). стр. 72, 118–119, 311. ISBN. 978-1-72950098-9. Проверено 5 августа 2019 г.^{[ постоянная мертвая ссылка ]} [1] [2] (314 страниц)
27. Бонин, Уолтер (2019) [2015]. Справочное руководство WP 43S (PDF) . 0,12 (проект ред.). стр. III, 54, 97, 128, 144, 193, 195. ISBN . 978-1-72950106-1. Проверено 5 августа 2019 г.^{[ постоянная мертвая ссылка ]} [3] [4] (271 страница)
28. Джинсы, Джеймс Хопвуд (1947). Рост физической науки. Архив Кубка. п. 7.
29. Мурнаган, Фрэнсис Доминик (1946). Аналитическая геометрия . п. 2.
30. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 151: «Один радиан соответствует углу, для которого s = r »
31. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 151.
32. Куинси 2016, с. 844: «Кроме того, как упоминалось в Mohr & Phillips 2015, радиан можно определить через площадь A сектора ( A =1/2 θ r ² ), и в этом случае он имеет единицы m ² ⋅m ⁻² ».
33. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 151: «Один радиан соответствует углу, для которого s = r , таким образом, 1 рад = 1 ».
34. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 137.
35. Бриджмен, Перси Уильямс (1922). Размерный анализ. Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. Угловая амплитуда качания [...] Размеры отсутствуют.
36. Прандо, Джакомо (август 2020 г.). «Спектральная единица». Физика природы . 16 (8): 888. Бибкод : 2020NatPh..16..888P. дои : 10.1038/s41567-020-0997-3 . S2CID  225445454.
37. Леонард, Уильям Дж. (1999). Minds-on Physics: Продвинутые темы в механике. Кендалл Хант. п. 262. ИСБН 978-0-7872-5412-4.
38. Френч, Энтони П. (май 1992 г.). «Что происходит с радианами? (комментарий)». Учитель физики . 30 (5): 260–261. дои : 10.1119/1.2343535.
39. Оберхофер, ES (март 1992 г.). «Что происходит с радианами?». Учитель физики . 30 (3): 170–171. Бибкод : 1992PhTea..30..170O. дои : 10.1119/1.2343500.
40. Обрехт, Гордон Дж.; Френч, Энтони П.; Иона, Марио; Уэлч, Дэниел В. (февраль 1993 г.). «Радиан — эта неприятная единица». Учитель физики . 31 (2): 84–87. Бибкод : 1993PhTea..31...84A. дои : 10.1119/1.2343667.
41. Бринсмэйд, 1936 г.; Ромен 1962; Эдер 1982 г.; Торренс 1986; Браунштейн 1997; Леви-Леблон, 1998 г.; Фостер 2010; Миллс 2016; Квинси 2021; Леонард 2021; Мор и др. 2022 год
42. Мор и Филлипс 2015.
43. Куинси, Пол; Браун, Ричард Дж. К. (1 июня 2016 г.). «Последствия принятия плоского угла в качестве базовой величины в системе СИ». Метрология . 53 (3): 998–1002. arXiv : 1604.02373 . Бибкод : 2016Метро..53..998Q. дои : 10.1088/0026-1394/53/3/998. S2CID  119294905.
44. Куинси, 2016.
45. Торренс 1986.
46. Мор и др. 2022, с. 6.
47. Мор и др. 2022, стр. 8–9.
48. Куинси 2021.
49. Куинси, Пол; Браун, Ричард Дж.К. (1 августа 2017 г.). «Более четкий подход к определению систем единиц». Метрология . 54 (4): 454–460. arXiv : 1705.03765 . Бибкод : 2017Метро..54..454Q. дои : 10.1088/1681-7575/aa7160. S2CID  119418270.
50. Шабель, Матиас К.; Ватанабэ, Стивен. «Часто задаваемые вопросы по Boost.Units – 1.79.0». www.boost.org . Проверено 5 мая 2022 г. Углы рассматриваются как единицы
51. Мор и др. 2022, с. 3.
52. «UnityDimensions — Документация по языку Wolfram». ссылка.wolfram.com . Проверено 1 июля 2022 г.
53. «Математические слова: опорный угол» . www.mathwords.com . Архивировано из оригинала 23 октября 2017 года . Проверено 26 апреля 2018 г.
54. МакКег, Чарльз П. (2008). Тригонометрия (6-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс/Коул. п. 110. ИСБН 978-0495382607.
55. Чисхолм 1911; Хейберг 1908, с. 178

Библиография

• Абугантус, Чарльз Х. (2010), Первый курс евклидовой плоской геометрии в средней школе, Universal Publishers, ISBN 978-1-59942-822-2
• Бринсмэйд, Дж. Б. (декабрь 1936 г.). «Плоские и телесные углы. Их педагогическое значение при явном представлении». Американский журнал физики . 4 (4): 175–179. Бибкод : 1936AmJPh...4..175B. дои : 10.1119/1.1999110.
• Браунштейн, КР (июль 1997 г.). «Углы — давайте относиться к ним честно». Американский журнал физики . 65 (7): 605–614. Бибкод : 1997AmJPh..65..605B. дои : 10.1119/1.18616 .
• Эдер, МЫ (январь 1982 г.). «Точка зрения на величину «плоского угла»". Metrologia . 18 (1): 1–12. Бибкод : 1982Metro..18....1E. doi : 10.1088/0026-1394/18/1/002. S2CID  250750831.
• Фостер, Маркус П. (1 декабря 2010 г.). «Следующие 50 лет SI: обзор возможностей эпохи электронной науки». Метрология . 47 (6): Р41–Р51. дои : 10.1088/0026-1394/47/6/R01. S2CID  117711734.
• Годфри, Чарльз; Сиддонс, AW (1919), Элементарная геометрия: практическая и теоретическая (3-е изд.), Cambridge University Press
• Хендерсон, Дэвид В.; Таймина, Дайна (2005), Опыт геометрии / евклидово и неевклидово с историей (3-е изд.), Пирсон Прентис Холл, стр. 104, ISBN 978-0-13-143748-7
• Хейберг, Йохан Людвиг (1908), Хит, TL (ред.), Евклид, Тринадцать книг элементов Евклида, том. 1, Кембридж : Издательство Кембриджского университета.
• Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия , WH Freeman, стр. 97, 255, ISBN 978-0-7167-0456-0
• Леонард, BP (1 октября 2021 г.). «Предложение по размерной согласованности угла и телесного угла в Международной системе единиц (СИ)». Метрология . 58 (5): 052001. Бибкод : 2021Metro..58e2001L. дои : 10.1088/1681-7575/abe0fc. S2CID  234036217.
• Леви-Леблон, Жан-Марк (сентябрь 1998 г.). «Размерные углы и универсальные константы». Американский журнал физики . 66 (9): 814–815. Бибкод : 1998AmJPh..66..814L. дои : 10.1119/1.18964.
• Миллс, Ян (1 июня 2016 г.). «О единицах радиан и цикл для величины плоского угла». Метрология . 53 (3): 991–997. Бибкод : 2016Метро..53..991М. дои : 10.1088/0026-1394/53/3/991. S2CID  126032642.
• Мор, Питер Дж; Филлипс, Уильям Д. (1 февраля 2015 г.). «Безразмерные единицы в системе СИ». Метрология . 52 (1): 40–47. arXiv : 1409.2794 . Бибкод : 2015Метро..52...40М. дои : 10.1088/0026-1394/52/1/40 .
• Мор, Питер Дж; Ширли, Эрик Л; Филлипс, Уильям Д; Тротт, Майкл (23 июня 2022 г.). «О размерности углов и их единиц». Метрология . 59 (5): 053001. arXiv : 2203.12392 . Бибкод : 2022Метро..59e3001M. дои : 10.1088/1681-7575/ac7bc2 .
• Мозер, Джеймс М. (1971), Современная элементарная геометрия, Прентис-Холл
• Куинси, Пол (1 апреля 2016 г.). «Диапазон возможностей обработки плоского угла и телесного угла в системе единиц». Метрология . 53 (2): 840–845. Бибкод : 2016Metro..53..840Q. дои : 10.1088/0026-1394/53/2/840. S2CID  125438811.
• Куинси, Пол (1 октября 2021 г.). «Углы в СИ: подробное предложение решения проблемы». Метрология . 58 (5): 053002. arXiv : 2108.05704 . Бибкод : 2021Metro..58e3002Q. дои : 10.1088/1681-7575/ac023f. S2CID  236547235.
• Ромен, Жак Э. (июль 1962 г.). «Угол как четвертая фундаментальная величина». Журнал исследований Национального бюро стандартов. Раздел B. 66B (3): 97. doi : 10.6028/jres.066B.012 .
• Сидоров Л.А. (2001) [1994], «Угол», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Слокум, Джонатан (2007), Предварительный индоевропейский лексикон - данные Pokorny PIE, исследовательский отдел Техасского университета: центр лингвистических исследований , заархивировано из оригинала 27 июня 2010 г. , получено 2 февраля 2010 г.
• Шут, Уильям Г.; Ширк, Уильям В.; Портер, Джордж Ф. (1960), Плоская и объемная геометрия , Американская книжная компания, стр. 25–27.
• Торренс, AB (1 января 1986 г.). «Об углах и угловых величинах». Метрология . 22 (1): 1–7. Бибкод : 1986Метро..22....1Т. дои : 10.1088/0026-1394/22/1/002. S2CID  250801509.
• Вонг, Так-ва; Вонг, Минг-сим (2009), «Углы в пересекающихся и параллельных линиях», New Century Mathematics , vol. 1B (1-е изд.), Гонконг: Oxford University Press, стр. 161–163, ISBN. 978-0-19-800177-5

 В эту статью включен текст из публикации, которая сейчас находится в свободном доступе :  Чисхолм, Хью , изд. (1911), «Угол», Британская энциклопедия , том. 2 (11-е изд.), Издательство Кембриджского университета, стр. 2. 14

Внешние ссылки

• «Угол»  , Британская энциклопедия , том. 2 (9-е изд.), 1878 г., стр. 29–30.