В геометрии 4 измерений или выше двойная пирамида , дуопирамида или фузил — это многогранник, построенный двумя ортогональными многогранниками с рёбрами , соединяющими все пары вершин между ними. Термин фузил используется Норманом Джонсоном для обозначения ромбической формы. [1] Термин дуопирамида использовался Джорджем Ольшевским для обозначения двойственной формы дуопризмы . [2]
Формы наименьшей размерности являются 4-мерными и соединяют два многоугольника. Дуопирамида p - q или фузил p - q , представленная составным символом Шлефли {p} + {q}, и диаграмма Коксетера-Дынкина 
. Обычную 16-ячеечную пирамиду можно рассматривать как 4-4 дуопирамиду или 4-4 фузил,
, симметрия [[4,2,4]], порядок 128.
Дуопирамида pq или фузил pq имеет симметрию группы Коксетера [ p ,2, q ], порядок 4pq. Когда p и q идентичны, симметрия в нотации Коксетера удваивается как [[ p ,2, p ]] или [2 p ,2 + ,2 q ], порядок 8 p 2 .
Ребра существуют на всех парах вершин между p -угольником и q -угольником. 1-скелет p - q дуопирамиды представляет ребра каждого p и q полигона и pq полного двудольного графа между ними.
Дуопирамиду p - q можно рассматривать как два правильных плоских многоугольника с p и q сторонами с одним и тем же центром и ортогональными ориентациями в 4 измерениях. Наряду с p и q ребрами двух многоугольников, все перестановки вершин в одном многоугольнике в вершины в другом образуют ребра. Все грани треугольные, с одним ребром одного многоугольника, соединенным с одной вершиной другого многоугольника. Многоугольники со сторонами p и q являются полыми , проходящими через центр многогранника и не определяющими грани. Ячейки представляют собой тетраэдры, построенные как все перестановки пар ребер между каждым многоугольником.
Это можно понять по аналогии с отношением 3D- призм и их двойных бипирамид с символом Шлефли { } + { p }, и ромба в 2D как { } + { }. Бипирамиду можно рассматривать как 3D-вырожденную дуопирамиду, добавляя ребро поперек двуугольника { } на внутренней оси и добавляя пересекающиеся внутренние треугольники и тетраэдры, соединяющие это новое ребро с вершинами и ребрами p-угольника.
Другие неоднородные полихоры можно назвать дуопирамидами по той же конструкции, как два ортогональных и соцентрированных многоугольника, соединенных ребрами со всеми комбинациями пар вершин между многоугольниками. Симметрия будет произведением симметрии двух многоугольников. Так что дуопирамида прямоугольник-прямоугольник будет топологически идентична однородной дуопирамиде 4-4 , но с более низкой симметрией [2,2,2], порядка 16, возможно, удвоенной до 32, если два прямоугольника идентичны.
Координаты pq дуопирамиды (на единичной 3-сфере ) можно задать как:
Все пары вершин соединены ребрами.
2n вершин nn дуопирамиды можно ортогонально спроецировать на два правильных n-угольника с ребрами между всеми вершинами каждого n-угольника.
Правильную 16-ячеечную пирамиду можно рассматривать как дуопирамиду 4-4 , которая является дуальной дуопризме 4-4 , которая является тессерактом . Как дуопирамида 4-4, симметрия 16-ячеечной пирамиды равна [4,2,4], порядок 64, и удваивается до [[4,2,4]], порядок 128 с двумя взаимозаменяемыми центральными квадратами. Правильная 16-ячеечная пирамида имеет более высокую симметрию [3,3,4], порядок 384.
