В математике здание (также здание Титса , названное в честь Жака Титса ) — это комбинаторная и геометрическая структура, которая одновременно обобщает некоторые аспекты многообразий флагов , конечных проективных плоскостей и римановых симметрических пространств . Первоначально здания были введены Жаком Титсом как средство понимания структуры изотропных редуктивных линейных алгебраических групп над произвольными полями. Более специализированная теория зданий Брюа–Титса (названная также в честь Франсуа Брюа ) играет роль в изучении p -адических групп Ли, аналогичную теории симметрических пространств в теории групп Ли .
Понятие здания было изобретено Жаком Титсом как средство описания простых алгебраических групп над произвольным полем . Титс продемонстрировал, как каждой такой группе G можно связать симплициальный комплекс Δ = Δ( G ) с действием G , называемым сферическим зданием G . Группа G накладывает очень сильные условия комбинаторной регулярности на комплексы Δ , которые могут возникать таким образом. Рассматривая эти условия как аксиомы для класса симплициальных комплексов, Титс пришел к своему первому определению здания. Частью данных, определяющих здание Δ , является группа Коксетера W , которая определяет высокосимметричный симплициальный комплекс Σ = Σ( W , S ) , называемый комплексом Коксетера . Здание Δ склеено из нескольких копий Σ , называемых его квартирами , определенным регулярным образом. Когда W — конечная группа Коксетера, комплекс Коксетера является топологической сферой, и соответствующие здания называются сферическими . Когда W — аффинная группа Вейля , комплекс Коксетера является подразделением аффинной плоскости, и говорят об аффинных , или евклидовых , зданиях. Аффинное здание типа Ã 1 — это то же самое, что и бесконечное дерево без конечных вершин.
Хотя теория полупростых алгебраических групп дала первоначальную мотивацию для понятия здания, не все здания возникают из группы. В частности, проективные плоскости и обобщенные четырехугольники образуют два класса графов, изучаемых в геометрии инцидентности , которые удовлетворяют аксиомам здания, но могут не быть связаны ни с одной группой. Это явление оказывается связанным с низким рангом соответствующей системы Коксетера (а именно, два). Титс доказал замечательную теорему: все сферические здания ранга не менее трех связаны с группой; более того, если здание ранга не менее двух связано с группой, то группа по существу определяется зданием (Tits 1974).
Ивахори–Мацумото, Борель–Титс и Брюа–Титс продемонстрировали, что по аналогии с конструкцией Титсом сферических зданий, аффинные здания также могут быть построены из определенных групп, а именно, редуктивных алгебраических групп над локальным неархимедовым полем . Более того, если ранг расщепления группы равен по крайней мере трем, он по существу определяется ее зданием. Позднее Титс переработал основополагающие аспекты теории зданий, используя понятие камерной системы , кодируя здание исключительно в терминах свойств смежности симплексов максимальной размерности; это приводит к упрощениям как в сферическом, так и в аффинном случаях. Он доказал, что по аналогии со сферическим случаем каждое здание аффинного типа и ранга по крайней мере четыре возникает из группы.
N - мерное здание X представляет собой абстрактный симплициальный комплекс , представляющий собой объединение подкомплексов A, называемых квартирами, таких, что
Симплекс n-го порядка в A называется камерой (первоначально chambre , т.е. комната по- французски ).
Ранг здания определяется как n + 1 .
Каждая квартира A в здании является комплексом Коксетера . Фактически, для каждых двух n -симплексов, пересекающихся в ( n – 1) -симплексе или панели , существует уникальный симплициальный автоморфизм периода два для A , называемый отражением , переносящий один n -симплекс на другой и фиксирующий их общие точки. Эти отражения порождают группу Коксетера W , называемую группой Вейля для A , а симплициальный комплекс A соответствует стандартной геометрической реализации W. Стандартные генераторы группы Коксетера задаются отражениями в стенах фиксированной камеры в A. Поскольку квартира A определяется с точностью до изоморфизма зданием, то же самое верно для любых двух симплексов в X, лежащих в некоторой общей квартире A. Когда W конечно, здание называется сферическим . Когда это аффинная группа Вейля , здание называется аффинным или евклидовым .
Система камер представляет собой граф смежности, образованный камерами; каждая пара соседних камер может быть дополнительно помечена одним из стандартных генераторов группы Коксетера (см. Титс 1981).
Каждое здание имеет каноническую метрику длины , унаследованную от геометрической реализации, полученной путем отождествления вершин с ортонормированным базисом гильбертова пространства . Для аффинных зданий эта метрика удовлетворяет неравенству сравнения CAT(0) Александрова , известному в этой установке как условие неположительной кривизны Брюа–Титса для геодезических треугольников: расстояние от вершины до середины противоположной стороны не больше расстояния в соответствующем евклидовом треугольнике с теми же длинами сторон (см. Брюа и Титс 1972).
Если группа G действует симплициально на здании X , транзитивно на парах ( C , A ) комнат C и квартир A , содержащих их, то стабилизаторы такой пары определяют пару ( B , N ) или систему Титса . Фактически пара подгрупп
удовлетворяет аксиомам пары ( B , N ) , а группа Вейля может быть отождествлена с N / N ∩ B.
Наоборот, здание может быть восстановлено из пары ( B , N ) , так что каждая пара ( B , N ) канонически определяет здание. Фактически, используя терминологию пар ( B , N ) и называя любое сопряжение B подгруппой Бореля , а любую группу, содержащую подгруппу Бореля, параболической подгруппой,
Одно и то же здание часто может быть описано разными парами ( B , N ) . Более того, не каждое здание происходит из пары ( B , N ) : это соответствует неудаче результатов классификации в низком ранге и размерности (см. ниже).
Теорема Соломона-Титса — это результат, утверждающий, что гомотопический тип построения группы лиева типа совпадает с гомотопическим типом букета сфер .
Симплициальную структуру аффинных и сферических зданий, связанных с SL n ( Q p ) , а также их взаимосвязи легко объяснить напрямую, используя только понятия из элементарной алгебры и геометрии (см. Garrett 1997). В этом случае есть три различных здания, два сферических и одно аффинное. Каждое из них является объединением апартаментов , которые сами по себе являются симплициальными комплексами. Для аффинного здания апартаменты являются симплициальным комплексом, замощающим евклидово пространство En −1 ( n − 1) -мерными симплексами; в то время как для сферического здания это конечный симплициальный комплекс, образованный всеми ( n − 1)! симплексами с заданной общей вершиной в аналогичной замощении в En −2 .
Каждое здание представляет собой симплициальный комплекс X , который должен удовлетворять следующим аксиомам:
Пусть F — поле , а X — симплициальный комплекс с вершинами — нетривиальными векторными подпространствами V = F n . Два подпространства U 1 и U 2 связаны, если одно из них является подмножеством другого. K -симплексы X образованы наборами из k + 1 взаимно связанных подпространств. Максимальная связность получается путем взятия n − 1 собственных нетривиальных подпространств, а соответствующий ( n − 1) -симплекс соответствует полному флагу
Симплексы меньшей размерности соответствуют частичным флагам с меньшим количеством промежуточных подпространств U i .
Чтобы определить апартаменты в X , удобно определить фрейм в V как базис ( v i ), определенный с точностью до скалярного умножения каждого из его векторов v i ; другими словами, фрейм - это набор одномерных подпространств L i = F · v i , такой, что любые k из них порождают k -мерное подпространство. Теперь упорядоченный фрейм L 1 , ..., L n определяет полный флаг с помощью
Поскольку переупорядочения различных L i также дают фрейм, легко увидеть, что подпространства, полученные как суммы L i , образуют симплициальный комплекс типа, требуемого для квартиры сферического здания. Аксиомы для здания можно легко проверить с помощью классического аргумента уточнения Шрайера, использованного для доказательства единственности разложения Жордана–Гёльдера .
Пусть K — поле, лежащее между Q и его p -адическим пополнением Q p относительно обычной неархимедовой p -адической нормы ‖ x ‖ p на Q для некоторого простого p . Пусть R — подкольцо K , определяемое соотношением
Когда K = Q , R является локализацией Z в точке p , а когда K = Q p , R = Z p , то это p -адические целые числа , т.е. замыкание Z в Q p .
Вершинами здания X являются R -решетки в V = K n , т.е. R - подмодули вида
где ( v i ) — базис V над K . Две решетки называются эквивалентными , если одна из них является скалярным кратным другой на элемент мультипликативной группы K * из K (фактически необходимо использовать только целые степени p ). Две решетки L 1 и L 2 называются смежными , если некоторая решетка, эквивалентная L 2, лежит между L 1 и ее подрешеткой p · L 1 : это отношение симметрично. k -симплексы X являются классами эквивалентности k + 1 взаимно смежных решеток, ( n − 1) -симплексы соответствуют, после переименования, цепям
где каждое последующее частное имеет порядок p . Квартиры определяются путем фиксации базиса ( v i ) V и взятия всех решеток с базисом ( p a i v i ) , где ( a i ) лежит в Z n и определяется однозначно с точностью до добавления одного и того же целого числа к каждому элементу.
По определению каждая квартира имеет требуемую форму, а их объединение — это все X. Вторая аксиома следует из варианта аргумента уточнения Шрайера. Последняя аксиома следует из простого аргумента подсчета, основанного на порядках конечных абелевых групп вида
Стандартный аргумент компактности показывает, что X на самом деле не зависит от выбора K. В частности, если взять K = Q , то X счетно. С другой стороны, если взять K = Q p , то определение показывает, что GL n ( Q p ) допускает естественное симплициальное действие на здании.
Здание снабжено маркировкой своих вершин со значениями в Z / n Z. Действительно, фиксируя опорную решетку L , маркировка M задается как
для достаточно большого k . Вершины любого ( n – 1) -симплекса в X имеют различные метки, проходящие через все Z / n Z . Любой симплициальный автоморфизм φ из X определяет перестановку π из Z / n Z такую, что label( φ ( M )) = π (label( M )) . В частности, для g в GL n ( Q p ) ,
Таким образом, g сохраняет метки, если g лежит в SL n ( Q p ) .
Титс доказал, что любой сохраняющий метки автоморфизм аффинного построения возникает из элемента SL n ( Q p ) . Поскольку автоморфизмы построения переставляют метки, существует естественный гомоморфизм
Действие GL n ( Q p ) порождает n -цикл τ . Другие автоморфизмы построения возникают из внешних автоморфизмов SL n ( Q p ), связанных с автоморфизмами диаграммы Дынкина . Принимая стандартную симметричную билинейную форму с ортонормированным базисом v i , отображение, отправляющее решетку в ее двойственную решетку, дает автоморфизм, квадрат которого является тождеством, задавая перестановку σ , которая отправляет каждую метку в ее отрицательный модуль n . Образ вышеуказанного гомоморфизма порождается σ и τ и изоморфен диэдральной группе D n порядка 2 n ; когда n = 3 , он дает всю S 3 .
Если E является конечным расширением Галуа Q p и здание построено из SL n ( E ) вместо SL n ( Q p ) , группа Галуа Gal( E / Q p ) также будет действовать посредством автоморфизмов на здании.
Сферические здания возникают двумя совершенно разными способами в связи с аффинным зданием X для SL n ( Q p ) :
Когда L является архимедовым локальным полем, то на построение для группы SL 2 ( L ) может быть наложена дополнительная структура построения с комплексным умножением. Они были впервые введены Мартином Л. Брауном (Brown 2004). Эти построения возникают, когда квадратичное расширение L действует на векторное пространство L 2 . Эти построения с комплексным умножением могут быть расширены на любое глобальное поле. Они описывают действие операторов Гекке на точки Хегнера на классической модулярной кривой X 0 ( N ), а также на модулярной кривой Дринфельда XПить
0( I ) . Эти здания с комплексным умножением полностью классифицированы для случая SL 2 ( L ) в Brown 2004.
Титс доказал, что все неприводимые сферические здания (т.е. с конечной группой Вейля ) ранга больше 2 связаны с простыми алгебраическими или классическими группами.
Аналогичный результат справедлив для неприводимых аффинных зданий размерности больше 2 (их здания «на бесконечности» являются сферическими ранга больше двух). В более низком ранге или размерности такой классификации нет. Действительно, каждая структура инцидентности дает сферическое здание ранга 2 (см. Pott 1995); и Баллманн и Брин доказали, что каждый 2-мерный симплициальный комплекс, в котором связи вершин изоморфны флаговому комплексу конечной проективной плоскости, имеет структуру здания, не обязательно классическую. Многие 2-мерные аффинные здания были построены с использованием гиперболических групп отражений или других более экзотических конструкций, связанных с орбифолдами .
Титс также доказал, что каждый раз, когда здание описывается парой ( B , N ) в группе, то почти во всех случаях автоморфизмы здания соответствуют автоморфизмам группы (см. Титс 1974).
Теория зданий имеет важные приложения в нескольких довольно разрозненных областях. Помимо уже упомянутых связей со структурой редуктивных алгебраических групп над общими и локальными полями, здания используются для изучения их представлений . Результаты Титса об определении группы ее зданием имеют глубокие связи с теоремами о жесткости Джорджа Мостова и Григория Маргулиса , а также с арифметикой Маргулиса.
Специальные типы зданий изучаются в дискретной математике, и идея геометрического подхода к характеристике простых групп оказалась весьма плодотворной в классификации конечных простых групп . Теория зданий типа более общего, чем сферический или аффинный, все еще относительно не развита, но эти обобщенные здания уже нашли применение в построении групп Каца–Муди в алгебре, а также в неположительно искривленных многообразиях и гиперболических группах в топологии и геометрической теории групп .