Закрытие (математика)

Операция над подмножествами множества

В математике подмножество заданного множества замкнуто относительно операции большего множества, если выполнение этой операции над членами подмножества всегда производит члена этого подмножества. Например, натуральные числа замкнуты относительно сложения, но не относительно вычитания: 1 − 2 не является натуральным числом, хотя и 1, и 2 являются таковыми.

Аналогично, подмножество называется замкнутым относительно набора операций, если оно замкнуто относительно каждой из операций в отдельности.

Закрытие подмножества — это результат оператора замыкания, примененного к подмножеству. Закрытие подмножества при некоторых операциях — это наименьшее надмножество, которое замкнуто при этих операциях. Его часто называют диапазоном ( например, линейным диапазоном ) или сгенерированным набором .

Определения

Пусть S — множество, оснащенное одним или несколькими методами для получения элементов S из других элементов S. [ ^{примечание 1]} Подмножество X множества S называется замкнутым относительно этих методов, если, когда все входные элементы находятся в X , то все возможные результаты также находятся в X. Иногда можно также сказать, что X имеетзакрытие собственности .

Основное свойство замкнутых множеств, которое следует непосредственно из определения, состоит в том, что каждое пересечение замкнутых множеств является замкнутым множеством. Из этого следует, что для каждого подмножества Y из S существует наименьшее замкнутое подмножество X из S такое, что (это пересечение всех замкнутых подмножеств, содержащих Y ) . В зависимости от контекста, X называется замыканием Y или множеством , порожденным или охватываемым Y . ${\displaystyle Y\subseteq X}$

Понятия замкнутых множеств и замыкания часто распространяются на любое свойство подмножеств, которые устойчивы относительно пересечения; то есть, каждое пересечение подмножеств, которые обладают свойством, также обладает свойством. Например, в замкнутом по Зарисскому множестве , также известном как алгебраическое множество , есть множество общих нулей семейства многочленов, а замыкание по Зарисскому множества V точек есть наименьшее алгебраическое множество, которое содержит V . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$

В алгебраических структурах

Алгебраическая структура — это множество, оснащённое операциями , которые удовлетворяют некоторым аксиомам . Эти аксиомы могут быть тождествами . Некоторые аксиомы могут содержать квантификаторы существования, в этом случае стоит добавить некоторые вспомогательные операции, чтобы все аксиомы стали тождествами или чисто универсально квантифицированными формулами. Подробности см. в разделе Алгебраическая структура . Множество с одной бинарной операцией , которая замкнута, называется магмой . ${\displaystyle \exists ;}$

В этом контексте, если задана алгебраическая структура S , подструктура S — это подмножество, замкнутое относительно всех операций S , включая вспомогательные операции, необходимые для избежания кванторов существования. Подструктура — это алгебраическая структура того же типа, что и S. Из этого следует, что в конкретном примере, когда доказана близость, нет необходимости проверять аксиомы для доказательства того, что подструктура является структурой того же типа.

Если задано подмножество X алгебраической структуры S , то замыкание X — это наименьшая подструктура S , которая замкнута относительно всех операций S. В контексте алгебраических структур это замыкание обычно называется подструктурой, порожденной или охватываемой X , и говорят, что X является порождающим множеством подструктуры.

Например, группа — это множество с ассоциативной операцией , часто называемой умножением , с единичным элементом , таким образом, что каждый элемент имеет обратный элемент . Здесь вспомогательными операциями являются нулевая операция, которая приводит к единичному элементу, и унарная операция инверсии. Подмножество группы, замкнутое относительно умножения и инверсии, также замкнуто относительно нулевой операции (то есть содержит единицу) тогда и только тогда, когда оно непусто. Таким образом, непустое подмножество группы, замкнутое относительно умножения и инверсии, — это группа, которая называется подгруппой . Подгруппа, порожденная одним элементом, то есть замыкание этого элемента, называется циклической группой .

В линейной алгебре замыкание непустого подмножества векторного пространства (при операциях векторного пространства, то есть сложении и скалярном умножении) является линейной оболочкой этого подмножества. Это векторное пространство согласно предыдущему общему результату, и можно легко доказать, что является множеством линейных комбинаций элементов подмножества.

Подобные примеры можно привести почти для каждой алгебраической структуры, иногда с некоторой специфической терминологией. Например, в коммутативном кольце замыкание одного элемента относительно идеальных операций называется главным идеалом .

Бинарные отношения

Бинарное отношение на множестве A может быть определено как подмножество R множества упорядоченных пар элементов A. Обозначение обычно используется для Многие свойства или операции над отношениями могут использоваться для определения замыканий. Некоторые из наиболее распространенных из них следующие: ${\displaystyle A\times A,}$ ${\displaystyle xRy}$ ${\displaystyle (x,y)\in R.}$

Рефлексивность

Отношение R на множестве A является рефлексивным , если для каждого A каждое пересечение рефлексивных отношений рефлексивно, это определяет замыкание. Рефлексивное замыкание отношения R , таким образом, ${\displaystyle (x,x)\in R}$ ${\displaystyle x\in A.}$ $${\displaystyle R\cup \{(x,x)\mid x\in A\}.}$$

Симметрия

Симметрия — это унарная операция , которая отображает отношение A в Отношение симметрично , если оно замкнуто относительно этой операции, а симметричное замыкание отношения R — это его замыкание относительно этого отношения. ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (y,x).}$

Транзитивность

Транзитивность определяется частичной бинарной операцией , которая отображает и в Отношение транзитивно, если оно замкнуто относительно этой операции, а транзитивное замыкание отношения является его замыканием относительно этой операции. ${\displaystyle A\times A}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (y,z)}$ ${\displaystyle (x,z).}$

Предпорядок — это отношение, которое является рефлексивным и транзитивным. Из этого следует, что рефлексивное транзитивное замыкание отношения — это наименьшее предпорядок, его содержащее. Аналогично рефлексивное транзитивное симметричное замыкание или эквивалентное замыкание отношения — это наименьшее отношение эквивалентности , его содержащее.

Другие примеры

• В теории матроидов замыкание X — это наибольшее надмножество X , имеющее тот же ранг, что и X.
• Транзитивное замыкание множества . [ ^1]
• Алгебраическое замыкание поля . ^[2 ]
• Целое замыкание области целостности в поле, которое ее содержит.
• Радикал идеала в коммутативном кольце .
• В геометрии выпуклая оболочка множества точек S — это наименьшее выпуклое множество , подмножеством которого является S. ^[3]
• В формальных языках замыкание Клини языка можно описать как набор строк, которые могут быть получены путем конкатенации нуля или более строк из этого языка.
• В теории групп сопряженное замыкание или нормальное замыкание множества элементов группы — это наименьшая нормальная подгруппа, содержащая это множество.
• В математическом анализе и теории вероятностей замыкание совокупности подмножеств X относительно счетного числа операций над множествами называется σ-алгеброй , порожденной совокупностью.

Оператор закрытия

В предыдущих разделах замыкания рассматривались для подмножеств заданного множества. Подмножества множества образуют частично упорядоченное множество (посет) для включения . Операторы замыкания позволяют обобщить концепцию замыкания на любое частично упорядоченное множество.

Для заданного частично упорядоченного множества S, частичный порядок которого обозначен как ≤ , оператор замыкания на S — это функция , которая ${\displaystyle C:S\to S}$

• увеличивается ( для всех ), ${\displaystyle x\leq C(x)}$ ${\displaystyle x\in S}$
• идемпотент ( ), и ${\displaystyle C(C(x))=C(x)}$
• монотонный ( ). ^[4] ${\displaystyle x\leq y\implies C(x)\leq C(y)}$

Эквивалентно, функция из S в S является оператором замыкания, если для всех ${\displaystyle x\leq C(y)\iff C(x)\leq C(y)}$ ${\displaystyle x,y\in S.}$

Элемент S замкнут , если он является своим собственным замыканием, то есть если По идемпотентности элемент замкнут тогда и только тогда, когда он является замыканием некоторого элемента S. ${\displaystyle x=C(x).}$

Примером является оператор топологического замыкания ; в характеристике Куратовского аксиомы K2, K3, K4' соответствуют указанным выше определяющим свойствам. Примером, не работающим с подмножествами, является функция потолка , которая отображает каждое действительное число x в наименьшее целое число, не меньшее x .

Оператор замыкания против закрытых множеств

Замыкание на подмножествах данного множества может быть определено либо оператором замыкания, либо множеством замкнутых множеств, которое устойчиво относительно пересечения и включает данное множество. Эти два определения эквивалентны.

Действительно, определяющие свойства оператора замыкания C подразумевают, что пересечение замкнутых множеств замкнуто: если является пересечением замкнутых множеств, то должно содержать X и содержаться в каждом Это следует из определения пересечения. ${\textstyle X=\bigcap X_{i}}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle C(X)=X}$

Наоборот, если заданы замкнутые множества и каждое пересечение замкнутых множеств замкнуто, то можно определить оператор замыкания C такой, что является пересечением замкнутых множеств, содержащих X. ${\displaystyle C(X)}$

Эта эквивалентность остается верной для частично упорядоченных множеств со свойством наибольшей нижней границы , если заменить «замкнутые множества» на «замкнутые элементы», а «пересечение» на «наибольшую нижнюю границу».

Примечания

1. Операции и ( частичные ) многомерные функции являются примерами таких методов. Если S — топологическое пространство , предел последовательности элементов S является примером, где имеется бесконечное количество входных элементов, а результат не всегда определен. Если S — поле, корни в S многочлена с коэффициентами в S являются другим примером, где результат может быть неоднозначным.

Ссылки

• Математический портал

1. Weisstein, Eric W. "Transitive Closure". mathworld.wolfram.com . Получено 25.07.2020 .
2. Weisstein, Eric W. "Algebraic Closure". mathworld.wolfram.com . Получено 25.07.2020 .
3. Бернстайн, Деннис С. (2005). Матричная математика: теория, факты и формулы с применением к теории линейных систем. Princeton University Press. стр. 25. ISBN 978-0-691-11802-4. ...выпуклая оболочка S, обозначаемая coS, — это наименьшее выпуклое множество, содержащее S.
4. Биркгофф, Гарретт (1967). Теория решеток . Colloquium Publications. Т. 25. Am. Math. Soc. стр. 111. ISBN 9780821889534.

• Вайсштейн, Эрик В. «Алгебраическое замыкание». MathWorld .