Единичная доля

Один над целым числом

Кусочки размером примерно 1/8 пиццы

Единичная дробь — это положительная дробь с единицей в качестве числителя , 1/ n . Это мультипликативная обратная (обратная) величина знаменателя дроби, который должен быть положительным натуральным числом . Примерами являются 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 и т. д. Когда объект делится на равные части, каждая часть является единичной дробью целого.

Умножение двух дробей единиц дает еще одну дробь единиц, но другие арифметические операции не сохраняют дроби единиц. В модульной арифметике дроби единиц можно преобразовать в эквивалентные целые числа, что позволяет преобразовать модульное деление в умножение. Каждое рациональное число можно представить в виде суммы различных дробей единиц; эти представления называются египетскими дробями на основе их использования в древнеегипетской математике . Многие бесконечные суммы дробей единиц имеют математический смысл.

В геометрии единичные дроби могут использоваться для характеристики кривизны групп треугольников и касательных окружностей Форда . Единичные дроби обычно используются при честном делении , и это знакомое применение используется в математическом образовании как ранний шаг к пониманию других дробей. Единичные дроби распространены в теории вероятностей из-за принципа безразличия . Они также имеют приложения в комбинаторной оптимизации и в анализе картины частот в спектральном ряду водорода .

Арифметика

Единичные дроби — это рациональные числа , которые можно записать в виде , где может быть любым положительным натуральным числом . Таким образом, они являются мультипликативными обратными положительным целым числам. Когда что-то делится на равные части, каждая часть является дробью целого. ^[1] $${\displaystyle {\frac {1}{n}},}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$

Элементарная арифметика

Умножение любых двух дробей единиц дает произведение, которое является еще одной дробью единиц: ^[2] Однако сложение , ^[3] вычитание , ^[3] или деление двух дробей единиц дает результат, который, как правило, не является дробью единиц: $${\displaystyle {\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {y-x}{xy}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.}$$

Как показывает последняя из этих формул, каждая дробь может быть выражена как частное двух единичных дробей. ^[4]

Модульная арифметика

В модульной арифметике любая дробь единицы может быть преобразована в эквивалентное целое число с помощью расширенного алгоритма Евклида . ^{[5] [6]} Это преобразование может быть использовано для выполнения модульного деления: деление на число по модулю может быть выполнено путем преобразования дроби единицы в эквивалентное целое число по модулю , а затем умножения на это число. ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle y}$

Более подробно, предположим, что является взаимно простым с (иначе деление на не определено по модулю ). Расширенный алгоритм Евклида для наибольшего общего делителя может быть использован для нахождения целых чисел и таких, что выполняется тождество Безу : В модульной арифметике член может быть исключен, поскольку он равен нулю по модулю . Это оставляет То есть, является модульным обратным к , числом, которое при умножении на дает единицу. Эквивалентно, ^{[5] [6]} Таким образом, деление на (по модулю ) вместо этого может быть выполнено путем умножения на целое число . ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle \displaystyle ax+by=\gcd(x,y)=1.}$$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle by}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}}.}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$

Комбинации

Некоторые конструкции в математике предполагают объединение нескольких единичных дробей, часто путем их сложения.

Конечные суммы

Любое положительное рациональное число можно записать в виде суммы отдельных дробей, несколькими способами. Например,

${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.}$

Эти суммы называются египетскими дробями , потому что древнеегипетские цивилизации использовали их в качестве обозначений для более общих рациональных чисел . Сегодня все еще существует интерес к анализу методов, используемых древними для выбора среди возможных представлений для дробного числа, и для вычислений с такими представлениями. ^[8] Тема египетских дробей также вызвала интерес в современной теории чисел ; например, проблема Эрдёша–Грэхема ^[9] и гипотеза Эрдёша–Штрауса ^[10] касаются сумм единичных дробей, как и определение гармонических чисел Оре . ^[11]

Узор сферических треугольников с симметрией отражения по каждому краю треугольника. Сферические узоры отражения, подобные этому , с , и треугольниками в каждой вершине (здесь, ) существуют только тогда, когда . ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle 2y}$ ${\displaystyle 2z}$ ${\displaystyle x,y,z=2,3,5}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}}>1}$

В геометрической теории групп треугольные группы классифицируются на евклидовы, сферические и гиперболические в зависимости от того, равна ли соответствующая сумма единичных дробей единице, больше единицы или меньше единицы соответственно. ^[12]

Бесконечный ряд

Многие известные бесконечные ряды имеют члены, которые являются дробями единиц. К ним относятся:

• Гармонический ряд , сумма всех положительных единичных дробей. Эта сумма расходится, и ее частичные суммы близко приближаются к натуральному логарифму плюс константа Эйлера-Маскерони . ^[13] Изменение каждого другого сложения на вычитание дает знакопеременный гармонический ряд, который в сумме дает натуральный логарифм 2 : ^[14] $${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}$$
• Формула Лейбница для π выглядит следующим образом ^[15] $${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}$$
• Базельская проблема касается суммы квадратных дробей единицы: ^[16] Аналогично, константа Апери является иррациональным числом , суммой кубических дробей единицы. ^[17] $${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$
• Двоичная геометрическая прогрессия [ ^18] $${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =2.}$$

Матрицы

Матрица Гильберта — это квадратная матрица , в которой элементы на й антидиагонали все равны единичной дроби . То есть, она имеет элементы Например, матрица является матрицей Гильберта. Она обладает необычным свойством, что все элементы в ее обратной матрице являются целыми числами. ^[19] Аналогично, Ричардсон (2001) определил матрицу, элементы которой являются единичными дробями, знаменатели которых являются числами Фибоначчи : где обозначает й число Фибоначчи. Он называет эту матрицу матрицей Филберта, и она имеет то же свойство иметь целочисленную обратную. ^[20] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1/i}$ $${\displaystyle B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}},}$$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Смежность и круги Форда

Дроби с касательными окружностями Форда отличаются на единичную дробь

Две дроби и (в простейшем смысле) называются смежными, если , что подразумевает, что они отличаются друг от друга на единичную дробь: Например, и смежны: и . Однако некоторые пары дробей, разность которых составляет единичную дробь, не являются смежными в этом смысле: например, и отличаются на единичную дробь, но не являются смежными, так как для них . ^[21] ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle c/d}$ $${\displaystyle ad-bc=\pm 1,}$$ $${\displaystyle \left|{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}\right|={\frac {|ad-bc|}{bd}}={\frac {1}{bd}}.}$$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$ ${\displaystyle 1\cdot 5-2\cdot 3=-1}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{10}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle ad-bc=3}$

Эта терминология происходит из изучения окружностей Форда . Это система окружностей, которые касаются числовой прямой в заданной дроби и имеют квадрат знаменателя дроби в качестве своего диаметра. Дроби и являются смежными тогда и только тогда, когда их окружности Форда являются касательными окружностями . ^[21] ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle c/d}$

Приложения

Справедливое разделение и математическое образование

В математическом образовании дроби единиц часто вводятся раньше, чем другие виды дробей, из-за простоты их наглядного объяснения как равных частей целого. ^{[22] [23]} Распространенное практическое применение дробей единиц — это разделение пищи поровну между несколькими людьми, и упражнения по выполнению такого рода справедливого деления являются стандартным примером для обучения студентов работе с дробями единиц. ^[24]

Вероятность и статистика

Вероятность выпадения шестигранной кости на каждой грани составляет 1/6.

В равномерном распределении на дискретном пространстве все вероятности равны единичным долям. В силу принципа безразличия вероятности такого вида часто возникают в статистических расчетах. ^[25]

Неравные вероятности, связанные с долями единицы, возникают в законе Ципфа . Он гласит, что для многих наблюдаемых явлений, включающих выбор элементов из упорядоченной последовательности, вероятность того, что элемент th будет выбран, пропорциональна доле единицы . ^[26] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/n}$

Комбинаторная оптимизация

При изучении комбинаторных задач оптимизации задачи упаковки контейнеров включают входную последовательность элементов с дробными размерами, которые должны быть помещены в контейнеры, вместимость которых (общий размер элементов, помещенных в каждый контейнер) равна единице. Исследования этих задач включали изучение ограниченных задач упаковки контейнеров, где размеры элементов являются дробными частями единицы. ^{[27] [28]}

Одной из причин этого является тестовый случай для более общих методов упаковки контейнеров. Другая включает в себя форму планирования вертушки , в которой набор сообщений одинаковой длины должен многократно транслироваться по ограниченному числу каналов связи, причем каждое сообщение имеет максимальную задержку между временем начала его повторных трансляций. Элемент, задержка которого равна длине сообщения, должен занимать часть, по крайней мере, временных интервалов на канале, которому он назначен, поэтому решение проблемы планирования может прийти только из решения проблемы упаковки контейнеров дробной части с каналами в качестве контейнеров и дробями в качестве размеров элементов. ^[27] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle 1/k}$

Даже для задач упаковки контейнеров с произвольными размерами элементов может быть полезно округлить каждый размер элемента до следующей большей дроби единицы, а затем применить алгоритм упаковки контейнеров, специализированный для размеров дроби единицы. В частности, метод гармонической упаковки контейнеров делает именно это, а затем упаковывает каждый контейнер, используя элементы только одного округленного размера дроби единицы. ^[28]

Физика

Спектральный ряд водорода в логарифмическом масштабе. Частоты линий излучения пропорциональны разностям пар долей единицы.

Уровни энергии фотонов , которые могут быть поглощены или испущены атомом водорода, согласно формуле Ридберга , пропорциональны разнице двух долей единицы. Объяснение этому явлению дает модель Бора , согласно которой уровни энергии электронных орбиталей в атоме водорода обратно пропорциональны квадратным долям единицы, а энергия фотона квантуется разнице между двумя уровнями. ^[29]

Артур Эддингтон утверждал, что постоянная тонкой структуры была дробной частью. Первоначально он считал, что она равна 1/136, а затем изменил свою теорию на 1/137. Это утверждение было опровергнуто, учитывая, что текущие оценки постоянной тонкой структуры составляют (с точностью до 6 значащих цифр) 1/137.036. ^[30]

Смотрите также

• 17-головоломка о наследовании животных , головоломка, включающая справедливое деление на единичные дроби
• Дробная часть — число, которое образует дробь единицы при использовании в качестве числителя с заданным знаменателем.
• Суперчастное отношение , единица плюс дробь единицы, важное в музыкальной гармонии

Ссылки

1. Cavey, Laurie O.; Kinzel, Margaret T. (февраль 2014 г.), «От целых чисел к инвертированию и умножению», Teaching Children Mathematics , 20 (6): 374–383, doi :10.5951/teacchilmath.20.6.0374, JSTOR  10.5951/teacchilmath.20.6.0374
2. Соломон, Перл Голд (2007), Математика, которую нам нужно знать и делать в 6–9 классах: концепции, навыки, стандарты и оценки, Corwin Press, стр. 157, ISBN 978-1-4129-1726-1
3. Бетц, Уильям (1957), Алгебра сегодня, первый год , Джинн, стр. 370
4. Хуменбергер, Ганс (осень 2014 г.), «Египетские дроби – представления в виде сумм единичных дробей», Математика и компьютерное образование , 48 (3): 268–283, ProQuest  1622317875
5. Cormen, Thomas H. ; Leiserson, Charles E. ; Rivest, Ronald L. ; Stein, Clifford (2001) [1990], "31.4 Решение модульных линейных уравнений", Введение в алгоритмы (2-е изд.), MIT Press и McGraw-Hill, стр. 869–872, ISBN 0-262-03293-7
6. Goodrich, Michael T. ; Tamassia, Roberto (2015), «Раздел 24.2.2: Модульные мультипликативные обратные», Algorithm Design and Applications , Wiley, стр. 697–698, ISBN 978-1-118-33591-8
7. Брент, Ричард П.; Циммерман , Пол (2010), "2.5 Модульное деление и инверсия", Современная компьютерная арифметика (PDF) , Кембриджские монографии по прикладной и вычислительной математике, т. 18, Cambridge University Press, стр. 65–68, arXiv : 1004.4710 , doi : 10.1017/cbo9780511921698.001, ISBN 978-1-139-49228-7, S2CID  441260
8. Гай, Ричард К. (2004), «D11. Египетские дроби», Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag, стр. 252–262, ISBN 978-0-387-20860-2
9. Croot, Ernest S. III (2003), «О гипотезе раскраски единичных дробей», Annals of Mathematics , 157 (2): 545–556, arXiv : math.NT/0311421 , doi :10.4007/annals.2003.157.545, MR  1973054, S2CID  13514070
10. Элсхольц, Кристиан; Тао, Теренс (2013), «Подсчет числа решений уравнения Эрдёша–Штрауса на единичных дробях» (PDF) , Журнал Австралийского математического общества , 94 (1): 50–105, arXiv : 1107.1010 , doi : 10.1017/S1446788712000468, MR  3101397, S2CID  17233943
11. Оре, Эйстейн (1948), «О средних значениях делителей числа», The American Mathematical Monthly , 55 (10): 615–619, doi :10.2307/2305616, JSTOR  2305616
12. Магнус, Вильгельм (1974), Неевклидовы мозаики и их группы, Чистая и прикладная математика, т. 61, Academic Press, стр. 65, ISBN 978-0-08-087377-0, МР  0352287
13. Боас, Р. П. Младший ; Вренч, Дж. В. Младший (1971), «Частичные суммы гармонического ряда», The American Mathematical Monthly , 78 (8): 864–870, doi :10.1080/00029890.1971.11992881, JSTOR  2316476, MR  0289994
14. Френише, Франциско Дж. (2010), «О теореме перестановки Римана для знакопеременного гармонического ряда» (PDF) , The American Mathematical Monthly , 117 (5): 442–448, doi : 10.4169/000298910X485969, JSTOR  10.4169/000298910x485969, MR  2663251, S2CID  20575373
15. Рой, Ранджан (1990), «Открытие формулы ряда для π Лейбницем, Грегори и Нилакантой» (PDF) , Mathematics Magazine , 63 (5): 291–306, doi :10.1080/0025570X.1990.11977541, заархивировано из оригинала (PDF) 2023-03-14 , извлечено 2023-03-22
16. Аюб, Рэймонд (1974), «Эйлер и дзета-функция», The American Mathematical Monthly , 81 (10): 1067–86, doi : 10.2307/2319041, JSTOR  2319041, заархивировано из оригинала 2019-08-14 , извлечено 2023-03-22
17. ван дер Поортен, Альфред (1979), «Доказательство, которое Эйлер пропустил ... Доказательство Апери иррациональности ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} » (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 1 (4): 195–203, doi :10.1007/BF03028234, S2CID  121589323, архивировано из оригинала (PDF) 2011-07-06
18. Эйлер, Леонард (сентябрь 1983 г.), «Из элементов алгебры », Old Intelligencer, The Mathematical Intelligencer , 5 (3): 75–76, doi :10.1007/bf03026580, S2CID  122191726
19. Чой, Ман Дуэн (1983), «Сладости или шалости с матрицей Гильберта», The American Mathematical Monthly , 90 (5): 301–312, doi :10.2307/2975779, JSTOR  2975779, MR  0701570
20. Ричардсон, Томас М. (2001), «Матрица Филберта» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 39 (3): 268–275, arXiv : math.RA/9905079 , Bibcode : 1999math......5079R
21. Ford, LR (1938), «Дроби», The American Mathematical Monthly , 45 (9): 586–601, doi :10.1080/00029890.1938.11990863, JSTOR  2302799, MR  1524411
22. Полкингхорн, Ада Р. (май 1935 г.), «Маленькие дети и фракции», Childhood Education , 11 (8): 354–358, doi :10.1080/00094056.1935.10725374
23. Эмпсон, Сьюзан Бейкер ; Джейкобс, Виктория Р.; Джессап, Наоми А.; Хьюитт, Эми; Пайнс, Д'Анна; Краузе, Глэдис (апрель 2020 г.), «Единичные дроби как супергерои для обучения», Учитель математики , 113 (4): 278–286, doi : 10.5951/mtlt.2018.0024, JSTOR  10.5951/mtlt.2018.0024, S2CID  216283105
24. Уилсон, П. Холт; Эджингтон, Синтия П.; Нгуен, Кенни Х.; Пескосолидо, Райан К.; Конфри, Джере (ноябрь 2011 г.), «Дроби: как справедливо делить», Преподавание математики в средней школе , 17 (4): 230–236, doi :10.5951/mathteacmiddscho.17.4.0230, JSTOR  10.5951/mathteacmiddscho.17.4.0230
25. Уэлш, Алан Х. (1996), Аспекты статистического вывода , Wiley Series in Probability and Statistics, т. 246, John Wiley and Sons, стр. 66, ISBN 978-0-471-11591-5
26. Саичев, Александр; Малевернь, Янник; Сорнетт, Дидье (2009), Теория закона Ципфа и не только , Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, т. 632, Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-02945-5
27. Бар-Ной, Амоц; Ладнер, Ричард Э .; Тамир, Тами (2007), «Планирование окон как ограниченная версия упаковки контейнеров», ACM Transactions on Algorithms , 3 (3): A28:1–A28:22, doi :10.1145/1273340.1273344, MR  2344019, S2CID  2461059
28. van Stee, Rob (июнь 2012 г.), «SIGACT news online algorithms column 20: The power of harmony» (PDF) , ACM SIGACT News , 43 (2): 127–136, doi : 10.1145/2261417.2261440, S2CID  14805804
29. Ян, Фудзиа ; Гамильтон, Джозеф Х. (2009), Современная атомная и ядерная физика , World Scientific, стр. 81–86, ISBN 978-981-283-678-6
30. Килмистер, Клайв Уильям (1994), Поиски Эддингтона фундаментальной теории: ключ к Вселенной , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-37165-0