Неограниченный оператор

Линейный оператор, определенный на плотном линейном подпространстве

В математике , а точнее в функциональном анализе и теории операторов , понятие неограниченного оператора обеспечивает абстрактную основу для работы с дифференциальными операторами , неограниченными наблюдаемыми в квантовой механике и другими случаями.

Термин «неограниченный оператор» может ввести в заблуждение, поскольку

• «неограниченный» иногда следует понимать как «не обязательно ограниченный»;
• «оператор» следует понимать как « линейный оператор » (как в случае «ограниченного оператора»);
• область определения оператора — линейное подпространство , не обязательно всё пространство;
• это линейное подпространство не обязательно замкнуто ; часто (но не всегда) оно предполагается плотным ;
• В частном случае ограниченного оператора, как правило, предполагается, что областью определения является все пространство.

В отличие от ограниченных операторов , неограниченные операторы в заданном пространстве не образуют алгебру или даже линейное пространство, поскольку каждый из них определен в своей собственной области определения.

Термин «оператор» часто означает «ограниченный линейный оператор», но в контексте данной статьи он означает «неограниченный оператор» с оговорками, сделанными выше.

Краткая история

Теория неограниченных операторов была разработана в конце 1920-х и начале 1930-х годов в рамках разработки строгой математической основы квантовой механики . ^[1] Развитие теории принадлежит Джону фон Нейману ^[2] и Маршаллу Стоуну . ^[3] Фон Нейман ввел использование графов для анализа неограниченных операторов в 1932 году. ^[4]

Определения и основные свойства

Пусть X , Y — банаховы пространства . Неограниченный оператор (или просто оператор ) T  : D ( T ) → Y — это линейное отображение T из линейного подпространства D ( T ) ⊆ X — области определения T — в пространство Y . ^[5] Вопреки обычному соглашению, T может быть не определен на всем пространстве X .

Оператор T называется замкнутым , если его график Γ( T ) является замкнутым множеством . ^[6] (Здесь график Γ( T ) является линейным подпространством прямой суммы X ⊕ Y , определяемым как множество всех пар ( x , Tx ) , где x пробегает область определения T  .) Явно это означает, что для любой последовательности { x _n } точек из области определения T такой, что x _n → x и Tx _n → y , выполняется, что x принадлежит области определения T и Tx = y . ^[6] Замкнутость также можно сформулировать в терминах нормы графика : оператор T замкнут тогда и только тогда, когда его область определения D ( T ) является полным пространством относительно нормы: ^[7]

${\displaystyle \|x\|_{T}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}.}$

Оператор T называется плотно определенным, если его область определения плотна в X . ^[5] Это также включает операторы, определенные во всем пространстве X , поскольку все пространство плотно само по себе. Плотность области определения необходима и достаточна для существования сопряженного (если X и Y являются гильбертовыми пространствами) и транспонированного; см. разделы ниже.

Если T  : D ( T ) → Y замкнуто, плотно определено и непрерывно в своей области определения, то его область определения — это все X . ^{[примечание 1]}

Плотно определенный симметричный ^{[ требуется пояснение ]} оператор T в гильбертовом пространстве H называется ограниченным снизу, если T + a — положительный оператор для некоторого действительного числа a . То есть, ⟨ Tx | x ⟩ ≥ − a || x || ² для всех x в области определения T (или, альтернативно, ⟨ Tx | x ⟩ ≥ a || x || ² , поскольку a произвольно). ^[8] Если и T , и − T ограничены снизу, то T ограничен. ^[8]

Пример

Пусть C ([0, 1]) обозначает пространство непрерывных функций на единичном интервале, а C ¹ ([0, 1]) обозначает пространство непрерывно дифференцируемых функций. Мы снабжаем его супремум-нормой, , делая его банаховым пространством. Определим оператор классического дифференцирования ⁠ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$г/дх⁠  : C ¹ ([0, 1]) → C ([0, 1]) по обычной формуле:

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}f\right)(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},\qquad \forall x\in [0,1].}$

Каждая дифференцируемая функция непрерывна, поэтому C ¹ ([0, 1]) ⊆ C ([0, 1]) . Мы утверждаем, что ⁠г/дх⁠  : C ([0, 1]) → C ([0, 1]) — это хорошо определенный неограниченный оператор с областью определения C ¹ ([0, 1]) . Для этого нам нужно показать, чтоявляется линейным, а затем, например, указать некоторыетакие, чтои. ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n}\subset C^{1}([0,1])}$ ${\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }=1}$ ${\displaystyle \sup _{n}\|{\frac {d}{dx}}f_{n}\|_{\infty }=+\infty }$

Это линейный оператор, поскольку линейная комбинация a f  + bg двух непрерывно дифференцируемых функций f  , g также непрерывно дифференцируема, и 

${\displaystyle \left({\tfrac {d}{dx}}\right)(af+bg)=a\left({\tfrac {d}{dx}}f\right)+b\left({\tfrac {d}{dx}}g\right).}$

Оператор не ограничен. Например,

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [-1,1]\\f_{n}(x)=\sin(2\pi nx)\end{cases}}}$

удовлетворять

${\displaystyle \left\|f_{n}\right\|_{\infty }=1,}$

но

${\displaystyle \left\|\left({\tfrac {d}{dx}}f_{n}\right)\right\|_{\infty }=2\pi n\to \infty }$

как . ${\displaystyle n\to \infty }$

Оператор плотно определен и замкнут.

Тот же оператор может рассматриваться как оператор Z → Z для многих выборов банахова пространства Z и не быть ограниченным между любым из них. В то же время он может быть ограничен как оператор X → Y для других пар банаховых пространств X , Y , а также как оператор Z → Z для некоторых топологических векторных пространств Z . ^{[ необходимо пояснение ]} В качестве примера пусть I ⊂ R будет открытым интервалом и рассмотрим

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}:\left(C^{1}(I),\|\cdot \|_{C^{1}}\right)\to \left(C(I),\|\cdot \|_{\infty }\right),}$

где:

${\displaystyle \|f\|_{C^{1}}=\|f\|_{\infty }+\|f'\|_{\infty }.}$

Примыкающий

Сопряженный оператор неограниченного оператора может быть определен двумя эквивалентными способами. Пусть — неограниченный оператор между гильбертовыми пространствами. ${\displaystyle T:D(T)\subseteq H_{1}\to H_{2}}$

Во-первых, его можно определить аналогично тому, как определяется сопряженный оператор ограниченного оператора. А именно, сопряженный оператор T определяется как оператор со свойством: Точнее, определяется следующим образом. Если таково, что является непрерывным линейным функционалом на области определения T , то объявляется элементом и после расширения линейного функционала на все пространство с помощью теоремы Хана–Банаха , можно найти некоторые в такие, что поскольку теорема о представлении Рисса позволяет отождествить непрерывный сопряженный к гильбертову пространству набор линейных функционалов, заданных скалярным произведением. Этот вектор однозначно определяется тогда и только тогда, когда линейный функционал плотно определен; или, что эквивалентно, если T плотно определен. Наконец, позволяя завершает построение , которое обязательно является линейным отображением. Сопряжённый существует тогда и только тогда, когда T плотно определен. ${\displaystyle T^{*}:D\left(T^{*}\right)\subseteq H_{2}\to H_{1}}$ $${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\left\langle x\mid T^{*}y\right\rangle _{1},\qquad x\in D(T).}$$ ${\displaystyle T^{*}y}$ ${\displaystyle y\in H_{2}}$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle D\left(T^{*}\right),}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle H_{1}}$ $${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid z\rangle _{1},\qquad x\in D(T),}$$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$ ${\displaystyle T^{*}y=z}$ ${\displaystyle T^{*},}$ ${\displaystyle T^{*}y}$

По определению, область определения состоит из элементов из , таких что непрерывна на области определения T . Следовательно, область определения может быть любой; она может быть тривиальной (то есть содержать только нуль). ^[9] Может случиться, что область определения является замкнутой гиперплоскостью и обращается в нуль всюду на области определения. ^{[10] [11]} Таким образом, ограниченность на своей области определения не влечет ограниченность T . С другой стороны, если определено на всем пространстве, то T ограничен на своей области определения и, следовательно, может быть расширено по непрерывности до ограниченного оператора на всем пространстве. ^{[nb 2]} Если область определения плотна, то она имеет своего сопряженного ^[12] Замкнутый плотно определенный оператор T ограничен тогда и только тогда, когда ограничен. ^{[nb 3]} ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{**}.}$ ${\displaystyle T^{*}}$

Другое эквивалентное определение сопряженного оператора можно получить, заметив общий факт. Определим линейный оператор следующим образом: ^[12] Поскольку — изометрическая сюръекция, он унитарен. Следовательно: — график некоторого оператора тогда и только тогда, когда T плотно определен. ^[13] Простой расчет показывает, что этот «некоторый» удовлетворяет: для каждого x в области определения T . Таким образом, — сопряженный оператор T . ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle {\begin{cases}J:H_{1}\oplus H_{2}\to H_{2}\oplus H_{1}\\J(x\oplus y)=-y\oplus x\end{cases}}}$$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J(\Gamma (T))^{\bot }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid Sy\rangle _{1},}$$ ${\displaystyle S}$

Из приведенного выше определения немедленно следует, что сопряженный оператор замкнут. ^[12] В частности, самосопряженный оператор (имеется в виду ) замкнут. Оператор T замкнут и плотно определен тогда и только тогда, когда ^{[nb 4]} ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T=T^{*}}$ ${\displaystyle T^{**}=T.}$

Некоторые известные свойства ограниченных операторов обобщаются на замкнутые плотно определенные операторы. Ядро замкнутого оператора замкнуто. Более того, ядро ​​замкнутого плотно определенного оператора совпадает с ортогональным дополнением области действия сопряженного оператора. То есть, ^[14] теорема фон Неймана утверждает, что и являются самосопряженными, и что и оба имеют ограниченные обратные. ^[15] Если имеет тривиальное ядро, T имеет плотную область действия (в силу приведенного выше тождества.) Более того: ${\displaystyle T:H_{1}\to H_{2}}$ $${\displaystyle \operatorname {ker} (T)=\operatorname {ran} (T^{*})^{\bot }.}$$ ${\displaystyle T^{*}T}$ ${\displaystyle TT^{*}}$ ${\displaystyle I+T^{*}T}$ ${\displaystyle I+TT^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}}$

T сюръективен тогда и только тогда, когда существует такое , что для всех из ^{[nb 5]} (Это по сути вариант так называемой теоремы о замкнутом диапазоне значений .) В частности, T имеет замкнутый диапазон значений тогда и только тогда, когда имеет замкнутый диапазон значений. ${\displaystyle K>0}$ ${\displaystyle \|f\|_{2}\leq K\left\|T^{*}f\right\|_{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D\left(T^{*}\right).}$ ${\displaystyle T^{*}}$

В отличие от ограниченного случая, это не обязательно, поскольку, например, возможно даже, что не существует. ^{[ необходима цитата ]} Однако это так, если, например, T ограничено. ^[16] ${\displaystyle (TS)^{*}=S^{*}T^{*},}$ ${\displaystyle (TS)^{*}}$

Плотно определенный замкнутый оператор T называется нормальным , если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям: ^[17]

• ${\displaystyle T^{*}T=TT^{*}}$;
• область определения T равна области определения и для каждого x в этой области; ${\displaystyle T^{*},}$ ${\displaystyle \|Tx\|=\left\|T^{*}x\right\|}$
• существуют самосопряженные операторы такие, что и для любого x в области определения T . ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle T=A+iB,}$ ${\displaystyle T^{*}=A-iB,}$ ${\displaystyle \|Tx\|^{2}=\|Ax\|^{2}+\|Bx\|^{2}}$

Каждый самосопряженный оператор нормален.

Транспонировать

Пусть — оператор между банаховыми пространствами. Тогда транспонированный (или двойственный ) оператор — линейный оператор, удовлетворяющий: для всех и Здесь мы использовали обозначение: ^[18] ${\displaystyle T:B_{1}\to B_{2}}$ ${\displaystyle {}^{t}T:{B_{2}}^{*}\to {B_{1}}^{*}}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \langle Tx,y'\rangle =\langle x,\left({}^{t}T\right)y'\rangle }$$ ${\displaystyle x\in B_{1}}$ ${\displaystyle y\in B_{2}^{*}.}$ ${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x).}$

Необходимым и достаточным условием для существования транспонирования является то, что оно плотно определено (по сути, по той же причине, что и для сопряженных элементов, как обсуждалось выше). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Для любого гильбертова пространства существует антилинейный изоморфизм: задаётся соотношением где Благодаря этому изоморфизму транспонированный элемент связан с сопряжённым следующим образом: ^[19] где . (Для конечномерного случая это соответствует тому факту, что сопряжённый элемент матрицы является её сопряжённым транспонированным элементом.) Заметим, что это даёт определение сопряжённого элемента в терминах транспонированного элемента. ${\displaystyle H,}$ $${\displaystyle J:H^{*}\to H}$$ ${\displaystyle Jf=y}$ ${\displaystyle f(x)=\langle x\mid y\rangle _{H},(x\in H).}$ ${\displaystyle {}^{t}T}$ ${\displaystyle T^{*}}$ $${\displaystyle T^{*}=J_{1}\left({}^{t}T\right)J_{2}^{-1},}$$ ${\displaystyle J_{j}:H_{j}^{*}\to H_{j}}$

Замкнутые линейные операторы

Замкнутые линейные операторы — это класс линейных операторов в банаховых пространствах . Они более общие, чем ограниченные операторы , и, следовательно, не обязательно непрерывные , но они все еще сохраняют достаточно хорошие свойства, позволяющие определить спектр и (с определенными предположениями) функциональное исчисление для таких операторов. Многие важные линейные операторы, которые не являются ограниченными, оказываются замкнутыми, например, производная и большой класс дифференциальных операторов .

Пусть X , Y — два банаховых пространства . Линейный оператор A  : D ( A ) ⊆ X → Y замкнут , если для любой последовательности { x _n } в D ( A ), сходящейся к x в X, такой что Ax _n → y ∈ Y при n → ∞, выполняется x ∈ D ( A ) и Ax = y . Эквивалентно, A замкнут, если его график замкнут в прямой сумме X ⊕ Y .

Для линейного оператора A , не обязательно замкнутого, если замыкание его графика в X ⊕ Y является графиком некоторого оператора, этот оператор называется замыканием A , и мы говорим , что A замыкаем . Обозначим замыкание A через A. Отсюда следует, что A является ограничением A на D ( A ) .

Ядро (или существенная область ) замыкаемого оператора — это подмножество C из D ( A ), такое , что замыкание ограничения A на C равно A .

Пример

Рассмотрим производный оператор A = ⁠г/дх⁠ где X = Y = C ([ a , b ]) — банахово пространство всех непрерывных функций на интервале [ a , b ] . Если взять его область определения D ( A ) как C1 ([ a , b ]) , то A — замкнутый оператор, который не ограничен. ^[20] С другой стороны, если ^D ( A ) = C∞ ( [ a , b ]) , то A больше не будет замкнутым, ^но будет замыкаемым, причем замыкание будет его расширением, определенным на C1 ([ a , b ]) .

Симметричные операторы и самосопряженные операторы

Оператор T в гильбертовом пространстве симметричен тогда и только тогда, когда для каждого x и y в области определения T выполняется . Плотно определенный оператор T симметричен тогда и только тогда, когда он совпадает со своим сопряженным T ^{∗ ,} ограниченным областью определения T , другими словами, когда T ^∗ является расширением T . ^[21] ${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle =\langle x\mid Ty\rangle }$

В общем случае, если T плотно определен и симметричен, область определения сопряженного T ^∗ не обязательно должна быть равна области определения T . Если T симметричен, а область определения T и область определения сопряженного совпадают, то мы говорим, что T является самосопряженным . ^[22] Обратите внимание, что когда T является самосопряженным, существование сопряженного подразумевает, что T плотно определен, и поскольку T ^∗ обязательно замкнуто, T замкнуто.

Плотно определенный оператор T является симметричным , если подпространство Γ( T ) (определенное в предыдущем разделе) ортогонально своему образу J (Γ( T )) относительно J (где J ( x , y ):=( y ,- x )). ^{[примечание 6]}

Эквивалентно, оператор T является самосопряженным , если он плотно определен, замкнут, симметричен и удовлетворяет четвертому условию: оба оператора T – i , T + i являются сюръективными, то есть отображают область определения T на все пространство H . Другими словами: для каждого x в H существуют y и z в области определения T такие, что Ty – iy = x и Tz + iz = x . ^[23]

Оператор T является самосопряженным , если два подпространства Γ( T ) , J (Γ( T )) ортогональны и их сумма представляет собой все пространство ^[12] ${\displaystyle H\oplus H.}$

Этот подход не охватывает неплотно определенные замкнутые операторы. Неплотно определенные симметричные операторы могут быть определены напрямую или через графы, но не через сопряженные операторы.

Симметричный оператор часто изучается с помощью его преобразования Кэли .

Оператор T в комплексном гильбертовом пространстве симметричен тогда и только тогда , когда число является действительным для всех x в области определения T. ^[21] ${\displaystyle \langle Tx\mid x\rangle }$

Плотно определенный замкнутый симметричный оператор T является самосопряженным тогда и только тогда, когда T ^∗ симметричен. ^[24] Может случиться, что это не так. ^{[25] [26]}

Плотно определенный оператор T называется положительным ^[8] (или неотрицательным ^[27] ), если его квадратичная форма неотрицательна, то есть для всех x в области определения T. Такой оператор обязательно симметричен. ${\displaystyle \langle Tx\mid x\rangle \geq 0}$

Оператор T ^∗ T является самосопряженным ^[28] и положительным ^[8] для любого плотно определенного замкнутого T .

Спектральная теорема применима к самосопряженным операторам ^[29] и, более того, к нормальным операторам ^{[30] [31],} но не к плотно определенным, замкнутым операторам вообще, поскольку в этом случае спектр может быть пустым. ^{[32] [33]}

Симметричный оператор, определенный всюду, замкнут, следовательно, ограничен, ^[6] что является теоремой Хеллингера–Теплица . ^[34]

Связанные с расширением

По определению оператор T является расширением оператора S, если Γ( S ) ⊆ Γ( T ) . ^[35] Эквивалентное прямое определение: для каждого x в области определения S , x принадлежит области определения T и Sx = Tx . ^{[5] [35]}

Обратите внимание, что для каждого оператора существует везде определенное расширение, что является чисто алгебраическим фактом, объясненным в Discontinuous linear map § Общая теорема существования и основанным на аксиоме выбора . Если заданный оператор не ограничен, то расширение является разрывным линейным отображением . Оно малополезно, поскольку не может сохранить важные свойства заданного оператора (см. ниже) и обычно является крайне неуникальным.

Оператор T называется замыкаемым , если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям: ^{[6] [35] [36]}

• T имеет закрытое расширение;
• замыкание графика T является графиком некоторого оператора;
• для любой последовательности ( x _n ) точек из области определения T такой, что x _n → 0, а также Tx _n → y, справедливо y = 0 .

Не все операторы закрываются. ^[37]

Замыкаемый оператор T имеет наименьшее замкнутое расширение , называемое замыканием T. Замыкание графика T равно графику ^{[6] [35]} Могут существовать и другие, неминимальные замкнутые расширения. ^[25] [ ^26] ${\displaystyle {\overline {T}}}$ ${\displaystyle {\overline {T}}.}$

Плотно определенный оператор T замыкаем тогда и только тогда, когда T ^∗ плотно определен. В этом случае и ^{[12] [38]} ${\displaystyle {\overline {T}}=T^{**}}$ ${\displaystyle ({\overline {T}})^{*}=T^{*}.}$

Если S плотно определено и T является расширением S , то S ^∗ является расширением T ^∗ . ^[39]

Каждый симметричный оператор замыкаем. ^[40]

Симметричный оператор называется максимально симметричным, если он не имеет симметричных расширений, кроме себя самого. ^[21] Каждый самосопряженный оператор является максимально симметричным. ^[21] Обратное утверждение неверно. ^[41]

Оператор называется существенно самосопряженным, если его замыкание самосопряжено. ^[40] Оператор является существенно самосопряженным тогда и только тогда, когда он имеет одно и только одно самосопряженное расширение. ^[24]

Симметричный оператор может иметь более одного самосопряженного расширения и даже континуум из них. ^[26]

Плотно определенный симметричный оператор T по существу является самосопряженным тогда и только тогда, когда оба оператора T – i , T + i имеют плотный диапазон. ^[42]

Пусть T — плотно определенный оператор. Обозначая отношение « T является расширением S » через S ⊂ T (условное сокращение для Γ( S ) ⊆ Γ( T )) имеем следующее. ^[43]

• Если T симметричен, то T ⊂ T ^∗∗ ⊂ T ^∗ .
• Если T замкнуто и симметрично, то T = T ^∗∗ ⊂ T ^∗ .
• Если T самосопряжен, то T = T ^∗∗ = T ^∗ .
• Если T существенно самосопряжен, то T ⊂ T ^∗∗ = T ^∗ .

Важность самосопряженных операторов

Класс самосопряженных операторов особенно важен в математической физике. Каждый самосопряженный оператор плотно определен, замкнут и симметричен. Обратное справедливо для ограниченных операторов, но неверно в общем случае. Самосопряженность существенно более ограничительна, чем эти три свойства. Знаменитая спектральная теорема справедлива для самосопряженных операторов. В сочетании с теоремой Стоуна об однопараметрических унитарных группах она показывает, что самосопряженные операторы являются в точности инфинитезимальными генераторами сильно непрерывных однопараметрических унитарных групп, см. Самосопряженный оператор § Самосопряженные расширения в квантовой механике . Такие унитарные группы особенно важны для описания эволюции времени в классической и квантовой механике.

Смотрите также

• Гильбертово пространство § Неограниченные операторы
• Теорема Стоуна–фон Неймана
• Ограниченный оператор

Примечания

1. Предположим, что f _j — последовательность в области определения T , которая сходится к g ∈ X. Поскольку T равномерно непрерывна в своей области определения, Tf _j — последовательность Коши в Y . Таким образом, (  f _j  , T f _j  ) — последовательность Коши и, следовательно, сходится к некоторой (  f  , T f  ), поскольку график T замкнут. Следовательно, f   = g , и область определения T замкнута. 
2. Доказательство: будучи замкнутым, всюду определенное ограничено, что подразумевает ограниченность последнего как замыкания T. См. также (Pedersen 1989, 2.3.11) для случая всюду определенного T. ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{**},}$
3. Доказательство: Итак, если ограничено, то его сопряженный T ограничен. ${\displaystyle T^{**}=T.}$ ${\displaystyle T^{*}}$
4. Доказательство: Если T замкнуто плотно определено, то существует и плотно определено. Таким образом, существует. Граф T плотен в графе следовательно Обратно , поскольку существование влечет то, что из , в свою очередь, влечет T плотно определено. Поскольку замкнуто, T плотно определено и замкнуто. ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle T^{**}}$ ${\displaystyle T^{**};}$ ${\displaystyle T=T^{**}.}$ ${\displaystyle T^{**}}$ ${\displaystyle T^{*},}$ ${\displaystyle T^{**}}$
5. Если сюръективен, то имеет ограниченный обратный, обозначаемый как Оценка тогда следует, так как Наоборот, предположим, что оценка верна. Так как имеет замкнутый диапазон, то так как Так как плотен, достаточно показать, что имеет замкнутый диапазон. Если сходится, то сходится по оценке, так как Скажем, Так как является самосопряженным; таким образом, замкнутым, (теорема фон Неймана), QED ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T:(\ker T)^{\bot }\to H_{2}}$ ${\displaystyle S.}$ $${\displaystyle \|f\|_{2}^{2}=\left|\langle TSf\mid f\rangle _{2}\right|\leq \|S\|\|f\|_{2}\left\|T^{*}f\right\|_{1}}$$ ${\displaystyle T^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {ran} (T)=\operatorname {ran} \left(TT^{*}\right).}$ ${\displaystyle \operatorname {ran} (T)}$ ${\displaystyle TT^{*}}$ ${\displaystyle TT^{*}f_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$ $${\displaystyle \|T^{*}f_{j}\|_{1}^{2}=|\langle T^{*}f_{j}\mid T^{*}f_{j}\rangle _{1}|\leq \|TT^{*}f_{j}\|_{2}\|f_{j}\|_{2}.}$$ ${\displaystyle f_{j}\to g.}$ ${\displaystyle TT^{*}}$ ${\displaystyle TT^{*}f_{j}\to TT^{*}g.}$
6. Следует из (Pedersen 1989, 5.1.5) и определения через сопряженные операторы.

Ссылки

Цитаты

1. Рид и Саймон 1980, Примечания к главе VIII, стр. 305.
2. фон Нейман 1930, стр. 49–131.
3. Стоун 1932
4. фон Нейман 1932, стр. 294–310.
5. Педерсен 1989, 5.1.1
6. Педерсен 1989, 5.1.4
7. Березанский, Sheftel & Us 1996, стр. 5.
8. Педерсен 1989, 5.1.12
9. Березанский, Шефтель и Нас 1996, Пример 3.2 на стр. 16
10. Рид и Саймон 1980, стр. 252
11. Березанский, Шефтель и Нас 1996, Пример 3.1 на стр. 15
12. Педерсен 1989, 5.1.5
13. Березанский, Sheftel & Us 1996, стр. 12.
14. Брезис 1983, стр. 28
15. Ёсида 1980, стр. 200
16. Ёсида 1980, стр. 195.
17. Педерсен 1989, 5.1.11
18. Ёсида 1980, стр. 193
19. Ёсида 1980, стр. 196
20. Крейсциг 1978, стр. 294
21. Педерсен 1989, 5.1.3
22. Като 1995, 5.3.3
23. Педерсен 1989, 5.2.5
24. Reed & Simon 1980, стр. 256
25. Педерсен 1989, 5.1.16
26. Reed & Simon 1980, Пример на страницах 257-259
27. Березанский, Sheftel & Us 1996, стр. 25.
28. Педерсен 1989, 5.1.9
29. Педерсен 1989, 5.3.8
30. Березанский, Sheftel & Us 1996, стр. 89.
31. Педерсен 1989, 5.3.19
32. Рид и Саймон 1980, Пример 5 на стр. 254.
33. Педерсен 1989, 5.2.12
34. Рид и Саймон 1980, стр. 84.
35. Рид и Саймон 1980, стр. 250
36. Березанский, Шефтель и Нас 1996, страницы 6,7
37. Березанский, Sheftel & Us 1996, стр. 7.
38. Рид и Саймон 1980, стр. 253
39. Педерсен 1989, 5.1.2
40. Педерсен 1989, 5.1.6
41. Педерсен 1989, 5.2.6
42. Рид и Саймон 1980, стр. 257.
43. Рид и Саймон 1980, страницы 255, 256.

Библиография

• Березанский, Ю.М.; Шефтель, З.Г.; Ус, Г.Ф. (1996), Функциональный анализ , т. II, Биркхойзер(см. главу 12 «Общая теория неограниченных операторов в гильбертовых пространствах»).
• Брезис, Хаим (1983), Анализ fonctionnelle - Théorie et application (на французском языке), Париж: Мейсон
• «Неограниченный оператор», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Холл, BC (2013), «Глава 9. Неограниченные самосопряженные операторы», Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Като, Тосио (1995), "Глава 5. Операторы в гильбертовом пространстве", Теория возмущений для линейных операторов , Классика математики, Springer-Verlag, ISBN 3-540-58661-X
• Крейсциг, Эрвин (1978). Вводный функциональный анализ с приложениями . США: John Wiley & Sons. Inc. ISBN 0-471-50731-8.
• Педерсен, Герт К. (1989), Анализ сейчас , Springer(см. главу 5 «Неограниченные операторы»).
• Рид, Майкл ; Саймон, Барри (1980), Методы современной математической физики , т. 1: Функциональный анализ (переработанное и дополненное издание), Academic Press(см. главу 8 «Неограниченные операторы»).
• Стоун, Маршалл Харви (1932). Линейные преобразования в Гильбертовом пространстве и их применение к анализу. Переиздание издания 1932 года. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-7452-3.
• Тешль, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; с приложениями к операторам Шредингера. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4660-5.
• фон Нейман, Дж. (1930), "Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Functionaloperatoren (Общая теория собственных значений эрмитовых функциональных операторов)", Mathematische Annalen , 102 (1), doi : 10.1007/BF01782338, S2CID  121249803
• фон Нейман, Дж. (1932), «Über Adjungierte Funktionaloperatore (О сопряженных функциональных операторах)», Annals of Mathematics , Вторая серия, 33 (2), doi : 10.2307/1968331, JSTOR  1968331
• Ёсида, Косаку (1980), Функциональный анализ (шестое изд.), Springer

В данной статье использованы материалы из Closed Operator на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .