Закон Кюри-Вейсса

Модель магнитной восприимчивости при определенных условиях

В магнетизме закон Кюри-Вейсса описывает магнитную восприимчивость χ ферромагнетика в парамагнитной области выше температуры Кюри :

${\displaystyle \chi ={\frac {C}{T-T_{\rm {C}}}}}$

где C — константа Кюри , специфичная для конкретного материала , T — абсолютная температура, а T _C — температура Кюри , обе измеряются в кельвинах . Закон предсказывает сингулярность восприимчивости при T = T _C. Ниже этой температуры ферромагнетик имеет спонтанную намагниченность . Название дано в честь Пьера Кюри и Пьера Вейсса .

Фон

Магнитный момент , который присутствует даже при отсутствии внешнего магнитного поля , называется спонтанной намагниченностью . Материалы с этим свойством известны как ферромагнетики , такие как железо , никель и магнетит . Однако, когда эти материалы нагреваются, при определенной температуре они теряют свою спонтанную намагниченность и становятся парамагнитными . Эта пороговая температура, ниже которой материал становится ферромагнитным, называется температурой Кюри и различна для каждого материала.

Закон Кюри-Вейсса описывает изменения магнитной восприимчивости материала , вблизи его температуры Кюри. Магнитная восприимчивость — это отношение намагниченности материала к приложенному магнитному полю. ${\displaystyle \chi }$

Ограничения

Во многих материалах закон Кюри-Вейсса не описывает восприимчивость в непосредственной близости от точки Кюри, поскольку он основан на приближении среднего поля . Вместо этого существует критическое поведение вида

${\displaystyle \chi \propto {\frac {1}{(T-T_{\rm {C}})^{\gamma }}}}$

с критическим показателем γ . Однако при температурах T ≫ T _C выражение закона Кюри–Вейсса по-прежнему справедливо, но с заменой T _C на температуру Θ , которая несколько выше фактической температуры Кюри. Некоторые авторы называют Θ константой Вейсса , чтобы отличить ее от температуры фактической точки Кюри.

Классические подходы к магнитной восприимчивости и теорема Бора–ван Лейвена

Согласно теореме Бора–ван Леувена , при последовательном применении статистической механики и классической механики тепловое среднее намагниченности всегда равно нулю. Магнетизм невозможно объяснить без квантовой механики. Это означает, что его нельзя объяснить, не принимая во внимание, что материя состоит из атомов. Далее перечислены некоторые полуклассические подходы к нему, использующие простую модель атома, поскольку их легко понять и с ними легко соотнести, хотя они и не совсем верны.

Магнитный момент свободного атома обусловлен орбитальным угловым моментом и спином его электронов и ядра. Когда атомы таковы, что их оболочки полностью заполнены, они не имеют никакого чистого магнитного дипольного момента в отсутствие внешнего магнитного поля. При наличии такое поле искажает траектории (классическая концепция) электронов так, что приложенное поле может быть противоположным, как предсказывает закон Ленца . Другими словами, чистый магнитный диполь, индуцированный внешним полем, имеет противоположное направление, и такие материалы отталкиваются им. Их называют диамагнитными материалами.

Иногда атом имеет чистый магнитный дипольный момент даже при отсутствии внешнего магнитного поля. Вклады отдельных электронов и ядра в полный угловой момент не компенсируют друг друга. Это происходит, когда оболочки атомов не полностью заполнены ( правило Хунда ). Однако совокупность таких атомов может не иметь никакого чистого магнитного момента, поскольку эти диполи не выровнены. Внешнее магнитное поле может служить для их выравнивания в некоторой степени и создания чистого магнитного момента на единицу объема. Такое выравнивание зависит от температуры, поскольку тепловое возбуждение дезориентирует диполи. Такие материалы называются парамагнитными .

В некоторых материалах атомы (с чистыми магнитными дипольными моментами) могут взаимодействовать друг с другом, чтобы выстроиться даже при отсутствии внешнего магнитного поля, когда тепловое возбуждение достаточно низкое. Выравнивание может быть параллельным ( ферромагнетизм ) или антипараллельным. В случае антипараллельности дипольные моменты могут компенсировать друг друга или нет ( антиферромагнетизм , ферримагнетизм ).

Подход матрицы плотности к магнитной восприимчивости

Мы берем очень простую ситуацию, в которой каждый атом можно аппроксимировать как систему из двух состояний. Тепловая энергия настолько мала, что атом находится в основном состоянии. В этом основном состоянии предполагается, что атом не имеет чистого орбитального углового момента, а только один неспаренный электрон, который придает ему спин в два раза меньше. При наличии внешнего магнитного поля основное состояние расщепляется на два состояния, имеющих разность энергий, пропорциональную приложенному полю. Спин неспаренного электрона параллелен полю в состоянии с более высокой энергией и антипараллелен в состоянии с более низкой энергией.

Матрица плотности , , представляет собой матрицу, описывающую квантовую систему в смешанном состоянии, статистический ансамбль из нескольких квантовых состояний (здесь несколько подобных атомов с 2 состояниями). Это следует противопоставить вектору одного состояния, описывающему квантовую систему в чистом состоянии. Ожидаемое значение измерения , по ансамблю равно . В терминах полного набора состояний , можно записать ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {Tr} (A\rho )}$ ${\displaystyle |i\rangle }$

${\displaystyle \rho =\sum _{ij}\rho _{ij}|i\rangle \langle j|.}$

Уравнение фон Неймана показывает нам, как матрица плотности меняется со временем.

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho (t)=[H,\rho (t)]}$

В равновесии имеем , а разрешенные матрицы плотности . Канонический ансамбль имеет , где . ${\displaystyle [H,\rho ]=0}$ ${\displaystyle f(H)}$ ${\displaystyle \rho =\exp(-H/T)/Z}$ ${\displaystyle Z=\operatorname {Tr} \exp(-H/T)}$

Для системы с 2 состояниями можно записать . Здесь гиромагнитное отношение . Следовательно , ​​и ${\displaystyle H=-\gamma \hbar B\sigma _{3}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle Z=2\cosh(\gamma \hbar B/(2T))}$

${\displaystyle \rho (B,T)={\frac {1}{2\cosh(\gamma \hbar B/(2T))}}{\begin{pmatrix}\exp(-\gamma \hbar B/(2T))&0\\0&\exp(\gamma \hbar B/(2T))\end{pmatrix}}.}$

Из которого

${\displaystyle \langle J_{x}\rangle =\langle J_{y}\rangle =0,\langle J_{z}\rangle =-{\frac {\hbar }{2}}\tanh(\gamma \hbar B/(2T)).}$

Объяснение пара- и диамагнетизма с помощью теории возмущений

При наличии однородного внешнего магнитного поля вдоль направления z гамильтониан атома изменяется на ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Delta H=\alpha J_{z}B+\beta B^{2}\sum _{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}),}$

где — положительные действительные числа, которые не зависят от того, какой атом мы рассматриваем, но зависят от массы и заряда электрона. соответствует отдельным электронам атома. ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle i}$

Мы применяем теорию возмущений второго порядка к этой ситуации. Это оправдано тем фактом, что даже для самых высоких в настоящее время достижимых напряженностей поля сдвиги уровня энергии, вызванные довольно малы по отношению к энергиям возбуждения атома. Вырождение исходного гамильтониана обрабатывается выбором базиса, который диагонализируется в вырожденных подпространствах. Пусть будет таким базисом для состояния атома (а не электронов в атоме). Пусть будет изменением энергии в . Таким образом, мы получаем ${\displaystyle \Delta H}$ ${\displaystyle \Delta H}$ ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle \Delta E_{n}}$ ${\displaystyle |n\rangle }$

${\displaystyle \Delta E_{n}=\langle n|\Delta H|n\rangle +\sum _{m,E_{m}\neq E_{n}}{\frac {|\langle n|\Delta H|m\rangle |^{2}}{E_{n}-E_{m}}}.}$

В нашем случае мы можем игнорировать и члены более высокого порядка. Получаем ${\displaystyle B^{3}}$

${\displaystyle \Delta E_{n}=\alpha B\langle n|J_{z}|n\rangle +\alpha ^{2}B^{2}\sum _{m,E_{m}\neq E_{n}}{\frac {|\langle n|J_{z}|m\rangle |^{2}}{E_{n}-E_{m}}}+\beta B^{2}\sum _{i}\langle n|x_{i}^{2}+y_{i}^{2}|n\rangle .}$

В случае диамагнитного материала первые два члена отсутствуют, поскольку в основном состоянии они не имеют углового момента. В случае парамагнитного материала все три члена вносят вклад.

Добавление спин-спинового взаимодействия в гамильтониан: модель Изинга

До сих пор мы предполагали, что атомы не взаимодействуют друг с другом. Хотя это разумное предположение в случае диамагнитных и парамагнитных веществ, это предположение не выполняется в случае ферромагнетизма, где спины атома пытаются выровняться друг с другом в той степени, в которой это допускается тепловым возмущением. В этом случае мы должны рассмотреть гамильтониан ансамбля атома. Такой гамильтониан будет содержать все члены, описанные выше для отдельных атомов, и члены, соответствующие взаимодействию между парами атома. Модель Изинга является одним из простейших приближений такого парного взаимодействия.

${\displaystyle H_{\text{pairs}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{R,R'}S(R)\cdot S(R')J(R-R')}$

Здесь два атома пары находятся в . Их взаимодействие определяется их вектором расстояния . Для упрощения расчета часто предполагается, что взаимодействие происходит только между соседними атомами и является константой. Эффект такого взаимодействия часто аппроксимируется как среднее поле и, в нашем случае, поле Вейсса. ${\displaystyle R,R'}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R-R'}$ ${\displaystyle J}$

Изменение закона Кюри из-за поля Вейсса

Закон Кюри–Вейсса представляет собой адаптированную версию закона Кюри, который для парамагнитного материала может быть записан в единицах СИ следующим образом ^[1] , предполагая : ${\displaystyle \chi \ll 1}$ $${\displaystyle \chi ={\frac {M}{H}}\approx {\frac {M\mu _{0}}{B}}={\frac {C}{T}}.}$$

Здесь μ ₀ — проницаемость свободного пространства ; M — намагниченность ( магнитный момент на единицу объема), B = μ ₀ H — магнитное поле , а C — константа Кюри для конкретного материала : где k _B — постоянная Больцмана , N — число магнитных атомов (или молекул) на единицу объема, g — g -фактор Ланде , μ B _— магнетон Бора , J — квантовое число углового момента . ^[2] $${\displaystyle C={\frac {\mu _{0}\mu _{\rm {B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}Ng^{2}J(J+1),}$$

Для закона Кюри-Вейсса полное магнитное поле равно B + λM , где λ — постоянная молекулярного поля Вейсса, и затем ее можно переставить, чтобы получить закон Кюри-Вейсса , где температура Кюри T _C равна $${\displaystyle \chi ={\frac {M\mu _{0}}{B}}\rightarrow {\frac {M\mu _{0}}{B+\lambda M}}={\frac {C}{T}}}$$ $${\displaystyle \chi ={\frac {C}{T-{\frac {C\lambda }{\mu _{0}}}}}}$$ $${\displaystyle \chi ={\frac {C}{T-T_{\rm {C}}}}}$$ $${\displaystyle T_{\rm {C}}={\frac {C\lambda }{\mu _{0}}}}$$

Смотрите также

• закон Кюри
• Парамагнетизм
• Пьер Кюри
• Пьер-Эрнест Вайс
• Обмен взаимодействием

Примечания

1. Холл 1994, стр. 205–206.
2. Леви 1968, стр. 201–202.

Ссылки

• Киттель, Чарльз (1996). Введение в физику твердого тела (7-е изд.). Нью-Йорк [ua]: Wiley. ISBN 978-0471111818.
• Холл, Х. Э. Хук, Дж. Р. (1994). Физика твердого тела (2-е изд.). Чичестер: Wiley. ISBN 0471928054.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Леви, Роберт А. (1968). Принципы физики твердого тела . Academic Press. ISBN 978-0124457508.
• Нил Эшкрофт , Дэвид Мермин (1976). Физика твердого тела . Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 978-0-03-083993-1.

Внешние ссылки

• Магнетизм: модели и механизмы в книге Э. Паварини, Э. Коха и У. Шольвека: возникающие явления в коррелированной материи, Юлих, 2013 г., ISBN 978-3-89336-884-6