В математике операция — это функция , которая преобразует ноль или более входных значений (также называемых « операндами » или «аргументами») в четко определенное выходное значение. Количество операндов определяет арность операции.
Наиболее часто изучаемыми операциями являются бинарные операции (т. е. операции арности 2), такие как сложение и умножение , и унарные операции (т. е. операции арности 1), такие как аддитивные обратные и мультипликативные обратные операции . Операция нулевой арности или нулевая операция является константой . [1] [2] Смешанное произведение является примером операции арности 3, также называемой троичной операцией .
Обычно арность считается конечной. Однако иногда рассматривают бесконечные операции [1] и в этом случае «обычные» операции конечной арности называют финитными операциями .
Частичная операция определяется аналогично операции, но вместо функции используется частичная функция .
Существует два распространенных типа операций: унарные и бинарные . Унарные операции включают только одно значение, например отрицание и тригонометрические функции . [3] Двоичные операции, с другой стороны, принимают два значения и включают в себя сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень . [4]
Операции могут включать в себя не только числа, но и математические объекты. Логические значения true и false можно комбинировать с помощью логических операций , таких как and , or, and not . Векторы можно складывать и вычитать. [5] Повороты можно комбинировать с помощью операции композиции функций , выполняя первый поворот, а затем второй. К операциям над множествами относятся бинарные операции объединения и пересечения , а также унарная операция дополнения . [6] [7] [8] Операции над функциями включают композицию и свертку . [9] [10]
Операции не могут быть определены для каждого возможного значения области определения . Например, в действительных числах нельзя делить на ноль [11] или извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Значения, для которых определена операция, образуют набор, называемый областью определения или активной областью . Набор, содержащий полученные значения, называется кодоменом , но набор фактических значений, полученных в результате операции, является его коденом определения, активным кодоменом, изображением или диапазоном . [12] [ не удалось проверить ] Например, в действительных числах операция возведения в квадрат дает только неотрицательные числа; кодомен — это набор действительных чисел, а диапазон — неотрицательные числа.
Операции могут включать в себя разнородные объекты: вектор можно умножить на скаляр, чтобы сформировать другой вектор (операция, известная как скалярное умножение ) [13] , а операция внутреннего произведения над двумя векторами дает скалярную величину. [14] [15] Операция может иметь или не иметь определенные свойства, например, она может быть ассоциативной , коммутативной , антикоммутативной , идемпотентной и так далее.
Объединенные значения называются операндами , аргументами или входными данными , а полученное значение называется значением , результатом или выходом . Операции могут иметь меньше или больше двух входов (включая случай нулевого входа и бесконечного количества входов [1] ).
Оператор похож на операцию в том, что он относится к символу или процессу, используемому для обозначения операции, поэтому их точка зрения различна. Например, часто говорят об «операции сложения» или «операции сложения», когда фокусируются на операндах и результате, но переключаются на «оператор сложения» (редко «оператор сложения»), когда фокусируется на процессе. , или с более символической точки зрения, функция +: X × X → X .
n -арная операция ω из X 1 , …, X n в Y — это функция ω : X 1 × … × X n → Y . Множество X 1 × … × X n называется областью определения операции, множество Y называется кодоменом операции, а фиксированное неотрицательное целое число n (количество операндов) называется арностью операции . Таким образом, унарная операция имеет арность один, а бинарная операция имеет арность два. Операция нулевой арности, называемая нулевой операцией, представляет собой просто элемент кодомена Y . n -арную операцию можно также рассматривать как ( n + 1) -арное отношение , которое является полным в n входных областях и уникальным в выходной области.
n -арная частичная операция ω из X 1 , …, X n в Y является частичной функцией ω : X 1 × … × X n → Y . n -арную частичную операцию также можно рассматривать как ( n + 1) -арное отношение, уникальное в своей выходной области.
Вышеописанное описывает то, что обычно называют финитной операцией , имея в виду конечное число операндов (значение n ). Существуют очевидные расширения, в которых арность принимается за бесконечный порядковый номер или кардинал , [1] или даже за произвольный набор, индексирующий операнды.
Часто использование термина « операция» подразумевает, что область определения функции включает в себя степень кодомена (т.е. декартово произведение одной или нескольких копий кодомена), [16] хотя это ни в коем случае не является универсальным, как в случай скалярного произведения , когда векторы умножаются и в результате получают скаляр. n -арная операция ω : X n → X называетсявнутренняя операция . n-арнаяоперация ω : X i × S × X n − i − 1 → X , где0 ≤ i < n ,называетсявнешней операциейсо стороныскалярного набораилинабора операторов S.В частности, для бинарной операции ω : S × X → X называетсялевой внешней операциейпоS, а ω : X × S → X называетсяправосторонней операциейпоS. Примером внутренней операции являетсясложение векторов, при котором два вектора складываются и в результате получается вектор. Примером внешней операции являетсяскалярное умножение, когда вектор умножается на скаляр и в результате получается вектор.
n -арная многофункциональность илимультиоперация ω— это отображение декартовой степени множества в множество подмножеств этого множества, формально ω : X n → P ( X ).[17]
Векторы можно складывать (сложение векторов), вычитать (вычитание векторов)…
