Дуга окружности

Часть окружности между двумя точками

Зелёным цветом закрашен круговой сектор . Его криволинейная граница длиной L представляет собой дугу окружности.

Дуга окружности — это дуга окружности между парой различных точек . Если две точки не находятся прямо напротив друг друга, одна из этих дуг, малая дуга , стягивает угол в центре окружности, который меньше π радиан (180 градусов ); а другая дуга, большая дуга , стягивает угол , больший π радиан. Дуга окружности определяется как часть или сегмент окружности окружности . Прямая линия, соединяющая два конца дуги, называется хордой окружности . Если длина дуги составляет ровно половину окружности, она называется полукруглой дугой .

Длина

Длина (точнее, длина дуги ) дуги окружности с радиусом r , образующей с центром окружности угол θ (измеряемый в радианах), т. е. центральный угол , равна

${\displaystyle L=\theta r.}$

Это потому что

${\displaystyle {\frac {L}{\mathrm {circumference} }}={\frac {\theta }{2\pi }}.}$

Подставляя в окружность

${\displaystyle {\frac {L}{2\pi r}}={\frac {\theta }{2\pi }},}$

и, поскольку α — тот же угол, измеренный в градусах, поскольку θ  =  ⁠α/180⁠ π , длина дуги равна

${\displaystyle L={\frac {\alpha \pi r}{180}}.}$

Практический способ определения длины дуги в окружности — провести две линии от конечных точек дуги до центра окружности, измерить угол, под которым эти две линии пересекаются с центром, а затем найти L, перемножив выражение:

мера угла в градусах/360° = L /окружность.

Например, если величина угла составляет 60 градусов, а длина окружности — 24 дюйма, то

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {60}{360}}&={\frac {L}{24}}\\[6pt]360L&=1440\\[6pt]L&=4.\end{aligned}}}$

Это так, потому что длина окружности и градусы окружности, которых всегда 360, прямо пропорциональны.

Верхнюю половину круга можно параметризовать как

${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.}$

Тогда длина дуги от до равна ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle x=b}$

${\displaystyle L=r{\Big [}\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right){\Big ]}_{a}^{b}.}$

Секторная площадь

Площадь сектора, образованного дугой и центром круга (ограниченного дугой и двумя радиусами, проведенными к ее концам), равна

${\displaystyle A={\frac {r^{2}\theta }{2}}.}$

Площадь A имеет такую ​​же пропорцию к площади круга , как угол θ к полной окружности:

${\displaystyle {\frac {A}{\pi r^{2}}}={\frac {\theta }{2\pi }}.}$

Мы можем сократить π с обеих сторон:

${\displaystyle {\frac {A}{r^{2}}}={\frac {\theta }{2}}.}$

Умножив обе части на r ² , получаем окончательный результат:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .}$

Используя преобразование, описанное выше, находим, что площадь сектора для центрального угла, измеренного в градусах, равна

${\displaystyle A={\frac {\alpha }{360}}\pi r^{2}.}$

Сегментная область

Площадь фигуры, ограниченной дугой и прямой линией между двумя ее конечными точками, равна

${\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}(\theta -\sin \theta ).}$

Чтобы получить площадь сегмента дуги , нам нужно вычесть площадь треугольника, определяемую центром окружности и двумя конечными точками дуги, из площади . Подробности см. в разделе Круговой сегмент . ${\displaystyle A}$

Радиус

Произведение отрезков AP и PB равно произведению отрезков CP и PD. Если дуга имеет ширину AB и высоту CP, то диаметр окружности ${\displaystyle CD={\frac {AP\cdot PB}{CP}}+CP}$

Используя теорему о пересекающихся хордах (также известную как теорема о степени точки или теорема о секущей касательной), можно вычислить радиус r окружности, зная высоту H и ширину W дуги:

Рассмотрим хорду с теми же концами, что и у дуги. Ее перпендикулярная середина — это другая хорда, которая является диаметром окружности. Длина первой хорды равна W , и она делится биссектрисой на две равные половины, каждая длиной ⁠Вт/2⁠ . Общая длина диаметра равна 2 r , и она делится на две части первой хордой. Длина одной части — это стрела дуги H , а другая часть — остаток диаметра длиной 2 r  −  H . Применение теоремы о пересекающихся хордах к этим двум хордам дает

${\displaystyle H(2r-H)=\left({\frac {W}{2}}\right)^{2},}$

откуда

${\displaystyle 2r-H={\frac {W^{2}}{4H}},}$

так

${\displaystyle r={\frac {W^{2}}{8H}}+{\frac {H}{2}}.}$

Названия «дуга», «хорда» и «стрела» происходят от латинских слов, обозначающих лук, тетиву и стрелу .

Смотрите также

• Биарк
• Круг сферы
• Граф дуги окружности
• Круговая интерполяция
• Лимон (геометрия)
• Дуга меридиана
• Окружность
• Круговое движение
• Тангенциальная скорость

Внешние ссылки

• Содержание страниц Math Open Reference Circle
• Математика Открыть справочную страницу по дугам окружности С интерактивной анимацией
• Математика Открыть справочную страницу по Радиус дуги окружности или сегмента С интерактивной анимацией
• Вайсштейн, Эрик В. "Дуга". MathWorld .