Закон исключенного третьего

Логическая теорема

В логике закон исключенного третьего (или принцип исключенного третьего ) утверждает, что для каждого предложения истинно либо это предложение , либо его отрицание . ^{[1] [2]} Это один из так называемых трёх законов мышления , наряду с законом непротиворечия и законом тождества . Однако ни одна система логики не построена только на этих законах, и ни один из этих законов не обеспечивает правил вывода , таких как modus ponens или законы Де Моргана .

Закон также известен как закон (или принцип ) исключенного третьего , на латыни principium tertii exclusi . Другое латинское обозначение этого закона — tertium non datur , или «третьей [возможности] не дано». В классической логике закон представляет собой тавтологию .

Этот принцип не следует путать с семантическим принципом бивалентности , который утверждает, что каждое предложение либо истинно, либо ложно. Принцип бивалентности всегда подразумевает закон исключенного третьего, тогда как обратное не всегда верно. Часто цитируемый контрпример использует утверждения, недоказуемые сейчас, но доказуемые в будущем, чтобы показать, что закон исключенного третьего может применяться, когда принцип бивалентности терпит неудачу. ^[3]

История

Аристотель

Самая ранняя известная формулировка содержится в обсуждении Аристотелем принципа непротиворечия , впервые предложенного в «Об интерпретации» [ ^4] , где он говорит, что из двух противоречивых предложений (т.е. когда одно предложение является отрицанием другого) одно должно быть истинным, а другой ложный. ^[5] Он также утверждает это как принцип в книге 3 «Метафизики» , говоря, что необходимо в каждом случае утверждать или отрицать, ^[6] и что невозможно, чтобы между двумя частями противоречия было что-то. ^[7]

Аристотель писал, что двусмысленность может возникнуть из-за употребления двусмысленных названий, но не может существовать в самих фактах:

Невозможно, следовательно, чтобы «быть человеком» означало именно «не быть человеком», если «человек» не только что-то обозначает в отношении одного предмета, но и имеет одно значение. … И быть и не быть одним и тем же будет невозможно, кроме как в силу двусмысленности, подобно тому, как если бы тот, кого мы называем «человеком», а другие должны были называть «не-человеком»; но дело не в том, может ли одна и та же вещь одновременно быть и не быть человеком по имени, а в том, может ли она быть на самом деле. ( Метафизика 4.4, WD Ross (пер.), GBWW 8, 525–526).

Утверждение Аристотеля о том, что «невозможно быть и не быть одним и тем же», можно было бы записать в логике высказываний как ~( P ∧ ~ P ). В современной так называемой классической логике это утверждение эквивалентно закону исключенного третьего ( P ∨ ~ P ) посредством распределения отрицания в утверждении Аристотеля. Первый утверждает, что ни одно утверждение не является одновременно истинным и ложным, а второй требует, чтобы любое утверждение было либо истинным, либо ложным.

Но Аристотель пишет еще: «поскольку невозможно, чтобы противоречия были одновременно истинны по отношению к одной и той же вещи, то, очевидно, и противоположности не могут одновременно принадлежать одной и той же вещи» (Книга IV, гл. 6, стр. 531). Затем он предполагает, что «не может быть промежуточного между противоречиями, но об одном предмете мы должны либо подтвердить, либо отрицать какое-либо одно предикат» (Книга IV, гл. 7, стр. 531). В контексте традиционной логики Аристотеля это удивительно точная формулировка закона исключенного третьего, P ∨ ~ P .

Также в «Об интерпретации » Аристотель, по-видимому, отрицает закон исключенного третьего в случае будущих контингентов в своем обсуждении морского сражения.

Лейбниц

Его обычная форма: «Всякое суждение либо истинно, либо ложно» [сноска 9]…» (из Колмогорова в van Heijenoort, стр. 421) сноска 9: «Это очень простая формулировка Лейбница (см. Nouveaux Essais , IV,2). )» (там же стр. 421)

Бертран Рассел и Principia Mathematica

Этот принцип был сформулирован как теорема логики высказываний Расселом и Уайтхедом в Principia Mathematica как :

${\displaystyle \mathbf {*2\cdot 11} .\ \ \vdash .\ p\ \vee \thicksim p}$. ^[8]

Так что же такое «истина» и «ложь»? Во время открытия премьер-министр быстро объявляет некоторые определения:

Истинные ценности . «Истинностное значение» предложения является истиной , если оно истинно, и ложью, если оно ложно* [*Эта фраза принадлежит Фреге]… истинностное значение «p ∨ q» является истиной, если истинностное значение предложения либо p, либо q является истиной, а в противном случае — ложью… «~ p» противоположно значению «p…» (стр. 7–8)

Это не такая уж большая помощь. Но позже, в гораздо более глубоком обсуждении («Определение и систематическая двусмысленность истины и лжи», глава II, часть III, стр. 41 и далее), ПМ определяет истину и ложь с точки зрения отношений между «а» и «б». и «перципиент». Например, «Этот «а» — это «б » (например, «Этот «объект а» — это «красный » ») на самом деле означает « объект а» — это чувственное данное» и « красный» — это чувственное данное». , и они «стоят по отношению» друг к другу и по отношению к «Я». Таким образом, на самом деле мы имеем в виду следующее: «Я воспринимаю, что «Этот объект a красный » », и это неоспоримая «истина» третьей стороны.

ПМ далее определяет различие между «чувственными данными» и «ощущением»:

То есть, когда мы судим (скажем) «это красное», возникает связь трех терминов: разума, «это» и «красного». С другой стороны, когда мы воспринимаем «красноту этого», существует связь двух терминов, а именно ума и сложного объекта «краснота этого» (стр. 43–44).

Рассел подтвердил свое различие между «чувственными данными» и «ощущением» в своей книге « Проблемы философии » (1912), опубликованной одновременно с PM (1910–1913):

Давайте назовем «чувственными данными» вещи, которые непосредственно познаются в ощущениях: такие вещи, как цвета, звуки, запахи, твердость, шероховатость и так далее. Мы назовем «ощущением» опыт непосредственного осознания этих вещей… Цвет сам по себе является чувственным данным, а не ощущением. (стр. 12)

Рассел далее описал свои рассуждения, лежащие в основе определений «истины» и «ложи» в той же книге (глава XII, « Истина и ложь» ).

Последствия закона исключенного третьего в Principia Mathematica

Из закона исключенного третьего, формулы ✸2.1 в Principia Mathematica , Уайтхед и Рассел вывели некоторые из наиболее мощных инструментов в арсенале аргументации логика. (В Principia Mathematica формулы и предложения обозначаются звездочкой и двумя цифрами, например «✸2.1».)

✸2.1 ~ p∨p «Это Закон исключенного третьего» ( ЛМ , стр . 101).

Доказательство ✸2.1 примерно следующее: «примитивная идея» 1.08 определяет p → q = ~ p ∨ q . Замена q на p в этом правиле дает p → p = ~ p ∨ p . Поскольку p → p истинно (это теорема 2.08, доказываемая отдельно), то ~ p ∨ p должно быть истинно.

✸2.11 p ∨ ~ p (Перестановка утверждений допускается аксиомой 1.4)
✸2.12 p → ~(~ p ) (Принцип двойного отрицания, часть 1: если «эта роза красная» истинно, то неверно, что « «эта роза не красная» истинно».)
✸2.13 p ∨ ~{~(~ p )} (лемма вместе с 2.12 использовалась для вывода 2.14)
✸2.14 ~(~ p ) → p (принцип двойного отрицания, часть 2)
✸2.15 (~ p → q ) → (~ q → p ) (Один из четырёх «Принципов транспонирования». Аналогично 1.03, 1.16 и 1.17. Здесь потребовалась очень длинная демонстрация.)
✸2.16 ( p → q ) → (~ q → ~ p ) (Если верно, что «Если эта роза красная, то эта свинья летает», то верно и то, что «Если эта свинья не летает, то эта роза не красная».)
✸ 2.17 ( ~ p → ~ q ) → ( q → p ) (Еще один из «Принципов транспозиции».)
✸2.18 (~ p → p ) → p (Называется «Дополнением доведения до абсурда ». В нем говорится, что предложение то, что следует из гипотезы собственной ложности, истинно» ( ПМ , с. 103–104).)

Большинство этих теорем, в частности ✸2.1, ✸2.11 и ✸2.14, отвергаются интуиционизмом. Эти инструменты преобразованы в другую форму, которую Колмогоров цитирует как «четыре аксиомы импликации Гильберта» и «две аксиомы отрицания Гильберта» (Колмогоров в van Heijenoort, стр. 335).

Предложения ✸2.12 и ✸2.14, «двойное отрицание»: Интуиционистские работы Л. Дж. Брауэра относятся к тому, что он называет « принципом взаимности множественных видов , то есть принципу, согласно которому для каждой системы правильность свойства следует из невозможность невозможности этого свойства» (Брауэр, там же, с. 335).

Этот принцип принято называть «принципом двойного отрицания» ( ПМ , стр. 101–102). Из закона исключенного третьего (✸2.1 и ✸2.11) ПМ немедленно выводит принцип ✸2.12. Мы заменяем p на ~ p в 2.11, чтобы получить ~ p ∨ ~(~ p ), и по определению импликации (т. е. 1.01 p → q = ~p ∨ q) тогда ~p ∨ ~(~p)= p → ~ (~р). QED (Вывод 2.14 немного сложнее.)

Райхенбах

Верно, по крайней мере для бивалентной логики (т.е. это можно увидеть с помощью карты Карно ), что этот закон удаляет «середину» инклюзивного или используется в его законе (3). И в этом суть доказательства Райхенбаха, согласно которой некоторые считают, что исключающее -или должно занять место включающего -или .

По этому поводу (в весьма технических терминах) Райхенбах отмечает:

Третье нон датур

29. ( Икс )[ ж ( Икс ) ∨ ~ ж ( Икс )]

не является исчерпывающим в основных терминах и, следовательно, представляет собой завышенную формулу. Этот факт, возможно, может объяснить, почему некоторые люди считают неразумным писать (29) с включающим «или» и хотят, чтобы оно было написано со знаком исключающего « или ».

30. ( x )[ f ( x ) ⊕ ~ f ( x )], где символ «⊕» означает исключительное-или ^[9]

в какой форме оно было бы полностью исчерпывающим и, следовательно, номологическим в более узком смысле. (Райхенбах, стр. 376)

В строке (30) «(x)» означает «для всех» или «для каждого» — форма, использованная Расселом и Райхенбахом; сегодня символизм обычно x . Таким образом, пример выражения будет выглядеть так: ${\displaystyle \forall }$

• ( свинья ): ( Мухи ( свинья ) ⊕ ~ Мухи ( свинья ))
• (Для всех видимых и невидимых случаев «свиньи»): («Свинья летает» или «Свинья не летает», но не то и другое одновременно)

Формалисты против интуиционистов

С конца 1800-х по 1930-е годы между Гильбертом и его последователями бушевали ожесточенные и упорные дебаты против Германа Вейля и Л. И. Брауэра . Философия Брауэра, называемая интуиционизмом , всерьез зародилась Леопольдом Кронекером в конце 1800-х годов.

Гильберту категорически не нравились идеи Кронекера:

Кронекер настаивал на том, что без строительства не может быть существования. Для него, как и для Пола Гордана [еще одного пожилого математика], доказательство Гильберта конечности базиса инвариантной системы было просто не математикой. Гильберт, с другой стороны, на протяжении всей своей жизни настаивал на том, что если можно доказать, что атрибуты, присвоенные понятию, никогда не приведут к противоречию, тем самым будет установлено математическое существование понятия (Рейд, стр. 34).

Это было его [Кронекера] утверждение, что нельзя сказать, что ничто имеет математическое существование, если оно не может быть фактически построено с использованием конечного числа положительных целых чисел (Рид, стр. 26).

Дебаты оказали глубокое влияние на Гильберта. Рид указывает, что вторая проблема Гильберта (одна из проблем Гильберта на Второй международной конференции в Париже в 1900 году) возникла в результате этих дебатов (курсив в оригинале):

В своей второй задаче [Гильберт] потребовал математического доказательства непротиворечивости аксиом арифметики действительных чисел.

Чтобы показать значимость этой проблемы, он добавил следующее наблюдение:

«Если понятию приписаны противоречивые атрибуты, я говорю, что математически это понятие не существует » (Рейд, стр. 71).

Таким образом, Гильберт говорил: «Если доказано, что оба р и ~ р истинны, то р не существует», и тем самым ссылался на закон исключенного третьего в форме закона противоречия.

И, наконец, конструктивисты… ограничили математику изучением конкретных операций над конечными или потенциально (но не фактически) бесконечными структурами; завершенные бесконечные совокупности… были отвергнуты, как и косвенные доказательства, основанные на Законе Исключенного Третьего. Наиболее радикальными среди конструктивистов были интуиционисты, возглавляемые бывшим топологом Л. Дж. Брауэром (Доусон, стр. 49).

Яростные дебаты продолжались с начала 1900-х по 1920-е годы; в 1927 году Брауэр жаловался на «полемику против него [интуиционизма] в насмешливых тонах» (Брауэр в ван Хейеноорте, стр. 492). Но дебаты были плодотворными: их результатом стали Principia Mathematica (1910–1913), и эта работа дала точное определение закону исключенного третьего, и все это обеспечило интеллектуальную среду и инструменты, необходимые математикам начала 20 века. :

Из злобы, отчасти порожденной ею, возникло несколько важных логических событий; Аксиоматизация теории множеств Цермело (1908a), за которой два года спустя последовал первый том Principia Mathematica , в котором Рассел и Уайтхед показали, как с помощью теории типов большая часть арифметики может быть разработана логицистскими средствами (Доусон, стр. 49)

Брауэр свел дебаты к использованию доказательств, построенных на основе «негативных» или «несуществующих» доказательств по сравнению с «конструктивными» доказательствами:

Согласно Брауэру, утверждение о том, что объект существует, обладающий данным свойством, означает и доказывается только тогда, когда известен метод, который, по крайней мере в принципе, позволит найти или сконструировать такой объект...

Гильберт, естественно, не согласился.

«Чистые доказательства существования были важнейшими вехами в историческом развитии нашей науки», — утверждал он. (Рид, стр. 155)

Брауэр отказался принять логический принцип исключенного третьего. Его аргумент был следующим:

«Предположим, что A — это утверждение: «Существует член множества S, обладающий свойством P ». Если множество конечно, возможно — в принципе — исследовать каждый член S и определить, существует ли член S со свойством P или что каждый член S не обладает свойством P ». (здесь отсутствовала заключительная кавычка). Поэтому для конечных множеств Брауэр принял принцип исключенного третьего как действительный. Он отказался принять его для бесконечных множеств, потому что, если множество S бесконечно, мы не можем — даже в принципе — исследовать каждого члена этого множества. Если в ходе нашего рассмотрения мы найдем член множества со свойством P , первый вариант будет обоснован; но если мы никогда не найдем такого члена, вторая альтернатива все равно не будет обоснована.

Поскольку математические теоремы часто доказываются путем установления того, что отрицание приведет нас к противоречию, эта третья возможность, предложенная Брауэром, поставила бы под сомнение многие из принятых в настоящее время математических утверждений.

«Отнять у математика принцип исключенного третьего, — сказал Гильберт, — это то же самое, что… запретить боксёру пользоваться кулаками».

«Возможная потеря, похоже, не беспокоила Вейля… Программа Брауэра была грядущей, - настаивал он на своих друзьях в Цюрихе». (Рид, стр. 149)

В своей лекции в 1941 году в Йеле и последующей статье Гёдель предложил решение: «отрицание универсального предложения следует понимать как утверждение существования… контрпримера» (Доусон, стр. 157).

Подход Гёделя к закону исключенного третьего заключался в утверждении, что возражения против «использования «импредикативных определений » » «имели больший вес», чем «закон исключенного третьего и связанные с ним теоремы исчисления высказываний» (Доусон, стр. 156). . Он предложил свою «систему Σ… и в заключение упомянул несколько применений своей интерпретации. Среди них было доказательство непротиворечивости интуиционистской логике принципа ~ (∀A: (A ∨ ~A)) (несмотря на противоречивость предположение ∃ A: ~ (A ∨ ~A))» (Доусон, стр. 157) (закрывающая скобка не была поставлена)

Дебаты, похоже, ослабли: математики, логики и инженеры продолжают использовать закон исключенного третьего (и двойного отрицания) в своей повседневной работе.

Интуиционистские определения закона (принципа) исключенного третьего

Нижеследующее освещает глубокую математическую и философскую проблему, стоящую за тем, что значит «знать», а также помогает прояснить, что подразумевает «закон» (т.е. что на самом деле означает закон). Выявляются их трудности с законом: они не хотят принимать в качестве истинных следствия, вытекающие из того, что не поддается проверке (непроверяемо, непознаваемо), или из невозможного или ложного. (Все цитаты взяты из ван Хейеноорта, курсив добавлен).

Брауэр предлагает свое определение «принципа исключенного третьего»; мы видим здесь также проблему «тестируемости»:

На основе только что упомянутой проверяемости для свойств, возникающих внутри конкретной конечной основной системы, действует «принцип исключенного третьего», то есть принцип, согласно которому для каждой системы каждое свойство либо правильно [richtig], либо невозможно . и в частности принцип взаимности дополнительных видов, т. е. принцип, согласно которому для всякой системы правильность свойства следует из невозможности невозможности этого свойства. (335) ^{[ нужна ссылка ]}

В определении Колмогорова цитируются две аксиомы отрицания Гильберта.

5. А → (~ А → Б )
6. ( А → B ) → { (~ А → B ) → B }

Первая аксиома отрицания Гильберта «все следует из ложного» появилась только с появлением символической логики, как и первая аксиома импликации… в то время как… рассматриваемая аксиома [аксиома 5] утверждает что-то о последствиях чего-то невозможно: мы должны принять В , если истинное суждение А считается ложным…

Вторая аксиома отрицания Гильберта выражает принцип исключенного третьего. Принцип выражен здесь в той форме, в которой он используется для выводов: если Б следует из А, так же как и из ~ А , то Б истинно. Его обычная форма «всякое суждение либо истинно, либо ложно» эквивалентна приведенной выше.

Из первой интерпретации отрицания, то есть запрета считать суждение истинным, невозможно получить уверенность в том, что принцип исключенного третьего истинен… Брауэр показал, что в случае таких трансфинитных суждений принцип исключенного третьего нельзя считать очевидным

сноска 9: «Это очень простая формулировка Лейбница (см. «Новые эссе» , IV, 2). Формулировка « А есть либо В , либо не- В » не имеет ничего общего с логикой суждений.

сноска 10: «Символически вторая форма выражается так

А ∨ ~ А

где ∨ означает «или». Эквивалентность двух форм легко доказывается (с. 421).

Примеры

Например, если P — это предложение:

Сократ смертен.

тогда закон исключенного третьего утверждает, что логическая дизъюнкция :

Либо Сократ смертен, либо Сократ не смертен.

истинно только в силу своей формы. То есть «среднее» положение, что Сократ ни смертен, ни несмертен, исключается логикой, и поэтому либо первая возможность ( Сократ смертен ), либо ее отрицание ( не тот случай, что Сократ смертен ) должно будь настоящим.

Ниже приводится пример аргумента, основанного на законе исключенного третьего. ^[10] Мы стремимся доказать, что

существуют два иррациональных числа и такое, которое является рациональным. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{b}}$

Известно, что иррационально (см. доказательство ). Рассмотрим число ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$.

Очевидно (исключено среднее), что это число либо рационально, либо иррационально. Если оно рационально, то доказательство завершено и

${\displaystyle a={\sqrt {2}}}$и . ${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$

А если иррационально, то пусть ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$и . ${\displaystyle b={\sqrt {2}}}$

Затем

${\displaystyle a^{b}=\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{\left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}\right)}={\sqrt {2}}^{2}=2}$,

и 2, безусловно, рационально. На этом доказательство завершается.

В приведенном выше аргументе утверждение «это число либо рационально, либо иррационально» вызывает закон исключенного третьего. Интуиционист , например, не принял бы этот аргумент без дополнительной поддержки этого утверждения . Это могло бы прийти в форме доказательства того, что рассматриваемое число на самом деле иррационально (или рационально, в зависимости от обстоятельств); или конечный алгоритм, который мог бы определить, является ли число рациональным.

Неконструктивные доказательства над бесконечностью

Приведенное выше доказательство является примером неконструктивного доказательства, запрещенного интуиционистами:

Доказательство неконструктивно, поскольку оно не дает конкретных чисел , удовлетворяющих теореме, а дает только две отдельные возможности, одна из которых должна работать. (На самом деле это иррационально, но простого доказательства этого факта не существует.) (Дэвис 2000:220). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$

(Конструктивные доказательства приведенного выше конкретного примера нетрудно привести; например, и легко показать, что они иррациональны, и доказательство, допускаемое интуиционистами). ${\displaystyle a={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle b=\log _{2}9}$ ${\displaystyle a^{b}=3}$

Под неконструктивным Дэвис подразумевает, что «доказательство того, что действительно существуют математические объекты, удовлетворяющие определенным условиям, не должно обеспечивать метод, позволяющий явно показать рассматриваемые объекты». (с. 85). Такие доказательства предполагают существование полной целостности — понятие, которое интуиционисты не допускают при его распространении на бесконечность — для них бесконечное никогда не может быть завершено:

В классической математике встречаются неконструктивные или косвенные доказательства существования, которые интуиционисты не принимают. Например, чтобы доказать существование n такого, что P ( n ), классический математик может вывести противоречие из предположения для всех n , а не P ( n ). Как в классической, так и в интуиционистской логике, путем доведения до абсурда это дает не для всех n, не P ( n ). Классическая логика позволяет преобразовать этот результат в следующее: существует n такое, что P ( n ), но не в общем интуиционистском… классическом смысле, что где-то в полной бесконечной совокупности натуральных чисел встречается n такое , что P ( n ), ему недоступно, поскольку он не мыслит натуральные числа как законченную совокупность. ^[11] (Клин 1952: 49–50)

Дэвид Гильберт и Льюитцен Э. Дж. Брауэр приводят примеры закона исключенного третьего, простирающегося до бесконечности. Пример Гильберта: «утверждение о том, что либо существует только конечное число простых чисел, либо их бесконечно много» (цитируется по Davis 2000:97); и Брауэра: «Каждый математический вид либо конечен, либо бесконечен». (Брауэр 1923 и ван Хейеноорт 1967:336). В общем, интуиционисты допускают использование закона исключенного третьего, когда он ограничивается рассуждениями о конечных коллекциях (множествах), но не тогда, когда он используется в рассуждениях о бесконечных множествах (например, натуральных числах). Таким образом, интуиционисты абсолютно отвергают общее утверждение: «Для всех предложений P , касающихся бесконечных множеств D : P или ~ P » (Kleene 1952:48). ^[12]

Предполагаемые контрпримеры к закону исключенного третьего включают парадокс лжеца или парадокс Куайна . Некоторые решения этих парадоксов, в частности, диалетеизм Грэма Приста , формализованный в LP, имеют в качестве теоремы закон исключенного третьего, но разрешают Лжеца как истинного и ложного. Таким образом, закон исключенного третьего верен, но поскольку сама истина и, следовательно, дизъюнкция не являются исключительными, он почти ничего не говорит о том, является ли одно из дизъюнктов парадоксальным или одновременно истинным и ложным.

Критика

Чатушкоти (тетралемма) — это древняя альтернатива закону исключенного третьего, которая исследует все четыре возможных присвоения истинностных значений предложению и его отрицанию . Это сыграло важную роль в индийской логике и буддийской логике , а также в древнегреческой философской школе, известной как пирронизм .

Многие современные логические системы заменяют закон исключенного третьего концепцией отрицания как неудачи . Вместо того чтобы быть либо истинным, либо ложным, предложение либо истинно, либо его истинность не может быть доказана. ^[13] Эти две дихотомии различаются только в логических системах, которые не являются полными . Принцип отрицания как неудачи лежит в основе автоэпистемической логики и широко применяется в логическом программировании . В этих системах программист волен утверждать закон исключенного третьего как истинный факт, но он априори не встроен в эти системы.

Такие математики, как Л. Э. Дж. Брауэр и Аренд Хейтинг, также оспаривали полезность закона исключенного третьего в контексте современной математики. ^[14]

В математической логике

В современной математической логике утверждается, что исключенное третье приводит к возможному внутреннему противоречию . В логике возможно составить хорошо построенные предложения, которые не могут быть ни истинными, ни ложными; распространенным примером этого является « парадокс лжеца », ^[15] утверждение «это утверждение ложно», которое, как утверждается, само по себе не является ни истинным, ни ложным. Артур Прайор утверждал, что «Парадокс» не является примером утверждения, которое не может быть истинным или ложным. Закон исключенного третьего по-прежнему действует, поскольку отрицание этого утверждения «Это утверждение не является ложным» может быть признано истинным. В теории множеств такой самореферентный парадокс можно построить, исследуя множество «множество всех множеств, которые не содержат самих себя». Этот набор определен однозначно, но приводит к парадоксу Рассела : ^{[16] [17]} содержит ли этот набор в качестве одного из своих элементов самого себя? Однако в современной теории множеств Цермело–Френкеля противоречие такого типа больше не допускается. Более того, парадоксы самореференции можно конструировать, даже не прибегая к отрицанию, как в парадоксе Карри . ^{[ нужна цитата ]}

Аналогичные законы

Некоторые системы логики имеют разные, но аналогичные законы. Для некоторых конечных n -значных логик существует аналогичный закон, называемый законом исключенного n +1-го . Если отрицание является циклическим и «∨» является «максимальным оператором», то закон может быть выражен на объектном языке как (P ∨ ~P ∨ ~~P ∨ ... ∨ ~...~P), где « ~...~» представляет собой n −1 знаков отрицания и «∨ ... ∨» n −1 знаков дизъюнкции. Легко проверить, что предложение должно получить хотя бы одно из n значений истинности (а не значение, не входящее в число n ).

Другие системы полностью отвергают закон. ^{[ указать ]}

Закон слабого, исключающий среднего

Особенно хорошо изученную промежуточную логику дает логика Де Моргана , которая добавляет к интуиционистской логике аксиому , которую иногда называют законом слабого исключенного третьего. ${\displaystyle \neg P\lor \neg \neg P}$

Это эквивалентно нескольким другим утверждениям:

• Удовлетворение всем законам Де Моргана, включая ${\displaystyle \neg (P\land Q)\,\leftrightarrow \,\neg P\lor \neg Q}$
• ${\displaystyle (P\to Q)\lor (\neg P\to \neg Q)}$
• ${\displaystyle (P\to (Q\lor \neg R))\to ((P\to Q)\lor (P\to \neg R))}$

Смотрите также

• Полемика Брауэра-Гильберта  - фундаментальная полемика в математике двадцатого века Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта: отчет о формалистско-интуиционистском разделении вокруг закона исключенного третьего
• Consequentia mirabilis  - Образец рассуждения в логике высказываний
• Конструктивная теория множеств
• Теорема Диаконеску
• Дихотомия  – разделение целого ровно на две непересекающиеся части; диадические отношения и процессы
• Закон исключенного четвертого  – Система, включающая неопределенную величинуСтраницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Закон исключенного третьего неверен в многозначной логике  – Исчисление высказываний, в котором имеется более двух значений истинности, например, троичная логика  – Система, включающая неопределенное значение Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.и нечеткую логику  – Система рассуждений о неопределенности
• Законы мышления  – Аксиомы рационального дискурсаСтраницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Ограниченный принцип всеведения  - математическая концепция
• Логический график  - Диаграмма графического синтаксиса: графический синтаксис для логики высказываний.
• Логический детерминизм  - точка зрения, что утверждение о будущем либо обязательно истинно, либо его отрицание обязательно истинно Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта: приложение исключено от среднего до модального  - Тип формальных логических предложений.
• Математический конструктивизм
• Неутверждающее отрицание в Прасангике  - доктринальное различие в Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.школе тибетского буддизма, еще одна система, в которой закон исключенного третьего неверен.
• Закон Пирса  - аксиома, используемая в логике и философии: еще один способ превратить интуицию в классическую.

Сноски

1. «Законы мышления». Британская энциклопедия . Проверено 20 марта 2021 г.
2. «Реализм - Метафизический реализм и объективная истина». Британская энциклопедия . Проверено 20 марта 2021 г.
3. Томасси, Пол (1999). Логика. Рутледж. п. 124. ИСБН 978-0-415-16696-6.
4. PT Geach, Закон исключенного третьего в вопросах логики, с. 74
5. Об интерпретации , c. 9
6. Метафизика Б 2, 996b 26–30.
7. Метафизика Γ 7, 1011b 26–27.
8. Альфред Норт Уайтхед , Бертран Рассел (1910), Principia Mathematica, Кембридж , стр. 105
9. Первоначальный символ, использованный Райхенбахом, представляет собой перевернутую букву V, которая в настоящее время используется для обозначения AND. И для Райхенбаха такое же, как и в Principia Mathematica – «точка», ср. 27, где он показывает таблицу истинности, в которой определяет слово «ab». Райхенбах определяет исключительное-или на стр. 35 как «отрицание эквивалентности». Одним из знаков, используемых в настоящее время, является круг с + в нем, то есть ⊕ (потому что в двоичном формате a ⊕ b дает сложение по модулю 2 – сложение без переноса). Другие знаки: ≢ (не идентично) или ≠ (не равно).
10. Этот известный пример неконструктивного доказательства, зависящего от закона исключенного третьего, можно найти во многих местах, например: Мегилл, Норман. Метаматематика: компьютерный язык для чистой математики. сноска на стр. 17.и Дэвис 2000:220, сноска 2.
11. В сравнительном анализе (стр. 43–59) трех «-измов» (и их главных представителей) - логицизма (Рассел и Уайтхед), интуиционизма (Брауэр) и формализма (Гильберт) - Клини обращает свой внимательный взгляд на интуиционизм. , его «основателя» Брауэра и жалобы интуиционистов на закон исключенного третьего применительно к аргументам о «завершенной бесконечности».
12. Дополнительную информацию о конфликте между интуиционистами (например, Брауэром) и формалистами (Гильбертом) см. в разделе « Основы математики и интуиционизма» .
13. Кларк, Кейт (1978). Логика и базы данных (PDF) . Спрингер-Верлаг . С. 293–322 (Отрицание как неудача). дои : 10.1007/978-1-4684-3384-5_11.
14. Детлефсен, Майкл (январь 1992 г.). «Доказательства и знания в математике» Майкла Детлефсена. ISBN 9780415068055.
15. Священник, Грэм (28 ноября 2010 г.). «Парадоксальная истина». Мнение . Проверено 10 сентября 2023 г.
16. Кевин К. Клемент, «Парадокс Рассела». Интернет-энциклопедия философии .
17. Священник, Грэм (1983). «Логические парадоксы и закон исключенного третьего». Философский ежеквартальный журнал . 33 (131): 160–165. дои : 10.2307/2218742. JSTOR  2218742.

Рекомендации

• Аквинский, Фома , « Summa Theologica », Отцы английской Доминиканской провинции (пер.), Дэниел Дж. Салливан (ред.), тт. 19–20 в Роберте Мейнарде Хатчинсе (редактор), Великие книги западного мира , Британская энциклопедия, Inc., Чикаго, Иллинойс, 1952. Цитируется как GB 19–20.
• Аристотель , « Метафизика », В.Д. Росс (пер.), т. 8 в Роберте Мейнарде Хатчинсе (ред.), Великие книги западного мира , Британская энциклопедия, Inc., Чикаго, Иллинойс, 1952. Цитируется как GB 8. Первая публикация, WD Ross (пер.), Работы Аристотеля , Оксфорд. Университетское издательство, Оксфорд, Великобритания.
• Мартин Дэвис 2000, Логические машины: математики и происхождение компьютера , WW Norton & Company, Нью-Йорк, Нью-Йорк, ISBN 0-393-32229-7 pbk. 
• Доусон, Дж. , Логические дилеммы, Жизнь и работа Курта Гёделя , А. К. Питерс, Уэлсли, Массачусетс, 1997.
• ван Хейеноорт, Дж. , От Фреге до Гёделя, Справочник по математической логике, 1879–1931 , издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, 1967. Перепечатано с исправлениями, 1977.
• Луицен Эгберт Ян Брауэр , 1923, О значении принципа исключенного третьего в математике, особенно в теории функций [перепечатано с комментариями, с. 334, ван Хейеноорт]
• Андрей Николаевич Колмогоров , 1925, О принципе исключенного третьего , [перепечатано с комментариями, с. 414, ван Хейеноорт]
• Луицен Эгберт Ян Брауэр , 1927, Об областях определения функций , [перепечатано с комментариями, стр. 446, van Heijenoort] Хотя это и не имеет прямого отношения к делу, Брауэр в своей работе (1923) использует определенные слова, определенные в этой статье.
• Луицен Эгберт Ян Брауэр , 1927 (2), Интуиционистские размышления о формализме , [перепечатано с комментариями, стр. 490, ван Хейеноорт]
• Стивен К. Клини , оригинальное издание 1952 г., 6-е издание с исправлениями 1971 г., 10-е издание 1991 г., « Введение в метаматематику» , издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, Нью-Йорк, ISBN 0-7204-2103-9 . 
• Нил, В. и Нил, М. , Развитие логики , Oxford University Press, Оксфорд, Великобритания, 1962. Перепечатано с исправлениями, 1975.
• Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел , Principia Mathematica до *56 , Кембридж в University Press, 1962 г. (второе издание 1927 г., перепечатано). Чрезвычайно сложно из-за тайной символики, но необходимо для серьезных логиков.
• Бертран Рассел , Исследование смысла и истины . Лекции Уильяма Джеймса в 1940 году, прочитанные в Гарвардском университете.
• Бертран Рассел , «Проблемы философии, с новым введением», Джон Перри , Oxford University Press, Нью-Йорк, издание 1997 года (впервые опубликовано в 1912 году). Легко читать.
• Бертран Рассел , Искусство философствования и другие эссе , Littlefield, Adams & Co., Тотова, Нью-Джерси, издание 1974 года (впервые опубликовано в 1968 году). Включает замечательное эссе на тему «Искусство делать выводы».
• Ганс Райхенбах , Элементы символической логики , Дувр, Нью-Йорк, 1947, 1975.
• Том Митчелл , Машинное обучение , WCB McGraw–Hill, 1997.
• Констанс Рид , Гильберт , Коперник: Springer-Verlag New York, Inc., 1996, впервые опубликовано в 1969 году. Содержит множество биографической информации, во многом полученной из интервью.
• Барт Коско , Нечеткое мышление: Новая наука нечеткой логики , Гиперион, Нью-Йорк, 1993. Нечеткое мышление во всей красе, но хорошее введение в концепции.
• Дэвид Хьюм , «Исследование о человеческом понимании» , перепечатано в «Больших книгах Британской энциклопедии западного мира», том 35, 1952, стр. 449 и далее. Эта работа была опубликована Юмом в 1758 году как переработка его «юношеского» « Трактата о человеческой природе: попытка внедрить экспериментальный метод рассуждения в моральные предметы», том. «Я, о понимании» , впервые опубликовано в 1739 году, переиздано как: Дэвид Хьюм, Трактат о человеческой природе , Penguin Classics, 1985. См. также: Дэвид Эпплбаум , Видение Юма , Вега, Лондон, 2001: переиздание части книги « Я, о понимании» Расследование начинается на стр. 94 и далее

Внешние ссылки

• Запись «Противоречие» в Стэнфордской энциклопедии философии.