Теорема о дивергенции

Теорема исчисления, связывающая поток замкнутых поверхностей с дивергенцией по их объему

В векторном исчислении теорема о расходимости , также известная как теорема Гаусса или теорема Остроградского , ^[1] — теорема, связывающая поток векторного поля через замкнутую поверхность с расходимостью поля в замкнутом объеме.

Точнее, теорема о расходимости утверждает, что поверхностный интеграл векторного поля по замкнутой поверхности, называемый «потоком» через поверхность, равен объемному интегралу расходимости по области, охватываемой поверхностью. Интуитивно она утверждает, что «сумма всех источников поля в области (с приемниками, рассматриваемыми как отрицательные источники) дает чистый поток из области».

Теорема о дивергенции является важным результатом для математики физики и техники , особенно в электростатике и гидродинамике . В этих областях она обычно применяется в трех измерениях. Однако она обобщается на любое число измерений. В одном измерении она эквивалентна фундаментальной теореме исчисления . В двух измерениях она эквивалентна теореме Грина .

Объяснение с использованием потока жидкости

Векторные поля часто иллюстрируются на примере поля скорости жидкости , такой как газ или жидкость. Движущаяся жидкость имеет скорость — скорость и направление — в каждой точке, которая может быть представлена ​​вектором , так что скорость жидкости в любой момент времени образует векторное поле. Рассмотрим воображаемую замкнутую поверхность S внутри тела жидкости, охватывающую объем жидкости. Поток жидкости из объема в любой момент времени равен объемной скорости жидкости, пересекающей эту поверхность, т. е. поверхностному интегралу скорости по поверхности.

Поскольку жидкости несжимаемы, количество жидкости внутри замкнутого объема постоянно; если внутри объема нет источников или стоков, то поток жидкости из S равен нулю. Если жидкость движется, она может втекать в объем в некоторых точках на поверхности S и вытекать из объема в других точках, но количества, втекающие и вытекающие в любой момент времени, равны, поэтому чистый поток жидкости из объема равен нулю.

Однако если источник жидкости находится внутри закрытой поверхности, например, труба, через которую вводится жидкость, дополнительная жидкость будет оказывать давление на окружающую жидкость, вызывая поток наружу во всех направлениях. Это вызовет чистый поток наружу через поверхность S. Поток наружу через S равен объемной скорости потока жидкости в S из трубы. Аналогично, если внутри S есть раковина или слив , например, труба, которая сливает жидкость, внешнее давление жидкости вызовет скорость по всей жидкости, направленную внутрь к месту слива. Объемная скорость потока жидкости внутрь через поверхность S равна скорости жидкости, удаляемой раковиной.

Если внутри S имеется несколько источников и стоков жидкости , поток через поверхность можно рассчитать, сложив объемный расход жидкости, добавленной источниками, и вычтя расход жидкости, отведенной стоками. Объемный расход потока жидкости через источник или сток (при этом расход через сток имеет отрицательный знак) равен расхождению поля скорости в устье трубы, поэтому сложение (интегрирование) расхождения жидкости по всему объему, заключенному в S , равно объемному расходу потока через S. Это теорема о расхождении. ^[2]

Теорема о дивергенции используется в любом законе сохранения , который гласит, что общий объем всех стоков и источников, то есть объемный интеграл дивергенции, равен чистому потоку через границу объема. ^[3]

Математическое утверждение

Область V, ограниченная поверхностью с нормалью к поверхности n ${\displaystyle S=\partial V}$

Предположим, что V — подмножество ( в случае n = 3 V представляет собой объем в трехмерном пространстве ), которое компактно и имеет кусочно- гладкую границу S (также обозначенную ). Если F — непрерывно дифференцируемое векторное поле, определенное в окрестности V , то: ^[4] [ ^5] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial V=S}$

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\,\mathrm {d} S.}$

Левая часть представляет собой интеграл по объему V , а правая часть — интеграл по поверхности по границе объема V. Замкнутое измеримое множество ориентировано по направленным наружу нормалям и является направленной наружу единичной нормалью почти в каждой точке границы . ( может использоваться как сокращение для .) В терминах интуитивного описания выше, левая часть уравнения представляет собой сумму источников в объеме V , а правая часть представляет собой полный поток через границу S. ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} \mathrm {d} S}$

Неформальное происхождение

Теорема о дивергенции следует из того факта, что если объем V разбить на отдельные части, то поток из исходного объема равен сумме потоков из каждого составляющего объема. ^{[6] [7]} Это верно, несмотря на то, что новые подобъемы имеют поверхности, которые не были частью поверхности исходного объема, поскольку эти поверхности являются всего лишь перегородками между двумя подобъемами, и поток через них просто переходит из одного объема в другой и, таким образом, сокращается при суммировании потоков из подобъемов.

Объем, разделенный на два подобъема. Справа два подобъема разделены, чтобы показать поток из разных поверхностей.

См. диаграмму. Замкнутый, ограниченный объем V разделен на два объема V ₁ и V ₂ поверхностью S ₃ (зеленой) . Поток Φ( V _i ) из каждой составной области V _i равен сумме потоков через ее две грани, поэтому сумма потоков из двух частей равна

${\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{31}}+\Phi _{\text{2}}+\Phi _{\text{32}}}$

где Φ ₁ и Φ ₂ — потоки из поверхностей S ₁ и S ₂ , Φ ₃₁ — поток через S ₃ из объема 1, а Φ ₃₂ — поток через S ₃ из объема 2. Дело в том, что поверхность S ₃ является частью поверхности обоих объемов. «Внешнее» направление вектора нормали противоположно для каждого объема, поэтому поток из одного через S ₃ равен отрицательному потоку из другого, поэтому эти два потока в сумме сокращаются. ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

${\displaystyle \Phi _{\text{31}}=\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=-\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot (-\mathbf {\hat {n}} )\;\mathrm {d} S=-\Phi _{\text{32}}}$

Поэтому:

${\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{2}}}$

Так как объединение поверхностей S ₁ и S ₂ есть S

${\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi (V)}$

Объем может быть разделен на любое количество подобъемов, и поток из V равен сумме потоков из каждого подобъема, поскольку поток через зеленые поверхности в сумме сокращается. На (b) объемы показаны слегка разделенными, что иллюстрирует, что каждая зеленая перегородка является частью границы двух смежных объемов.

Этот принцип применим к объему, разделенному на любое количество частей, как показано на схеме. ^[7] Поскольку интеграл по каждому внутреннему разделу (зеленые поверхности) появляется с противоположными знаками в потоке двух соседних объемов, они сокращаются, и единственным вкладом в поток является интеграл по внешним поверхностям (серые) . Поскольку внешние поверхности всех составных объемов равны исходной поверхности.

${\displaystyle \Phi (V)=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\Phi (V_{\text{i}})}$

Поскольку объем подразделяется на меньшие части, отношение потока из каждого объема к объему приближается к ${\displaystyle \Phi (V_{\text{i}})}$ ${\displaystyle |V_{\text{i}}|}$ ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} }$

Поток Φ из каждого объема представляет собой поверхностный интеграл векторного поля F ( x ) по поверхности

${\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S}$

Цель состоит в том, чтобы разделить исходный объем на бесконечно много бесконечно малых объемов. Поскольку объем делится на все меньшие и меньшие части, поверхностный интеграл справа, поток из каждого подобъема, стремится к нулю, поскольку площадь поверхности S ( V _i ) стремится к нулю. Однако, из определения дивергенции , отношение потока к объему , часть в скобках ниже, в общем случае не исчезает, а приближается к дивергенции div F, когда объем стремится к нулю. ^[7] ${\displaystyle {\frac {\Phi (V_{\text{i}})}{|V_{\text{i}}|}}={\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S}$

${\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right)|V_{\text{i}}|}$

Пока векторное поле F ( x ) имеет непрерывные производные, приведенная выше сумма справедлива даже в пределе , когда объем делится на бесконечно малые приращения

${\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\lim _{|V_{\text{i}}|\to 0}\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right)|V_{\text{i}}|}$

При приближении к нулю объем становится бесконечно малым dV , часть в скобках становится дивергенцией, а сумма становится интегралом объема по V ${\displaystyle |V_{\text{i}}|}$

${\displaystyle \;\iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\iiint _{V}\operatorname {div} \mathbf {F} \;\mathrm {d} V\;}$

Поскольку этот вывод не зависит от координат, он показывает, что расхождение не зависит от используемых координат.

Доказательства

Для ограниченных открытых подмножеств евклидова пространства

Мы собираемся доказать следующее: ^{[ необходима цитата ]}

Теорема  —  Пусть открыто и ограничено с границей. Если находится в открытой окрестности , то есть , то для каждого , где — внешний единичный нормальный вектор к . Эквивалентно, ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle u\in C^{1}(O)}$ ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ $${\displaystyle \int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu _{i}\,dS,}$$ ${\displaystyle \nu :\partial \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ $${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu \,dS.}$$

Доказательство теоремы. ^[8]

1. Первый шаг — свести к случаю, когда . Выберем такое, что на . Заметим, что и на . Следовательно, достаточно доказать теорему для . Следовательно, можно предположить, что . ${\displaystyle u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(O)}$ ${\displaystyle \phi =1}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle \phi u\in C_{c}^{1}(O)\subset C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \phi u=u}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle \phi u}$ ${\displaystyle u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$
2. Пусть будет произвольным. Предположение, что имеет границу, означает, что существует открытая окрестность в такая , что является графиком функции с , лежащей по одну сторону от этого графика. Точнее, это означает, что после переноса и поворота существуют и и функция , такие, что с обозначением ${\displaystyle x_{0}\in \partial \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial \Omega \cap U}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \Omega \cap U}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle h>0}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R} }$

   $${\displaystyle x'=(x_{1},\dots ,x_{n-1}),}$$он считает, что и для , $${\displaystyle U=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x'|<r{\text{ and }}|x_{n}-g(x')|<h\}}$$ ${\displaystyle x\in U}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}=g(x')&\implies x\in \partial \Omega ,\\-h<x_{n}-g(x')<0&\implies x\in \Omega ,\\0<x_{n}-g(x')<h&\implies x\notin \Omega .\\\end{aligned}}}$$

   Так как компактно, мы можем покрыть конечным числом окрестностей указанного выше вида. Заметим, что является открытым покрытием . Используя разбиение единицы, подчиненное этому покрытию, достаточно доказать теорему в случае, когда либо имеет компактный носитель в , либо имеет компактный носитель в некотором . Если имеет компактный носитель в , то для всех , по фундаментальной теореме исчисления, и так как обращается в нуль в окрестности . Таким образом, теорема верна для с компактным носителем в . Таким образом, мы свелись к случаю, когда имеет компактный носитель в некотором . ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle U_{1},\dots ,U_{N}}$ ${\displaystyle \{\Omega ,U_{1},\dots ,U_{N}\}}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}=\Omega \cup \partial \Omega }$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U_{j}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle \int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u_{x_{i}}\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{\infty }u_{x_{i}}(x)\,dx_{i}\,dx'=0}$ ${\displaystyle \int _{\partial \Omega }u\nu _{i}\,dS=0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U_{j}}$
3. Итак, предположим, что имеет компактный носитель в некотором . Последний шаг теперь — показать, что теорема верна прямым вычислением. Измените обозначение на и введите обозначение из (2), используемое для описания . Обратите внимание, что это означает, что мы повернули и перенесли . Это допустимое сокращение, поскольку теорема инвариантна относительно вращений и переносов координат. Поскольку для и для , мы имеем для каждого , что Для по фундаментальной теореме исчисления имеем, что Теперь зафиксируем . Обратите внимание, что Определим по . По правилу цепочки, Но поскольку имеет компактный носитель, мы можем сначала проинтегрировать, чтобы вывести, что Таким образом , подытоживая, с мы имеем Напомним, что внешняя единица нормали к графику в точке равна , а элемент поверхности задается как . Таким образом, Это завершает доказательство. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U_{j}}$ ${\displaystyle U=U_{j}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u(x)=0}$ ${\displaystyle |x'|\geq r}$ ${\displaystyle |x_{n}-g(x')|\geq h}$ ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV&=\int _{|x'|<r}\int _{g(x')-h}^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle i=n}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{n}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x'))\,dx'.}$$ ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n-1\}}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s)\,ds\,dx'}$$ ${\displaystyle v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v(x',s)=u(x',g(x')+s)}$ $${\displaystyle v_{x_{i}}(x',s)=u_{x_{i}}(x',g(x')+s)+u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x').}$$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle dx_{i}}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}v_{x_{i}}(x',s)\,ds\,dx'=0.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s)\,ds\,dx'&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}-u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x')\,ds\,dx'\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}-u(x',g(x'))g_{x_{i}}(x')\,dx'.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \nabla u=(u_{x_{1}},\dots ,u_{x_{n}})}$ $${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}\nabla u\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x'))(-\nabla g(x'),1)\,dx'.}$$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x',g(x'))\in \Gamma }$ ${\displaystyle \nu (x',g(x'))={\frac {1}{\sqrt {1+|\nabla g(x')|^{2}}}}(-\nabla g(x'),1)}$ ${\displaystyle dS}$ ${\textstyle dS={\sqrt {1+|\nabla g(x')|^{2}}}\,dx'}$ $${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu \,dS.}$$

Для компактных римановых многообразий с краем

Мы собираемся доказать следующее: ^{[ необходима цитата ]}

Теорема  —  Пусть — компактное многообразие с границей с метрическим тензором . Пусть обозначим внутреннюю часть многообразия , а обозначим границу многообразия . Пусть обозначим скалярные произведения функций и обозначим скалярные произведения векторов. Предположим, что и — векторное поле на . Тогда где — единичный нормальный вектор, направленный наружу, к . ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle L^{2}({\overline {\Omega }})}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle u\in C^{1}({\overline {\Omega }},\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ $${\displaystyle (\operatorname {grad} u,X)=-(u,\operatorname {div} X)+\int _{\partial \Omega }u\langle X,N\rangle \,dS,}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

Доказательство теоремы. ^[9] Мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании. Используя разбиение единицы, мы можем предположить, что и имеют компактный носитель в координатном фрагменте . Сначала рассмотрим случай, когда фрагмент не пересекается с . Тогда отождествляется с открытым подмножеством и интегрирование по частям не дает граничных членов: В последнем равенстве мы использовали формулу координат Фосса-Вейля для расхождения, хотя предыдущее тождество можно было бы использовать для определения как формального сопряженного к . Теперь предположим, что пересекает . Тогда отождествляется с открытым множеством в . Мы обнуляем расширение и до и выполняем интегрирование по частям, чтобы получить , где . По варианту теоремы о выпрямлении для векторных полей мы можем выбрать так, что — внутренняя единичная нормаль в . В этом случае — элемент объема на , и приведенная выше формула имеет вид Это завершает доказательство. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O\subset {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {grad} u,X)&=\int _{O}\langle \operatorname {grad} u,X\rangle {\sqrt {g}}\,dx\\&=\int _{O}\partial _{j}uX^{j}{\sqrt {g}}\,dx\\&=-\int _{O}u\partial _{j}({\sqrt {g}}X^{j})\,dx\\&=-\int _{O}u{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}({\sqrt {g}}X^{j}){\sqrt {g}}\,dx\\&=(u,-{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}({\sqrt {g}}X^{j}))\\&=(u,-\operatorname {div} X).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle -\operatorname {div} }$ ${\displaystyle \operatorname {grad} }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}\geq 0\}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {grad} u,X)&=\int _{O}\langle \operatorname {grad} u,X\rangle {\sqrt {g}}\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} _{+}^{n}}\partial _{j}uX^{j}{\sqrt {g}}\,dx\\&=(u,-\operatorname {div} X)-\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',0)X^{n}(x',0){\sqrt {g(x',0)}}\,dx',\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle dx'=dx_{1}\dots dx_{n-1}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$ ${\displaystyle -N}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle {\sqrt {g(x',0)}}\,dx'={\sqrt {g_{\partial \Omega }(x')}}\,dx'=dS}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ $${\displaystyle (\operatorname {grad} u,X)=(u,-\operatorname {div} X)+\int _{\partial \Omega }u\langle X,N\rangle \,dS.}$$

Следствия

Заменяя F в теореме о дивергенции конкретными формами, можно вывести другие полезные тождества (ср. векторные тождества ). ^[10]

• Для скалярной функции g и векторного поля F , ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} g}$

${\displaystyle \iiint _{V}\left[\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right]\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle g\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

Частным случаем этого является , в этом случае теорема является основой тождеств Грина . ${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla f}$

• Для двух векторных полей F и G , где обозначает векторное произведение, ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \times \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \times }$

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right]\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

• Для двух векторных полей F и G , где обозначает скалярное произведение , ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\left(\nabla \mathbf {G} \right)\cdot \mathbf {F} +\left(\nabla \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {G} \right]\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} )\mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

• С для скалярной функции f и векторного поля c : ^[11] ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow f\mathbf {c} }$  

${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot \nabla f\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {c} f)\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S-\iiint _{V}f(\nabla \cdot \mathbf {c} )\,\mathrm {d} V.}$

Последний член справа обращается в нуль для постоянного или любого бездивергентного (соленоидального) векторного поля, например, несжимаемых потоков без источников или стоков, таких как фазовые переходы или химические реакции и т. д. В частности, принимая за постоянное: ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla f\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle f\mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

• С векторным полем F и постоянным вектором c : ^[11] ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {c} \times \mathbf {F} }$

${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {c} )\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

Переупорядочивая тройное произведение в правой части и вынося постоянный вектор интеграла,

${\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V\cdot \mathbf {c} =}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathrm {d} \mathbf {S} \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {c} .}$

Следовательно,

${\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \times \mathbf {F} \mathrm {d} S.}$

Пример

Поле векторов, соответствующее показанному примеру. Векторы могут указывать внутрь сферы или из нее.

Теорема о дивергенции может быть использована для расчета потока через замкнутую поверхность , которая полностью охватывает объем, как любая из поверхностей слева. Ее нельзя напрямую использовать для расчета потока через поверхности с границами, как те, что справа. (Поверхности синие, границы красные.)

Предположим, мы хотим оценить

${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,}$

где S — единичная сфера , определяемая формулой

${\displaystyle S=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\},}$

и F — векторное поле

${\displaystyle \mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .}$

Прямое вычисление этого интеграла довольно сложно, но мы можем упростить вывод результата, используя теорему о расходимости, поскольку теорема о расходимости гласит, что интеграл равен:

${\displaystyle \iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}(1+y+z)\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}\mathrm {d} V+2\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V+2\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V,}$

где W — единичный шар :

${\displaystyle W=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.}$

Так как функция y положительна в одном полушарии W и отрицательна в другом, равным образом и противоположно, ее полный интеграл по W равен нулю. То же самое верно и для z :

${\displaystyle \iiint _{W}y\,\mathrm {d} V=\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V=0.}$

Поэтому,

${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S=2\iiint _{W}\,dV={\frac {8\pi }{3}},}$

поскольку единичный шар W имеет объем ⁠4π​/3⁠ .

Приложения

Дифференциальные и интегральные формы физических законов

В результате теоремы о расходимости множество физических законов можно записать как в дифференциальной форме (где одна величина является расходимостью другой), так и в интегральной форме (где поток одной величины через замкнутую поверхность равен другой величине). Три примера — это закон Гаусса (в электростатике ), закон Гаусса для магнетизма и закон Гаусса для гравитации .

Уравнения непрерывности

Уравнения непрерывности предлагают больше примеров законов как с дифференциальной, так и с интегральной формой, связанных друг с другом теоремой о расходимости. В гидродинамике , электромагнетизме , квантовой механике , теории относительности и ряде других областей существуют уравнения непрерывности , которые описывают сохранение массы, импульса, энергии, вероятности или других величин. В общем случае эти уравнения утверждают, что расходимость потока сохраняющейся величины равна распределению источников или стоков этой величины. Теорема о расходимости утверждает, что любое такое уравнение непрерывности может быть записано в дифференциальной форме (в терминах расходимости) и интегральной форме (в терминах потока). ^[12]

Законы обратных квадратов

Любой закон обратных квадратов может быть записан в форме типа закона Гаусса (с дифференциальной и интегральной формой, как описано выше). Два примера — это закон Гаусса (в электростатике), который следует из закона Кулона с обратными квадратами , и закон Гаусса для гравитации , который следует из закона всемирного тяготения Ньютона с обратными квадратами . Вывод уравнения типа закона Гаусса из формулы с обратными квадратами или наоборот в обоих случаях абсолютно одинаков; см. любую из этих статей для получения подробной информации. ^[12]

История

Жозеф-Луи Лагранж ввел понятие поверхностных интегралов в 1760 году и снова в более общих терминах в 1811 году во втором издании своей «Аналитической механики» . Лагранж использовал поверхностные интегралы в своей работе по механике жидкости. ^[13] Он открыл теорему о расходимости в 1762 году. ^[14]

Карл Фридрих Гаусс также использовал поверхностные интегралы, работая над гравитационным притяжением эллиптического сфероида в 1813 году, когда он доказал особые случаи теоремы о расходимости. ^{[15] [13]} Он доказал дополнительные особые случаи в 1833 и 1839 годах. ^[16] Но именно Михаил Остроградский дал первое доказательство общей теоремы в 1826 году в рамках своего исследования теплового потока. ^[17] Особые случаи были доказаны Джорджем Грином в 1828 году в «Очерке о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма» , ^{[18] [16]} Симеоном Дени Пуассоном в 1824 году в статье об упругости и Фредериком Саррю в 1828 году в его работе о плавающих телах. ^{[19] [16]}

Реализованные примеры

Пример 1

Чтобы проверить плоский вариант теоремы о расходимости для области : ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}$

и векторное поле:

${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=2y\mathbf {i} +5x\mathbf {j} .}$

Граница представляет собой единичную окружность, которая может быть параметрически представлена ​​следующим образом: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle x=\cos(s),\quad y=\sin(s)}$

такой, что где единицы - это длина дуги от точки до точки на . Тогда векторное уравнение имеет вид ${\displaystyle 0\leq s\leq 2\pi }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C(s)=\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} .}$

В какой-то момент : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle P=(\cos(s),\,\sin(s))\,\Rightarrow \,\mathbf {F} =2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} .}$

Поэтому,

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} s&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} )\cdot (\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} )\,\mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\cos(s)+5\sin(s)\cos(s))\,\mathrm {d} s\\&=7\int _{0}^{2\pi }\sin(s)\cos(s)\,\mathrm {d} s\\&=0.\end{aligned}}}$

Поскольку , мы можем оценить , и поскольку , . Таким образом ${\displaystyle M={\mathfrak {Re}}(\mathbf {F} )=2y}$ ${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}=0}$ ${\displaystyle N={\mathfrak {Im}}(\mathbf {F} )=5x}$ ${\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial y}}=0}$

${\displaystyle \iint _{R}\,\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} A=\iint _{R}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A=0.}$

Пример 2

Предположим, мы хотим оценить поток следующего векторного поля, определяемого следующими неравенствами: ${\displaystyle \mathbf {F} =2x^{2}{\textbf {i}}+2y^{2}{\textbf {j}}+2z^{2}{\textbf {k}}}$

${\displaystyle \left\{0\leq x\leq 3\right\},\left\{-2\leq y\leq 2\right\},\left\{0\leq z\leq 2\pi \right\}}$

По теореме о расходимости,

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,\mathrm {d} S.}$

Теперь нам нужно определить дивергенцию . Если — трехмерное векторное поле, то дивергенция определяется выражением . ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\textstyle \nabla \cdot {\textbf {F}}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\textbf {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\textbf {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\textbf {k}}\right)\cdot {\textbf {F}}}$

Таким образом, мы можем установить следующий интеграл потока следующим образом: ${\displaystyle I=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \mathbf {F_{x}} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{y}} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{z}} }{\partial z}}\right)\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\end{aligned}}}$

Теперь, когда мы определили интеграл, мы можем его оценить.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V&=\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(12y+12z+18)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }24(2z+3)\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=48\pi (2\pi +3)\end{aligned}}}$

Обобщения

Множественные измерения

Можно использовать обобщенную теорему Стокса, чтобы приравнять n -мерный объемный интеграл дивергенции векторного поля F по области U к ( n − 1) -мерному поверхностному интегралу F по границе U :

${\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int _{U}} _{n}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\underbrace {\oint _{}\cdots \oint _{\partial U}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}$

Это уравнение также известно как теорема о расходимости.

При n = 2 это эквивалентно теореме Грина .

При n = 1 это сводится к основной теореме исчисления , часть 2.

Тензорные поля

Запись теоремы в обозначениях Эйнштейна :

${\displaystyle \iiint _{V}{\dfrac {\partial \mathbf {F} _{i}}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}n_{i}\,\mathrm {d} S}$

предположительно, заменив векторное поле F на тензорное поле ранга n T , это можно обобщить до: ^[20]

${\displaystyle \iiint _{V}{\dfrac {\partial T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}}{\partial x_{i_{q}}}}\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}n_{i_{q}}\,\mathrm {d} S.}$

где с каждой стороны происходит сокращение тензора по крайней мере для одного индекса. Эта форма теоремы все еще в 3d, каждый индекс принимает значения 1, 2 и 3. Она может быть обобщена еще дальше на более высокие (или более низкие) измерения (например, на 4d пространство-время в общей теории относительности ^[21] ).

Смотрите также

• Теорема Кельвина–Стокса
• Обобщенная теорема Стокса
• Дифференциальная форма

Ссылки

1. Кац, Виктор Дж. (1979). «История теоремы Стокса». Mathematics Magazine . 52 (3): 146–156. doi :10.2307/2690275. JSTOR  2690275.перепечатано в Anderson, Marlow (2009). Who Gave You the Epsilon?: And Other Tales of Mathematical History. Математическая ассоциация Америки. стр. 78–79. ISBN 978-0-88385-569-0.
2. RG Lerner ; GL Trigg (1994). Энциклопедия физики (2-е изд.). VHC. ISBN 978-3-527-26954-9.
3. Байрон, Фредерик; Фуллер, Роберт (1992), Математика классической и квантовой физики, Dover Publications, стр. 22, ISBN 978-0-486-67164-2
4. Wiley, C. Ray Jr. Advanced Engineering Mathematics, 3-е изд . McGraw-Hill. С. 372–373.
5. Крейсциг, Эрвин; Крейсциг, Герберт; Норминтон, Эдвард Дж. (2011). Advanced Engineering Mathematics (10-е изд.). John Wiley and Sons. стр. 453–456. ISBN 978-0-470-45836-5.
6. Бенфорд, Фрэнк А. (май 2007 г.). «Заметки о векторном исчислении» (PDF) . Материалы курса по математике 105: многомерное исчисление . Веб-страница профессора Стивена Миллера, колледж Уильямса . Получено 14 марта 2022 г.
7. Перселл, Эдвард М.; Дэвид Дж. Морин (2013). Электричество и магнетизм. Cambridge Univ. Press. С. 56–58. ISBN 978-1-107-01402-2.
8. Альт, Ганс Вильгельм (2016). «Линейный функциональный анализ». Universitext . Лондон: Springer London. стр. 259–261, 270–272. doi :10.1007/978-1-4471-7280-2. ISBN 978-1-4471-7279-6. ISSN  0172-5939.
9. Тейлор, Майкл Э. (2011). «Уравнения с частными производными I». Прикладные математические науки . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. стр. 178–179. doi :10.1007/978-1-4419-7055-8. ISBN 978-1-4419-7054-1. ISSN  0066-5452.
10. Г-н Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ . Очерки Шаума (2-е изд.). США: МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7.
11. MathWorld
12. CB Parker (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2-е изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-051400-3.
13. Katz, Victor (2009). "Глава 22: Векторный анализ". История математики: Введение . Addison-Wesley. стр. 808–9. ISBN 978-0-321-38700-4.
14. В своей статье о звуке 1762 года Лагранж рассматривает частный случай теоремы о дивергенции: Лагранж (1762) «Nouvelles recherches sur la Nature et la Propagation du son» (Новые исследования природы и распространения звука), Miscellanea Taurinensia (также известный как: Mélanges de Turin ), 2 : 11 – 172. Эта статья перепечатана как: «Nouvelles recherches sur la Nature et la Propagation du son» в: JA Serret, ed., Oeuvres de Lagrange , (Париж, Франция: Готье -Вилларс, 1867), т. 1, страницы 151–316; на страницах 263–265 Лагранж преобразует тройные интегралы в двойные, используя интегрирование по частям.
15. CF Gauss (1813) «Theoria attractis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum Methodo novatractata», Commentationes societatis regiae scientiarium Gottingensisrecentiores , 2 : 355–378; Гаусс рассмотрел частный случай теоремы; см. 4-ю, 5-ю и 6-ю страницы его статьи.
16. Кац, Виктор (май 1979). «История теоремы Стокса». Mathematics Magazine . 52 (3): 146–156. doi :10.1080/0025570X.1979.11976770. JSTOR  2690275.
17. Михаил Остраградский представил свое доказательство теоремы о расходимости в Парижскую академию в 1826 году; однако его работа не была опубликована Академией. Он вернулся в Санкт-Петербург, Россия, где в 1828–1829 годах он прочитал работу, которую он сделал во Франции, в Санкт-Петербургской академии, которая опубликовала его работу в сокращенном виде в 1831 году.
    • Его доказательство теоремы о расходимости - «Démonstration d'un theorème du Calcul Integral» (Доказательство теоремы в интегральном исчислении), которое он прочитал в Парижской академии 13 февраля 1826 года, было переведено в 1965 году на русский язык вместе. с другой его статьей. См.: Юшкевич А.П. (Юшкевич А.П.) и Антропова В.И. (Антропов В.И.) (1965) "Неопубликованные работы М.В. Остроградского" (Неопубликованные работы М.В. Остроградского), Историко -математические исследования (Историко-математические исследования), 16 : 49–96; см. раздел: "Остроградский М.В. Доказательство одной теоремы интегрального исчисления" (Остроградский М.В. Доказательство одной теории интегрального исчисления / Остраградский М.В. Доказательство теоремы интегрального исчисления).
    • М. Остроградский (представлено: 5 ноября 1828 г.; опубликовано: 1831 г.) «Première note sur la theorie de la chaleur» (Первые заметки по теории теплоты) Mémoires de l'Académie emperiale des Sciences de St. Pétersbourg , серия 6, 1 : 129–133; сокращенную версию его доказательства теоремы о расходимости см. на стр. 130–131.
    • Виктор Дж. Кац (май 1979 г.) «История теоремы Стокса», Архивировано 2 апреля 2015 г. в журнале Wayback Machine Mathematics Magazine , 52 (3): 146–156; доказательство Остраградского теоремы о расходимости см. на страницах 147–148.
18. Джордж Грин, Эссе о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма (Ноттингем, Англия: T. Wheelhouse, 1838). Форма «теоремы о расходимости» появляется на страницах 10–12.
19. Другие ранние исследователи, которые использовали ту или иную форму теоремы о дивергенции, включают:
    • Пуассон (представлено: 2 февраля 1824 г.; опубликовано: 1826 г.) "Mémoire sur la théorie du magnétisme" (Мемуары по теории магнетизма), Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France , 5 : 247–338; на страницах 294–296 Пуассон преобразует объемный интеграл (который используется для оценки величины Q) в поверхностный интеграл. Чтобы выполнить это преобразование, Пуассон следует той же процедуре, которая используется для доказательства теоремы о расходимости.
    • Фредерик Саррус (1828) «Mémoire sur les колебания де плавающих тел» (Мемуары о колебаниях плавающих тел), Annales de mathématiques pures et appliquées (Nismes), 19 : 185–211.
20. KF Riley; MP Hobson; SJ Bence (2010). Математические методы для физики и техники . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
21. см. например: JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. стр. 85–86, §3.5. ISBN
     978-0-7167-0344-0., и Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN
     978-0-679-77631-4.

Внешние ссылки

• «Формула Остроградского», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Дифференциальные операторы и теорема о дивергенции в MathPages
• Теорема о дивергенции (Гаусса) Ника Быкова, Wolfram Demonstrations Project .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о дивергенции». Математический мир .– Первоначально эта статья была основана на статье GFDL из PlanetMath по адресу https://web.archive.org/web/20021029094728/http://planetmath.org/encyclopedia/Divergence.html