принцип Архимеда

Принцип плавучести в гидродинамике

Принцип Архимеда (также называемый принципом Архимеда ) гласит, что направленная вверх выталкивающая сила , действующая на тело, погруженное в жидкость , полностью или частично, равна весу жидкости , которую вытесняет тело . ^[1] Принцип Архимеда — это закон физики, лежащий в основе механики жидкости . Он был сформулирован Архимедом из Сиракуз . ^[2]

Объяснение

В своей работе «О плавающих телах » Архимед предположил (около 246 г. до н. э.):

Любой объект, полностью или частично погруженный в жидкость, удерживается на поверхности силой, равной весу жидкости, вытесненной объектом.

Принцип Архимеда позволяет рассчитать плавучесть любого плавающего объекта, частично или полностью погруженного в жидкость. Сила, направленная вниз на объект, — это просто его вес. Восходящая или выталкивающая сила, действующая на объект, — это сила, указанная в принципе Архимеда выше. Таким образом, результирующая сила, действующая на объект, — это разница между величинами выталкивающей силы и его веса. Если эта результирующая сила положительна, объект поднимается; если отрицательна, объект тонет; а если равна нулю, объект нейтрально плавучий, то есть он остается на месте, не поднимаясь и не тонув. Проще говоря, принцип Архимеда гласит, что когда тело частично или полностью погружено в жидкость, оно испытывает кажущуюся потерю веса, которая равна весу жидкости, вытесненной погруженной частью тела(тел).

Формула

Вес плавающего объекта F _p и его плавучесть F _a ( в тексте F _{b ) должны быть равны по величине.}

Рассмотрим кубоид, погруженный в жидкость, его верхняя и нижняя грани ортогональны направлению силы тяжести (предполагаемой постоянной по всей длине куба). Жидкость будет оказывать нормальную силу на каждую грань, но только нормальные силы сверху и снизу будут способствовать плавучести. Разница давления между нижней и верхней гранью прямо пропорциональна высоте (разнице глубины погружения). Умножение разницы давления на площадь грани дает чистую силу на кубоид ⁠ ⁠— плавучесть ⁠ ⁠— равную по размеру весу жидкости, вытесненной кубоидом. Суммируя достаточно много произвольно малых кубоидов, это рассуждение можно распространить на неправильные формы, и поэтому, какова бы ни была форма погруженного тела, выталкивающая сила равна весу вытесненной жидкости.

${\displaystyle {\text{ weight of displaced fluid}}={\text{weight of object in vacuum}}-{\text{weight of object in fluid}}\,}$

Вес вытесненной жидкости прямо пропорционален объему вытесненной жидкости (если окружающая жидкость имеет однородную плотность). Вес объекта в жидкости уменьшается из-за силы, действующей на него, которая называется выталкивающей силой. Проще говоря, принцип гласит, что выталкивающая сила (F b ₎ , действующая на объект, равна весу вытесненной объектом жидкости, или плотности ( ρ ) жидкости, умноженной на погруженный объем (V), умноженной на силу тяжести (g) ^{[1] [3]}

Мы можем выразить это соотношение в уравнении:

${\displaystyle F_{a}=\rho gV}$

где обозначает выталкивающую силу, приложенную к погруженному объекту, обозначает плотность жидкости, представляет собой объем вытесненной жидкости, а — ускорение силы тяжести . Таким образом, среди полностью погруженных объектов с равными массами объекты с большим объемом имеют большую плавучесть. ${\displaystyle F_{a}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g}$

Предположим, что вес камня составляет 10 ньютонов , когда он подвешен на веревке в вакууме с действующей на него гравитацией. Предположим, что когда камень опускается в воду, он вытесняет воду весом 3 ньютона. Сила, которую он затем оказывает на веревку, на которой он висит, будет составлять 10 ньютонов минус 3 ньютона выталкивающей силы: 10 − 3 = 7 ньютонов. Выталкивающая сила уменьшает кажущийся вес объектов, которые полностью затонули на морском дне. Обычно легче поднять объект через воду, чем вытащить его из воды.

Для полностью погруженного объекта закон Архимеда можно переформулировать следующим образом:

${\displaystyle {\text{apparent immersed weight}}={\text{weight of object}}-{\text{weight of displaced fluid}}\,}$

затем вставляется в частное весов, которое было расширено на взаимный объем

${\displaystyle {\frac {\text{density of object}}{\text{density of fluid}}}={\frac {\text{weight}}{\text{weight of displaced fluid}}}}$

дает формулу ниже. Плотность погруженного объекта относительно плотности жидкости можно легко рассчитать без измерения объема

${\displaystyle {\frac {\text{density of object}}{\text{density of fluid}}}={\frac {\text{weight}}{{\text{weight}}-{\text{apparent immersed weight}}}}.\,}$

(Эта формула используется, например, при описании принципа измерения дазиметра и гидростатического взвешивания .)

Пример: если бросить дерево в воду, плавучесть удержит его на плаву.

Пример: гелиевый шарик в движущейся машине. При увеличении скорости или движении по кривой воздух движется в направлении, противоположном ускорению автомобиля. Однако из-за плавучести шарик «выталкивается» воздухом и будет дрейфовать в том же направлении, что и ускорение автомобиля.

Когда объект погружен в жидкость, жидкость оказывает направленную вверх силу, которая известна как выталкивающая сила, которая пропорциональна весу вытесненной жидкости. Таким образом, сумма сил, действующих на объект, равна разнице между весом объекта (сила «вниз») и весом вытесненной жидкости (сила «вверх»). Равновесие, или нейтральная выталкивающая сила, достигается, когда эти два веса (и, следовательно, силы) равны.

Силы и равновесие

Уравнение для расчета давления внутри жидкости, находящейся в равновесии, имеет вид:

${\displaystyle \mathbf {f} +\operatorname {div} \,\sigma =0}$

где f — плотность силы, действующей со стороны внешнего поля на жидкость, а σ — тензор напряжений Коши . В этом случае тензор напряжений пропорционален тензору тождественности:

${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}.\,}$

Здесь δ _ij — дельта Кронекера . Используя это, приведенное выше уравнение становится:

${\displaystyle \mathbf {f} =\nabla p.\,}$

Предполагая, что внешнее силовое поле является консервативным, то есть его можно записать как отрицательный градиент некоторой скалярной функции:

${\displaystyle \mathbf {f} =-\nabla \Phi .\,}$

Затем:

${\displaystyle \nabla (p+\Phi )=0\Longrightarrow p+\Phi ={\text{constant}}.\,}$

Следовательно, форма открытой поверхности жидкости равна эквипотенциальной плоскости приложенного внешнего консервативного силового поля. Пусть ось z направлена ​​вниз. В этом случае полем является гравитация, поэтому Φ = − ρ _f gz , где g — ускорение свободного падения, ρ _f — плотность массы жидкости. Принимая давление за ноль на поверхности, где z равно нулю, константа будет равна нулю, поэтому давление внутри жидкости, когда она подвержена гравитации, равно

${\displaystyle p=\rho _{f}gz.\,}$

Итак, давление увеличивается с глубиной под поверхностью жидкости, поскольку z обозначает расстояние от поверхности жидкости до нее. Любой объект с ненулевой вертикальной глубиной будет иметь разное давление сверху и снизу, причем давление снизу будет больше. Эта разница в давлении вызывает силу плавучести, направленную вверх.

Силу плавучести, действующую на тело, теперь можно легко рассчитать, поскольку внутреннее давление жидкости известно. Силу, действующую на тело, можно рассчитать, проинтегрировав тензор напряжений по поверхности тела, которая находится в контакте с жидкостью:

${\displaystyle \mathbf {B} =\oint \sigma \,d\mathbf {A} .}$

Поверхностный интеграл можно преобразовать в объемный интеграл с помощью теоремы Гаусса :

${\displaystyle \mathbf {B} =\int \operatorname {div} \sigma \,dV=-\int \mathbf {f} \,dV=-\rho _{f}\mathbf {g} \int \,dV=-\rho _{f}\mathbf {g} V}$

где V — мера объема, соприкасающегося с жидкостью, то есть объема погруженной части тела, поскольку жидкость не оказывает силы на часть тела, которая находится вне ее.

Величину силы плавучести можно оценить немного лучше из следующего рассуждения. Рассмотрим любой объект произвольной формы и объема V , окруженный жидкостью. Сила, которую жидкость оказывает на объект внутри жидкости, равна весу жидкости с объемом, равным объему объекта. Эта сила приложена в направлении, противоположном силе тяготения, то есть имеет величину:

${\displaystyle B=\rho _{f}V_{\text{disp}}\,g,\,}$

где ρ _f — плотность жидкости, V _disp — объем вытесненного тела жидкости, g — ускорение свободного падения в рассматриваемом месте.

Если этот объем жидкости заменить твердым телом точно такой же формы, то сила, действующая на него со стороны жидкости, должна быть точно такой же, как указано выше. Другими словами, «выталкивающая сила» на погруженное тело направлена ​​в противоположном направлении к силе тяжести и равна по величине

${\displaystyle B=\rho _{f}Vg.\,}$

Суммарная сила, действующая на объект, должна быть равна нулю, если это ситуация статики жидкости, в которой применим принцип Архимеда, и, таким образом, равна сумме силы плавучести и веса объекта.

${\displaystyle F_{\text{net}}=0=mg-\rho _{f}V_{\text{disp}}g\,}$

Если плавучесть (неудерживаемого и не имеющего привода) объекта превышает его вес, он имеет тенденцию подниматься. Объект, вес которого превышает его плавучесть, имеет тенденцию тонуть. Расчет силы, направленной вверх на погруженный объект в период его ускорения, не может быть выполнен только с помощью принципа Архимеда; необходимо учитывать динамику объекта, включающую плавучесть. Как только он полностью опустится на дно жидкости или поднимется на поверхность и осядет, можно применить только принцип Архимеда. Для плавающего объекта только погруженный объем вытесняет воду. Для затонувшего объекта весь объем вытесняет воду, и будет дополнительная сила реакции от твердого пола.

Для того чтобы можно было использовать только принцип Архимеда, рассматриваемый объект должен находиться в равновесии (сумма сил, действующих на объект, должна быть равна нулю), следовательно:

${\displaystyle mg=\rho _{f}V_{\text{disp}}g,\,}$

и поэтому

${\displaystyle m=\rho _{f}V_{\text{disp}}.\,}$

показывая, что глубина, на которую погрузится плавающий объект, и объем вытесненной им жидкости не зависят от гравитационного поля и не зависят от географического положения.

( Примечание: если рассматриваемая жидкость — морская вода , она не будет иметь одинаковую плотность ( ρ ) в каждом месте. По этой причине на судне может отображаться линия Плимсолла .)

Может быть так, что в игру вступают силы, отличные от силы плавучести и силы тяжести. Это происходит, если объект удерживается или если объект опускается на твердый пол. Объекту, который стремится плавать, требуется сила ограничения натяжения T, чтобы оставаться полностью погруженным. Объект, который стремится опуститься, в конечном итоге будет иметь нормальную силу ограничения N, действующую на него твердым полом. Сила ограничения может быть натяжением в пружинных весах, измеряющих его вес в жидкости, и это то, как определяется кажущийся вес.

Если бы объект в противном случае плавал, то натяжение, удерживающее его полностью погруженным, равно:

${\displaystyle T=\rho _{f}Vg-mg.\,}$

Когда тонущий предмет опускается на твердый пол, на него действует нормальная сила :

${\displaystyle N=mg-\rho _{f}Vg.\,}$

Другая возможная формула для расчета плавучести объекта — это нахождение кажущегося веса этого конкретного объекта в воздухе (вычисляется в Ньютонах) и кажущегося веса этого объекта в воде (в Ньютонах). Чтобы найти силу плавучести, действующую на объект, когда он находится в воздухе, используя эту конкретную информацию, применяется эта формула:

Выталкивающая сила = вес объекта в пустом пространстве − вес объекта, погруженного в жидкость

Окончательный результат будет измеряться в Ньютонах.

Плотность воздуха очень мала по сравнению с большинством твердых тел и жидкостей. По этой причине вес объекта в воздухе примерно равен его истинному весу в вакууме. Плавучесть воздуха не учитывается для большинства объектов во время измерения в воздухе, поскольку погрешность обычно незначительна (обычно менее 0,1%, за исключением объектов с очень низкой средней плотностью, таких как воздушный шар или легкая пена).

Упрощенная модель

Распределение давления на погруженном кубе

Силы, действующие на погруженный куб

Аппроксимация произвольного объема как группы кубов

Упрощенное объяснение интегрирования давления по площади контакта можно сформулировать следующим образом:

Рассмотрим куб, погруженный в жидкость, верхняя поверхность которого горизонтальна.

Стороны имеют одинаковую площадь и одинаковое распределение глубины, поэтому они имеют одинаковое распределение давления и, следовательно, одинаковую суммарную силу, возникающую в результате гидростатического давления, приложенного перпендикулярно плоскости поверхности каждой стороны.

Имеется две пары противолежащих сторон, поэтому результирующие горизонтальные силы уравновешиваются в обоих ортогональных направлениях, а результирующая сила равна нулю.

Сила, направленная вверх на куб, — это давление на нижнюю поверхность, интегрированное по ее площади. Поверхность находится на постоянной глубине, поэтому давление постоянно. Следовательно, интеграл давления по площади горизонтальной нижней поверхности куба — это гидростатическое давление на этой глубине, умноженное на площадь нижней поверхности.

Аналогично, направленная вниз сила на кубе — это давление на верхнюю поверхность, интегрированное по его площади. Поверхность находится на постоянной глубине, поэтому давление постоянно. Следовательно, интеграл давления по площади горизонтальной верхней поверхности куба — это гидростатическое давление на этой глубине, умноженное на площадь верхней поверхности.

Поскольку это куб, верхняя и нижняя поверхности идентичны по форме и площади, а разница давлений между верхней и нижней частями куба прямо пропорциональна разнице глубины, а результирующая разница сил в точности равна весу жидкости, которая занимала бы объем куба при ее отсутствии.

Это означает, что результирующая сила, действующая вверх на куб, равна весу жидкости, которая поместилась бы в объеме куба, а сила, действующая вниз на куб, равна его весу при отсутствии внешних сил.

Эта аналогия справедлива для вариаций размера куба.

Если два куба поместить рядом друг с другом, соприкасаясь гранями, то давления и результирующие силы на сторонах или частях, находящихся в контакте, уравновешены и могут не приниматься во внимание, поскольку контактные поверхности одинаковы по форме, размеру и распределению давления, поэтому плавучесть двух кубов, находящихся в контакте, равна сумме плавучести каждого куба. Эту аналогию можно распространить на произвольное количество кубов.

Объект любой формы можно аппроксимировать как группу кубов, соприкасающихся друг с другом, и с уменьшением размера куба точность аппроксимации увеличивается. Предельным случаем для бесконечно малых кубов является точная эквивалентность.

Наклонные поверхности не отменяют аналогию, поскольку результирующая сила может быть разделена на ортогональные компоненты и каждая из них может рассматриваться одинаково.

Уточнения

Закон Архимеда не учитывает поверхностное натяжение (капиллярность), действующее на тело. ^[4] Более того, было обнаружено, что закон Архимеда нарушается в сложных жидкостях . ^[5]

Существует исключение из принципа Архимеда, известное как случай дна (или стороны). Это происходит, когда сторона объекта касается дна (или стороны) сосуда, в который он погружен, и жидкость не просачивается вдоль этой стороны. В этом случае было обнаружено, что чистая сила отличается от принципа Архимеда, поскольку, поскольку жидкость не просачивается с этой стороны, симметрия давления нарушается. ^[6]

Принцип флотации

Принцип Архимеда показывает выталкивающую силу и перемещение жидкости. Однако концепция принципа Архимеда может быть применена при рассмотрении того, почему объекты плавают. Предложение 5 трактата Архимеда « О плавающих телах» гласит, что

Любой плавающий объект вытесняет жидкость, равную собственному весу.

—  Архимед из Сиракуз ^[7]

Другими словами, для объекта, плавающего на поверхности жидкости (например, лодка) или плавающего погруженным в жидкость (например, подводная лодка в воде или дирижабль в воздухе), вес вытесненной жидкости равен весу объекта. Таким образом, только в особом случае плавания выталкивающая сила, действующая на объект, равна весу объекта. Рассмотрим кусок твердого железа весом в 1 тонну. Поскольку железо почти в восемь раз плотнее воды, оно вытесняет только 1/8 тонны воды при погружении, чего недостаточно, чтобы удержать его на плаву. Предположим, что тот же самый кусок железа переформован в чашу. Он по-прежнему весит 1 тонну, но когда его помещают в воду, он вытесняет больший объем воды, чем когда он был блоком. Чем глубже погружена железная чаша, тем больше воды она вытесняет, и тем больше выталкивающая сила, действующая на нее. Когда выталкивающая сила равна 1 тонне, она не будет тонуть дальше.

Когда любая лодка вытесняет вес воды, равный ее собственному весу, она плавает. Это часто называют «принципом плавучести»: плавающий объект вытесняет вес жидкости, равный ее собственному весу. Каждое судно, подводная лодка и дирижабль должны быть спроектированы так, чтобы вытеснять вес жидкости, по крайней мере равный ее собственному весу. Корпус 10 000-тонного судна должен быть построен достаточно широким, достаточно длинным и достаточно глубоким, чтобы вытеснять 10 000 тонн воды и все еще иметь часть корпуса над водой, чтобы не затонуть. Ему нужен дополнительный корпус, чтобы бороться с волнами, которые в противном случае заполнили бы его и, увеличив его массу, заставили бы его затонуть. То же самое верно для судов в воздухе: дирижабль весом 100 тонн должен вытеснять 100 тонн воздуха. Если он вытесняет больше, он поднимается; если он вытесняет меньше, он падает. Если дирижабль вытесняет ровно свой вес, он зависает на постоянной высоте.

Хотя они и связаны с ним, принцип плавучести и концепция, что погруженный в воду объект вытесняет объем жидкости, равный его собственному объему, не являются принципом Архимеда. Принцип Архимеда, как указано выше, приравнивает выталкивающую силу к весу вытесненной жидкости.

Одна из распространенных точек путаницы ^{[ кем? ]} относительно принципа Архимеда — это значение вытесненного объема. Обычные демонстрации включают измерение подъема уровня воды, когда объект плавает на поверхности, чтобы вычислить вытесненную воду. Этот подход к измерению не работает с плавучим погруженным объектом, потому что подъем уровня воды напрямую связан с объемом объекта, а не с массой (за исключением случая, когда эффективная плотность объекта в точности равна плотности жидкости). ^{[8] [9] [10]}

Эврика

Архимед, как сообщается, воскликнул «Эврика» после того, как понял, как определить, сделана ли корона из нечистого золота. Хотя он не использовал принцип Архимеда в широко распространенной истории и использовал вытесненную воду только для измерения объема короны, существует альтернативный подход, использующий этот принцип: уравновесьте корону и чистое золото на весах в воздухе, а затем опустите весы в воду. Согласно принципу Архимеда, если плотность короны отличается от плотности чистого золота, весы выйдут из равновесия под водой. ^{[11] [12]}

Ссылки

1. "Что такое выталкивающая сила?". Khan Academy .
2. Acott, Chris (1999). «Дайверы «законники»: краткое резюме их жизни». Журнал Южно-Тихоокеанского общества подводной медицины . 29 (1). ISSN  0813-1988. OCLC  16986801. Архивировано из оригинала 27 июля 2011 г. Получено 13 июня 2009 г.{{cite journal}}: CS1 maint: unfit URL (link)
3. "Выталкивающая сила". bu.edu . Получено 3 сентября 2023 г. .
4. «Кластеризация поплавков в стоячей волне: эффекты капиллярности заставляют гидрофильные или гидрофобные частицы собираться в определенных точках волны» (PDF) . 23 июня 2005 г.
5. "Принцип Архимеда обновляется". Р. Марк Уилсон, Physics Today 65 (9), 15 (2012); doi :10.1063/PT.3.1701
6. Лима, FM S. (2012). «Использование поверхностных интегралов для проверки закона плавучести Архимеда». European Journal of Physics . 33 (1): 101–113. arXiv : 1110.5264 . Bibcode : 2012EJPh...33..101L. doi : 10.1088/0143-0807/33/1/009. S2CID  54556860.
7. "Труды Архимеда". Cambridge, University Press. 1897. стр. 257. Получено 11 марта 2010 г. Любое твердое тело легче жидкости, если его поместить в жидкость, будет погружено в нее настолько, что вес этого тела будет равен весу вытесненной жидкости.
8. Mohindroo, KK (1997). Основные принципы физики. Pitambar Publishing. стр. 76–77. ISBN 978-81-209-0199-5.
9. Редиш, Эдвард Ф.; Вичентини, Матильда; физика, Итальянское общество (2004). Исследования по физическому образованию. ИОС Пресс. п. 358. ИСБН 978-1-58603-425-2.
10. Доказательство концепции carpeastra.co.uk
11. "Золотая корона". physics.weber.edu .
12. «'Эврика!' – История Архимеда и Золотой короны». Давным-давно . 16 мая 2014 г. Архивировано из оригинала 2 июня 2019 г. Получено 30 мая 2018 г.

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с принципом Архимеда на Wikimedia Commons