Тавтологическая одноформа

В математике тавтологическая одноформа — это специальная 1-форма , определенная на кокасательном расслоении многообразия . В физике она используется для создания соответствия между скоростью точки в механической системе и ее импульсом, обеспечивая таким образом мост. между механикой Лагранжа и механикой Гамильтона (на многообразии ). ${\displaystyle T^{*}Q}$ ${\displaystyle Q.}$ ${\displaystyle Q}$

Внешняя производная этой формы определяет симплектическую форму , задающую структуру симплектического многообразия . Тавтологическая одноформа играет важную роль в связи формализма гамильтоновой механики и лагранжевой механики . Тавтологическую одну форму иногда также называют одной формой Лиувилля , одной формой Пуанкаре , канонической одной формой или симплектическим потенциалом . Аналогичным объектом является каноническое векторное поле на касательном расслоении . ${\displaystyle T^{*}Q}$

Чтобы определить тавтологическую единую форму, выберите координатную карту и каноническую систему координат . Выберите произвольную точку. По определению кокасательного расслоения, где и Тавтологическая единая форма задается формулой ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle m\in T^{*}Q.}$ ${\displaystyle m=(q,p),}$ ${\displaystyle q\in Q}$ ${\displaystyle p\in T_{q}^{*}Q.}$ ${\displaystyle \theta _{m}:T_{m}T^{*}Q\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \theta _{m}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}dq^{i},}$$

${\displaystyle n=\mathop {\text{dim}} Q}$ ${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p.}$

Любые координаты , сохраняющие это определение, вплоть до полного дифференциала ( точной формы ), могут быть названы каноническими координатами; преобразования между различными каноническими системами координат известны как канонические преобразования . ${\displaystyle T^{*}Q}$

Каноническая симплектическая форма , также известная как двуформа Пуанкаре , определяется выражением

$${\displaystyle \omega =-d\theta =\sum _{i}dq^{i}\wedge dp_{i}}$$

Распространение этой концепции на общие пучки волокон известно как форма припоя . По соглашению, фраза «каноническая форма» используется всякий раз, когда форма имеет уникальное каноническое определение, и термин «форма припоя», когда необходимо сделать произвольный выбор. В алгебраической геометрии и комплексной геометрии термин «канонический» не рекомендуется из-за путаницы с каноническим классом , а термин «тавтологический» предпочтителен, как и в тавтологическом расслоении .

Бескоординатное определение

Тавтологическую 1-форму также можно довольно абстрактно определить как форму в фазовом пространстве . Пусть – многообразие, а – кокасательное расслоение или фазовое пространство . Позволять ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle M=T^{*}Q}$

$${\displaystyle \pi :M\to Q}$$

$${\displaystyle \mathrm {d} \pi :TM\to TQ}$$

индуцированным касательным отображением ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q=\pi (m)}$

$${\displaystyle m:T_{q}Q\to \mathbb {R} .}$$

То есть мы имеем то, что находится в слое. Тогда тавтологическая форма в точке определяется как ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle \theta _{m}}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \theta _{m}=m\circ \mathrm {d} _{m}\pi .}$$

Это линейная карта

$${\displaystyle \theta _{m}:T_{m}M\to \mathbb {R} }$$

$${\displaystyle \theta :M\to T^{*}M.}$$

Симплектический потенциал

Симплектический потенциал обычно определяется несколько более свободно, а также определяется только локально: это любая одна форма такая, что ; по сути, симплектические потенциалы отличаются от канонической 1-формы замкнутой формой . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \omega =-d\phi }$

Характеристики

Тавтологическая форма — это единственная форма, которая «отменяет» откат . То есть пусть 1-форма на является сечением. Для произвольной 1 -формы на обратном пути по есть , по определению . форма со свойством, что для каждой 1-формы на ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle Q.}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta :Q\to T^{*}Q.}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle T^{*}Q,}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta ^{*}\sigma :=\sigma \circ \beta _{*}.}$ ${\displaystyle \beta _{*}:TQ\to TT^{*}Q}$ ${\displaystyle \beta .}$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \beta ^{*}\sigma }$ ${\displaystyle Q.}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \beta ^{*}\theta =\beta ,}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle Q.}$

Итак, путем коммутации между обратным образцом и внешней производной,

$${\displaystyle \beta ^{*}\omega =-\beta ^{*}d\theta =-d(\beta ^{*}\theta )=-d\beta .}$$

Действие

Если – гамильтониан на кокасательном расслоении и – его гамильтоново векторное поле , то соответствующее действие задается формулой ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle S=\theta (X_{H}).}$$

Говоря более прозаически, гамильтонов поток представляет собой классическую траекторию механической системы, подчиняющуюся уравнениям движения Гамильтона-Якоби . Гамильтонов поток является интегралом векторного поля Гамильтона, поэтому, используя традиционные обозначения для переменных действия-угла, можно записать :

$${\displaystyle S(E)=\sum _{i}\oint p_{i}\,dq^{i}}$$

${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H=E={\text{const}}.}$

О римановых и псевдоримановых многообразиях

Если многообразие имеет риманову или псевдориманову метрику , то соответствующие определения можно дать в терминах обобщенных координат . В частности, если мы возьмем метрику в качестве отображения ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle g,}$

$${\displaystyle g:TQ\to T^{*}Q,}$$

$${\displaystyle \Theta =g^{*}\theta }$$

$${\displaystyle \Omega =-d\Theta =g^{*}\omega }$$

В обобщенных координатах на одном имеет ${\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n},{\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})}$ ${\displaystyle TQ,}$

$${\displaystyle \Theta =\sum _{ij}g_{ij}{\dot {q}}^{i}dq^{j}}$$

$${\displaystyle \Omega =\sum _{ij}g_{ij}\;dq^{i}\wedge d{\dot {q}}^{j}+\sum _{ijk}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{k}}}\;{\dot {q}}^{i}\,dq^{j}\wedge dq^{k}}$$

Метрика позволяет определить сферу единичного радиуса в. Каноническая одна форма, ограниченная этой сферой, образует контактную структуру ; контактная структура может использоваться для создания геодезического потока для этой метрики. ${\displaystyle T^{*}Q.}$

Рекомендации

• Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондонский ISBN  0-8053-0102-X См. раздел 3.2 .