В теории чисел дружественные числа — это два или более натуральных числа с общим индексом изобилия — отношением суммы делителей числа к самому числу. Два числа с одинаковым «обилием» образуют дружественную пару ; n чисел с одинаковым «изобилием» образуют дружественный n -кортеж .
Взаимная дружелюбие является отношением эквивалентности и, таким образом, вызывает разделение положительных натуральных чисел на клубы ( классы эквивалентности ) взаимно «дружественных чисел».
Число, не входящее ни в одну дружественную пару, называется одиночным .
Индекс «изобилия» числа n — это рациональное число σ( n )/ n , в котором σ обозначает сумму функции делителей . Число n является «дружественным числом», если существует m ≠ n такое, что σ( m )/ m = σ( n )/ n . «Изобилие» — это не то же самое, что изобилие , которое определяется как σ( n ) − 2 n .
«Изобилие» также может быть выражено как где обозначает функцию делителя, равную сумме k -ых степеней делителей n .
Все цифры от 1 до 5 одиночные. Наименьшее «дружественное число» — 6, образуя, например, «дружественную» пару 6 и 28 с «изобилием» σ(6)/6 = (1+2+3+6)/6 = 2, то же, что σ. (28)/28 = (1+2+4+7+14+28)/28 = 2. Общее значение 2 в этом случае является целым числом, но не во многих других случаях. Числа с «изобилием» 2 также известны как совершенные числа . Есть несколько нерешенных проблем, связанных с «дружественными номерами».
Несмотря на сходство названий, не существует конкретной связи между дружественными числами и дружественными числами или общительными числами , хотя определения последних двух также включают функцию делителя.
Другой пример: 30 и 140 образуют дружественную пару, поскольку 30 и 140 имеют одинаковое «изобилие»: [1]
Числа 2480, 6200 и 40640 также являются членами этого клуба, так как каждое из них имеет «изобилие», равное 12/5.
В качестве примера дружественных нечетных чисел рассмотрим 135 и 819 («изобилие» 16/9 ( дефицит )). Встречаются также случаи «дружественности» четности к нечетным, например 42, 3472, 56896, ... (последовательность A347169 в OEIS ) и 544635 («изобилие» 16/7). Нечетный «друг» может быть меньше четного, как в 84729645 и 155315394 («изобилие» 896/351), или в 6517665, 14705145 и 2746713837618 («изобилие» 64/27).
Квадратное число может быть дружественным, например, как 693479556 (квадрат 26334), так и 8640 имеют «изобилие» 127/36 (этот пример принадлежит Дину Хикерсону).
В таблице ниже синие числа доказаны как дружественные (последовательность A074902 в OEIS ), красные числа — как одиночные (последовательность A095739 в OEIS ), числа n такие, что n и являются взаимно простыми (последовательность A014567 в OEIS ), оставлены неокрашенными, хотя известно, что они одиночные. Остальные номера имеют неизвестный статус и имеют желтый цвет.
Номер, принадлежащий одному клубу, поскольку ни один другой номер не является с ним «дружественным», является одиночным номером. Известно, что все простые числа одиночные, как и степени простых чисел. В более общем смысле, если числа n и σ( n ) взаимно просты (это означает, что наибольший общий делитель этих чисел равен 1, так что σ( n )/ n является неприводимой дробью), то число n является одиночным (последовательность A014567 в ОЭИС ) . Для простого числа p имеем σ( p ) = p + 1, которое взаимно просто с p .
Неизвестен общий метод определения того, является ли число «дружественным» или одиночным. Наименьшее число, классификация которого неизвестна, — 10; предполагается, что он одиночный. Если это не так, то, по крайней мере, его самый маленький друг . [2] [3] .Небольшие числа с относительно большим наименьшим другом действительно существуют: например, 24 является «дружественным», а его наименьший друг — 91 963 648. [2] [3]
Существуют ли бесконечно большие клубы взаимно «дружественных» чисел — открытый вопрос. Совершенные числа образуют клуб, и предполагается, что совершенных чисел бесконечно много (по крайней мере, столько же, сколько простых чисел Мерсенна ), но доказательство не известно. Есть клубы с более известными участниками: в частности, состоящие из кратно совершенных чисел , то есть чисел, «изобилие» которых является целым числом. Хотя известно, что некоторые из них довольно велики, предполагается, что клубы кратно совершенных чисел (исключая сами совершенные числа) конечны.
Каждая пара a , b дружественных чисел дает положительную долю всех натуральных чисел, которые являются дружественными (но в разных клубах), если рассматривать пары na , nb для множителей n с НОД ( n , ab ) = 1. Например, «Примитивная» дружественная пара 6 и 28 порождает дружественные пары 6 n и 28 n для всех n , которые конгруэнтны 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37 или 41 по модулю. 42. [4]
Это показывает, что естественная плотность дружественных чисел (если она существует) положительна.
Андерсон и Хикерсон предположили, что плотность на самом деле должна быть равна 1 (или, что то же самое, что плотность одиночных чисел должна быть равна 0). [4] Согласно статье MathWorld об одиночном числе (см. раздел «Ссылки» ниже), эта гипотеза не была решена, хотя Померанс в какой-то момент думал, что опроверг ее.
