Дополнение (теория множеств)

Множество элементов, не входящих в заданное подмножество

В теории множеств дополнение множества A , часто обозначаемое как (или A ′ ), [ ^1] представляет собой множество элементов , не принадлежащих A. [ ^2] ${\displaystyle A^{\complement }}$

Когда все элементы во вселенной , т.е. все рассматриваемые элементы, считаются членами заданного множества U , абсолютным дополнением A является множество элементов в U , которые не входят в A.

Относительное дополнение множества A по отношению к множеству B , также называемое разностью множеств B и A , записывается как множество элементов в B , которые не входят в A. ${\displaystyle B\setminus A,}$

Абсолютное дополнение

Абсолютным дополнением белого диска является красная область.

Определение

Если A — множество, то абсолютное дополнение A (или просто дополнение A ) — это множество элементов, не содержащихся в A (внутри большего множества, которое неявно определено). Другими словами, пусть U — множество, содержащее все изучаемые элементы; если нет необходимости упоминать U , либо потому, что оно было указано ранее, либо оно очевидно и уникально, то абсолютное дополнение A — это относительное дополнение A в U : ^[3] $${\displaystyle A^{\complement }=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}.}$$

Абсолютное дополнение A обычно обозначается как . Другие обозначения включают ^{[2] [4]} ${\displaystyle A^{\complement }}$ ${\displaystyle {\overline {A}},A',}$ ${\displaystyle \complement _{U}A,{\text{ and }}\complement A.}$

Примеры

• Предположим, что вселенная — это множество целых чисел . Если A — множество нечетных чисел, то дополнением к A является множество четных чисел. Если B — множество чисел , кратных 3, то дополнением к B является множество чисел, сравнимых с 1 или 2 по модулю 3 (или, проще говоря, целых чисел, не кратных 3).
• Предположим, что вселенная — это стандартная колода из 52 карт . Если набор A — это масть пик, то дополнением к A является объединение мастей треф, бубен и червей. Если набор B — это объединение мастей треф и бубен, то дополнением к B является объединение мастей червей и пик.
• Когда вселенная — это вселенная множеств, описанных в формализованной теории множеств , абсолютное дополнение множества, как правило, само по себе не является множеством, а скорее собственным классом . Для получения дополнительной информации см. универсальный набор .

Характеристики

Пусть A и B — два множества во вселенной U. Следующие тождества отражают важные свойства абсолютных дополнений:

Законы де Моргана : ^[5]

• ${\displaystyle \left(A\cup B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.}$
• ${\displaystyle \left(A\cap B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.}$

Законы дополнения: ^[5]

• ${\displaystyle A\cup A^{\complement }=U.}$
• ${\displaystyle A\cap A^{\complement }=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset ^{\complement }=U.}$
• ${\displaystyle U^{\complement }=\emptyset .}$
• ${\displaystyle {\text{If }}A\subseteq B{\text{, then }}B^{\complement }\subseteq A^{\complement }.}$

  (это следует из эквивалентности условного предложения с его контрапозицией ).

Закон инволюции или двойного дополнения:

• ${\displaystyle \left(A^{\complement }\right)^{\complement }=A.}$

Отношения между относительными и абсолютными дополнениями:

• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\complement }.}$
• ${\displaystyle (A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B=A^{\complement }\cup (B\cap A).}$

Связь с заданной разницей:

• ${\displaystyle A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.}$

Первые два закона дополнения, приведенные выше, показывают, что если A — непустое собственное подмножество U , то { A , A ^∁ } является разбиением U.

Относительное дополнение

Определение

Если A и B являются множествами, то относительное дополнение A в B ^[5] , также называемое разностью множеств B и A [ ^6] , представляет собой множество элементов в B, но не в A.

Относительное дополнение A в B :​ ${\displaystyle B\cap A^{\complement }=B\setminus A}$

Относительное дополнение A в B обозначается в соответствии со стандартом ISO 31-11 . Иногда его записывают, но эта нотация неоднозначна, так как в некоторых контекстах (например, операции над множествами Минковского в функциональном анализе ) его можно интерпретировать как множество всех элементов , где b берется из B , а a из A. ${\displaystyle B\setminus A}$ ${\displaystyle B-A,}$ ${\displaystyle b-a,}$

Формально: $${\displaystyle B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.}$$

Примеры

• ${\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.}$
• ${\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.}$
• Если — множество действительных чисел , а — множество рациональных чисел , то — множество иррациональных чисел . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$

Характеристики

Пусть A , B и C — три множества во вселенной U. Следующие тождества отражают важные свойства относительных дополнений:

• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),}$

  с важным частным случаем, демонстрирующим, что пересечение может быть выражено с использованием только операции относительного дополнения. ${\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)}$

• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).}$
• ${\displaystyle A\setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle A\setminus \emptyset =A.}$
• ${\displaystyle A\setminus U=\emptyset .}$
• Если , то . ${\displaystyle A\subset B}$ ${\displaystyle C\setminus A\supset C\setminus B}$
• ${\displaystyle A\supseteq B\setminus C}$эквивалентно . ${\displaystyle C\supseteq B\setminus A}$

Комплементарное отношение

Бинарное отношение определяется как подмножество произведения множеств. Дополнительное отношение является дополнением множества к в. Дополнение отношения можно записать следующим образом: Здесь часто рассматривается как логическая матрица со строками, представляющими элементы и столбцами, элементами Истинность соответствует 1 в строке и столбце. Создание дополнительного отношения к соответствует замене всех единиц на нули и нулей на единицы для логической матрицы дополнения. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle {\bar {R}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\bar {R}}\ =\ (X\times Y)\setminus R.}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle R}$

Наряду с композицией отношений и обратными отношениями дополнительные отношения и алгебра множеств являются элементарными операциями исчисления отношений .

Нотация LaTeX

В языке набора LaTeX команда \setminus^[7] обычно используется для отображения символа разности множеств, который похож на символ обратной косой черты . При отображении \setminusкоманда выглядит идентично \backslash, за исключением того, что у нее немного больше места перед и после косой черты, что похоже на последовательность LaTeX \mathbin{\backslash}. Вариант \smallsetminusдоступен в пакете amssymb, но этот символ не включен отдельно в Unicode. Символ (в отличие от ) создается . (Он соответствует символу Unicode U+2201 ∁ COMPLEMENT .) ${\displaystyle \complement }$ ${\displaystyle C}$\complement

Смотрите также

• Алгебра множеств  – тождества и отношения, включающие множества
• Пересечение (теория множеств)  – множество элементов, общих для всех некоторых множеств.
• Список тождеств и отношений множеств  – Равенства для комбинаций множеств
• Наивная теория множеств  – Неформальные теории множеств
• Симметричная разность  – элементы находятся ровно в одном из двух множеств
• Объединение (теория множеств)  – множество элементов в каком-либо из множеств.

Примечания

1. "Дополнение и разность множеств". web.mnstate.edu . Получено 2020-09-04 .
2. "Определение дополнения (множества) (Иллюстрированный математический словарь)". www.mathsisfun.com . Получено 04.09.2020 .
3. Таким образом, множество, в котором рассматривается дополнение, неявно упоминается в абсолютном дополнении и явно упоминается в относительном дополнении.
4. Бурбаки 1970, стр. E II.6.
5. Halmos 1960, стр. 17.
6. Девлин 1979, стр. 6.
7. [1] Архивировано 05.03.2022 на Wayback Machine Полный список символов LaTeX

Ссылки

• Бурбаки, Н. (1970). Теория ансамблей (на французском языке). Париж: Германн. ISBN 978-3-540-34034-8.
• Девлин, Кит Дж. (1979). Основы современной теории множеств . Universitext. Springer . ISBN 0-387-90441-7. Збл  0407.04003.
• Халмош, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств . Университетская серия по математике для студентов младших курсов. Компания van Nostrand. ISBN 9780442030643. Збл  0087.04403.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Дополнение». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Дополнительное множество». MathWorld .