Двойственность Пуанкаре

Связывает группы гомологии и когомологии для ориентированных замкнутых многообразий.

В математике теорема двойственности Пуанкаре , названная в честь Анри Пуанкаре , является основным результатом о структуре групп гомологии и когомологии многообразий . Она утверждает, что если M является n - мерным ориентированным замкнутым многообразием ( компактным и без границы), то k -я группа когомологий M изоморфна ( n − k ) -й группе гомологий M для всех целых чисел k.

${\displaystyle H^{k}(M)\cong H_{n-k}(M).}$

Двойственность Пуанкаре справедлива для любого кольца коэффициентов , если только выбрана ориентация относительно этого кольца коэффициентов; в частности, поскольку каждое многообразие имеет уникальную ориентацию по модулю 2, двойственность Пуанкаре справедлива по модулю 2 без какого-либо предположения об ориентации.

История

Форма двойственности Пуанкаре была впервые сформулирована без доказательства Анри Пуанкаре в 1893 году. Она была сформулирована в терминах чисел Бетти : k -е и ( n − k ) -е числа Бетти замкнутого (т. е. компактного и без границы) ориентируемого n -многообразия равны. Концепция когомологии в то время была примерно через 40 лет от прояснения. В своей статье 1895 года Analysis Situs Пуанкаре попытался доказать теорему, используя топологическую теорию пересечений , которую он изобрел. Критика его работы Полом Хегором привела его к пониманию того, что его доказательство было серьезно ошибочным. В первых двух дополнениях к Analysis Situs Пуанкаре дал новое доказательство в терминах двойственных триангуляций.

Двойственность Пуанкаре приобрела свою современную форму только с появлением когомологий в 1930-х годах, когда Эдуард Чех и Хасслер Уитни изобрели произведения чашек и колпачков и сформулировали двойственность Пуанкаре в этих новых терминах.

Современная формулировка

Современное утверждение теоремы двойственности Пуанкаре дано в терминах гомологии и когомологии: если M — замкнутое ориентированное n -многообразие, то существует канонически определенный изоморфизм для любого целого числа k . Чтобы определить такой изоморфизм, выбирается фиксированный фундаментальный класс [ M ] для M , который будет существовать, если ориентировано. Тогда изоморфизм определяется путем отображения элемента в произведение колпачков . ^[1] ${\displaystyle H^{k}(M,\mathbb {Z} )\to H_{n-k}(M,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \alpha \in H^{k}(M)}$ ${\displaystyle [M]\frown \alpha }$

Группы гомологии и когомологии определяются как равные нулю для отрицательных степеней, поэтому двойственность Пуанкаре, в частности, подразумевает, что группы гомологии и когомологии ориентируемых замкнутых n -многообразий равны нулю для степеней, больших n .

Здесь гомологии и когомологии являются интегральными, но изоморфизм остается действительным над любым кольцом коэффициентов. В случае, когда ориентированное многообразие не является компактным, необходимо заменить гомологии на гомологии Бореля–Мура

${\displaystyle H^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}^{BM}(X),}$

или заменить когомологии когомологиями с компактным носителем

${\displaystyle H_{c}^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}(X).}$

Двойные клеточные структуры

Для заданного триангулированного многообразия существует соответствующее дуальное полиэдральное разложение. Дуальное полиэдральное разложение является клеточным разложением многообразия, таким, что k -клетки дуального полиэдрального разложения находятся во взаимно однозначном соответствии с ( )-ячейками триангуляции, обобщая понятие дуальных полиэдров . ${\displaystyle n-k}$

${\displaystyle \cup _{S\in T}\Delta \cap DS}$– изображение частей двойных ячеек в многомерном симплексе.

Точнее, пусть T будет триангуляцией n -многообразия M . Пусть S будет симплексом T . Пусть будет симплексом верхней размерности T , содержащим S , так что мы можем рассматривать S как подмножество вершин . Определим двойственную ячейку DS , соответствующую S , так, чтобы она была выпуклой оболочкой в ​​барицентров всех подмножеств вершин , содержащих . Можно проверить, что если S является i -мерным, то DS является ( n − i ) -мерной ячейкой. Более того, двойственные ячейки к T образуют CW-разложение M , и единственная ( )-мерная двойственная ячейка, которая пересекает i -ячейку S , это DS . Таким образом, спаривание, заданное взятием пересечений, индуцирует изоморфизм , где — клеточная гомология триангуляции T , а и — клеточные гомологии и когомологии двойственного полиэдрального/CW-разложения многообразия соответственно. Тот факт, что это изоморфизм цепных комплексов , является доказательством двойственности Пуанкаре. Грубо говоря, это сводится к тому, что граничное отношение для триангуляции T является отношением инцидентности для двойственного полиэдрального разложения при соответствии . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta \cap DS}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n-i}$ ${\displaystyle C_{i}M\otimes C_{n-i}M\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle C_{i}M\to C^{n-i}M}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{n-i}M}$ ${\displaystyle C^{n-i}M}$ ${\displaystyle S\longmapsto DS}$

Естественность

Обратите внимание, что является контравариантным функтором, тогда как является ковариантным . Семейство изоморфизмов ${\displaystyle H^{k}}$ ${\displaystyle H_{n-k}}$

${\displaystyle D_{M}\colon H^{k}(M)\to H_{n-k}(M)}$

естественно в следующем смысле: если

${\displaystyle f\colon M\to N}$

является непрерывным отображением между двумя ориентированными n -многообразиями, которое совместимо с ориентацией, т.е. которое отображает фундаментальный класс M в фундаментальный класс N , тогда

${\displaystyle D_{N}=f_{*}\circ D_{M}\circ f^{*},}$

где и — отображения, индуцированные в гомологиях и когомологиях соответственно. ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$

Обратите внимание на очень сильную и важную гипотезу, которая отображает фундаментальный класс M в фундаментальный класс N . Естественность не выполняется для произвольного непрерывного отображения , поскольку в общем случае не является инъекцией в когомологиях. Например, если является покрывающим отображением, то оно отображает фундаментальный класс M в кратное фундаментального класса N . Это кратное является степенью отображения . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Формулировка билинейного спаривания

Предполагая, что многообразие M компактно, безгранично и ориентируемо , пусть

${\displaystyle \tau H_{i}M}$

обозначим подгруппу кручения и пусть ${\displaystyle H_{i}M}$

${\displaystyle fH_{i}M=H_{i}M/\tau H_{i}M}$

быть свободной частью – все группы гомологии, взятые с целыми коэффициентами в этом разделе. Затем идут билинейные отображения , которые являются парами двойственности (объясняется ниже).

${\displaystyle fH_{i}M\otimes fH_{n-i}M\to \mathbb {Z} }$

и

${\displaystyle \tau H_{i}M\otimes \tau H_{n-i-1}M\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$.

Вот частное рациональных чисел по целым числам, взятым как аддитивная группа. Обратите внимание, что в форме торсионной связи в размерности есть −1, поэтому парные размерности в сумме дают n − 1 , а не n . ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

Первая форма обычно называется произведением пересечения , а вторая — формой торсионного зацепления . Предполагая, что многообразие M гладкое, произведение пересечений вычисляется путем возмущения классов гомологии до трансверсальных и вычисления их ориентированного числа пересечений. Для формы торсионной связи вычисляется спаривание x и y путем реализации nx как границы некоторого класса z . Затем форма принимает значение, равное дроби, числитель которой является числом трансверсальных пересечений z с y , а знаменатель равен n .

Утверждение, что спаривания являются спариваниями двойственности, означает, что сопряженные отображения

${\displaystyle fH_{i}M\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(fH_{n-i}M,\mathbb {Z} )}$

и

${\displaystyle \tau H_{i}M\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(\tau H_{n-i-1}M,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$

являются изоморфизмами групп.

Этот результат является применением двойственности Пуанкаре.

${\displaystyle H_{i}M\simeq H^{n-i}M}$,

вместе с теоремой об универсальном коэффициенте , которая дает идентификацию

${\displaystyle fH^{n-i}M\equiv \mathrm {Hom} (H_{n-i}M;\mathbb {Z} )}$

и

${\displaystyle \tau H^{n-i}M\equiv \mathrm {Ext} (H_{n-i-1}M;\mathbb {Z} )\equiv \mathrm {Hom} (\tau H_{n-i-1}M;\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$.

Таким образом, двойственность Пуанкаре утверждает, что и изоморфны, хотя не существует естественного отображения, задающего изоморфизм, и аналогично и также изоморфны, хотя и не естественным образом. ${\displaystyle fH_{i}M}$ ${\displaystyle fH_{n-i}M}$ ${\displaystyle \tau H_{i}M}$ ${\displaystyle \tau H_{n-i-1}M}$

Среднее измерение

В то время как для большинства измерений двойственность Пуанкаре индуцирует билинейное спаривание между различными группами гомологии, в среднем измерении она индуцирует билинейную форму на одной группе гомологии. Результирующая форма пересечения является очень важным топологическим инвариантом.

Что подразумевается под "средним измерением" зависит от четности. Для четного измерения n = 2 k , которое встречается чаще, это буквально среднее измерение k , и на свободной части средних гомологий существует форма:

${\displaystyle fH_{k}M\otimes fH_{k}M\to \mathbb {Z} }$

Напротив, для нечетного измерения n = 2k + 1 , которое обсуждается реже, это просто нижняя средняя размерность k , и существует форма на торсионной части гомологии в этом измерении:

${\displaystyle \tau H_{k}M\otimes \tau H_{k}M\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

Однако существует также спаривание между свободной частью гомологии в нижнем среднем измерении k и в верхнем среднем измерении k + 1 :

${\displaystyle fH_{k}M\otimes fH_{k+1}M\to \mathbb {Z} .}$

Полученные группы, хотя и не являются единственной группой с билинейной формой, представляют собой простой цепной комплекс и изучаются в алгебраической L-теории .

Приложения

Этот подход к двойственности Пуанкаре был использован Юзефом Пшитицким и Акирой Ясухарой ​​для того, чтобы дать элементарную гомотопическую и диффеоморфную классификацию трехмерных линзовых пространств . ^[2]

Применение к характеристикам Эйлера

Непосредственным следствием двойственности Пуанкаре является то, что любое замкнутое нечетномерное многообразие M имеет нулевую эйлерову характеристику , что, в свою очередь, означает, что любое ограничивающее многообразие имеет четную эйлерову характеристику.

Формулировка изоморфизма Тома

Двойственность Пуанкаре тесно связана с теоремой Тома об изоморфизме . Пусть — компактное, безграничное ориентированное n -многообразие, а M × M — произведение M на себя. Пусть V — открытая трубчатая окрестность диагонали в M × M. Рассмотрим отображения: ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle H_{*}M\otimes H_{*}M\to H_{*}(M\times M)}$Гомологическое перекрестное произведение
• ${\displaystyle H_{*}(M\times M)\to H_{*}\left(M\times M,(M\times M)\setminus V\right)}$включение.
• ${\displaystyle H_{*}\left(M\times M,(M\times M)\setminus V\right)\to H_{*}(\nu M,\partial \nu M)}$ карта иссечения , где - нормальный дисковый пучок диагонали в . ${\displaystyle \nu M}$ ${\displaystyle M\times M}$
• ${\displaystyle H_{*}(\nu M,\partial \nu M)\to H_{*-n}M}$изоморфизм Тома . Это отображение хорошо определено, поскольку существует стандартная идентификация , которая является ориентированным расслоением, поэтому применяется изоморфизм Тома. ${\displaystyle \nu M\equiv TM}$

В совокупности это дает отображение , которое является произведением пересечения , обобщающим произведение пересечения, обсуждавшееся выше. Аналогичное рассуждение с теоремой Кюннета дает форму торсионного связывания . ${\displaystyle H_{i}M\otimes H_{j}M\to H_{i+j-n}M}$

Эта формулировка двойственности Пуанкаре стала популярной ^[3] , поскольку она определяет двойственность Пуанкаре для любой обобщенной теории гомологии , заданной теоремой Кюннета и изоморфизмом Тома для этой теории гомологии. Теорема об изоморфизме Тома для теории гомологии теперь рассматривается как обобщенное понятие ориентируемости для этой теории. Например, спиновая ^C -структура на многообразии является точным аналогом ориентации в комплексной топологической k-теории .

Обобщения и связанные с ними результаты

Теорема двойственности Пуанкаре –Лефшеца является обобщением для многообразий с краем. В неориентируемом случае, принимая во внимание пучок локальных ориентаций, можно дать утверждение, не зависящее от ориентируемости: см. скрученная двойственность Пуанкаре .

Двойственность Бланчфилда — это версия двойственности Пуанкаре, которая обеспечивает изоморфизм между гомологиями абелева накрывающего пространства многообразия и соответствующими когомологиями с компактными носителями. Она используется для получения основных структурных результатов о модуле Александера и может быть использована для определения сигнатур узла .

С развитием теории гомологии , включающей К-теорию и другие необычные теории примерно с 1955 года, стало понятно, что гомологии могут быть заменены другими теориями, как только будут построены произведения на многообразиях; и теперь существуют учебники по их изучению в общем виде. Более конкретно, существует общая теорема двойственности Пуанкаре для обобщенной теории гомологии , которая требует понятия ориентации относительно теории гомологии и формулируется в терминах обобщенной теоремы об изоморфизме Тома . Теорема об изоморфизме Тома в этом отношении может рассматриваться как зародышевая идея двойственности Пуанкаре для обобщенных теорий гомологии. ${\displaystyle H'_{*}}$

Двойственность Вердье является подходящим обобщением для (возможно, сингулярных ) геометрических объектов, таких как аналитические пространства или схемы , в то время как гомология пересечений была разработана Робертом Макферсоном и Марком Горески для стратифицированных пространств , таких как действительные или комплексные алгебраические многообразия, именно для того, чтобы обобщить двойственность Пуанкаре на такие стратифицированные пространства.

В алгебраической топологии существует множество других форм геометрической двойственности , включая двойственность Лефшеца , двойственность Александера , двойственность Ходжа и S-двойственность .

Более алгебраически, можно абстрагировать понятие комплекса Пуанкаре , который является алгебраическим объектом, который ведет себя как сингулярный цепной комплекс многообразия, в частности, удовлетворяя двойственности Пуанкаре на своих группах гомологии, относительно выделенного элемента (соответствующего фундаментальному классу). Они используются в теории хирургии для алгебраизации вопросов о многообразиях. Пространство Пуанкаре — это такое пространство, сингулярный цепной комплекс которого является комплексом Пуанкаре. Это не все многообразия, но их неспособность быть многообразиями может быть измерена теорией препятствий .

Смотрите также

• разложение Брюа
• Фундаментальный класс
• Группа Вейля

Ссылки

1. Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология (1-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 9780521795401. МР  1867354.
2. Przytycki, Józef H. ; Yasuhara, Akira (2003), «Симметрия связей и классификация линзовых пространств», Geometriae Dedicata , 98 (1): 57–61, doi :10.1023/A:1024008222682, MR  1988423, S2CID  14601373
3. Рудяк, Юлий (1998). О спектрах Тома, ориентируемости и кобордизмах . Springer Monographs in Mathematics. С предисловием Хейнса Миллера . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-62043-5. МР  1627486.

Дальнейшее чтение

• Бланчфилд, Ричард К. (1957), «Теория пересечений многообразий с операторами и ее приложения к теории узлов», Annals of Mathematics , 65 (2): 340–356, doi :10.2307/1969966, JSTOR  1969966, MR  0085512
• Гриффитс, Филлип ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классики Wiley, Нью-Йорк: Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9, г-н  1288523

Внешние ссылки

• Форма пересечения в Атласе Манифолда
• Форма ссылки в Manifold Atlas