Замедленный потенциал

Тип потенциала в электродинамике

В электродинамике запаздывающие потенциалы — это электромагнитные потенциалы для электромагнитного поля, созданного изменяющимся во времени электрическим током или распределениями заряда в прошлом. Поля распространяются со скоростью света c , поэтому задержка полей, связывающих причину и следствие в более ранние и более поздние моменты времени, является важным фактором: сигналу требуется конечное время для распространения от точки распределения заряда или тока (точки причины) до другой точки пространства (где измеряется эффект), см. рисунок ниже. ^[1]

В шкале Лоренца

Векторы положения r и r′, используемые в расчете

Отправной точкой являются уравнения Максвелла в потенциальной формулировке с использованием калибровки Лоренца :

${\displaystyle \Box \varphi ={\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }$

где φ( r , t ) — электрический потенциал , а A ( r , t ) — магнитный векторный потенциал для произвольного источника плотности заряда ρ( r , t ) и плотности тока J ( r , t ), а — оператор Даламбера . ^[2] Решение этих уравнений дает запаздывающие потенциалы ниже (все в единицах СИ ). ${\displaystyle \Box }$

Для полей, зависящих от времени

Для полей, зависящих от времени, запаздывающие потенциалы равны: ^{[3] [4]}

${\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}$

где r — точка в пространстве, t — время,

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}$

- запаздывающее время , а d ³ r' - мера интегрирования с использованием r' .

Из φ( r , t) и A ( r , t ) можно вычислить поля E ( r , t ) и B ( r , t ), используя определения потенциалов:

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla \varphi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,.}$

и это приводит к уравнениям Ефименко . Соответствующие опережающие потенциалы имеют идентичную форму, за исключением опережающего времени

${\displaystyle t_{a}=t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}$

заменяет замедленное время.

По сравнению со статическими потенциалами для полей, не зависящих от времени

В случае, если поля не зависят от времени ( электростатические и магнитостатические поля), производные по времени в операторах полей равны нулю, и уравнения Максвелла сводятся к ${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} \,,}$

где ∇ ² — это лапласиан , который принимает форму уравнения Пуассона с четырьмя компонентами (одна для φ и три для A ), а решения имеют вид:

${\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.}$

Они также непосредственно вытекают из запаздывающих потенциалов.

В калибровке Кулона

В кулоновской калибровке уравнения Максвелла имеют вид ^[5]

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +{\dfrac {1}{c^{2}}}\nabla \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)\,,}$

хотя решения противоречат вышеприведенным, поскольку A является запаздывающим потенциалом, φ изменяется мгновенно , что определяется по формуле:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla \times \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r'} \int _{0}^{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/c}\mathrm {d} t_{r}{\dfrac {t_{r}\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t-t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,.}$

Это представляет собой преимущество и недостаток кулоновской калибровки - φ легко вычисляется из распределения заряда ρ, но A не так легко вычисляется из распределения тока j . Однако, если мы требуем, чтобы потенциалы исчезали на бесконечности, их можно аккуратно выразить в терминах полей:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}$

В линеаризованной гравитации

Запаздывающий потенциал в линеаризованной общей теории относительности очень похож на электромагнитный случай. Тензор с обратным следом играет роль четырехвекторного потенциала, гармоническая калибровка заменяет электромагнитную калибровку Лоренца, уравнения поля имеют вид , а решение с запаздывающей волной имеет вид ^[6] Используя единицы СИ, выражение должно быть разделено на , что может быть подтверждено анализом размерностей. ${\textstyle {\tilde {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }h}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}$ ${\displaystyle \Box {\tilde {h}}_{\mu \nu }=-16\pi GT_{\mu \nu }}$ $${\displaystyle {\tilde {h}}_{\mu \nu }(\mathbf {r} ,t)=4G\int {\frac {T_{\mu \nu }(\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '.}$$ ${\displaystyle c^{4}}$

Возникновение и применение

Теория многих тел, включающая в себя среднее значение запаздывающих и опережающих потенциалов Льенара–Вихерта, — это теория поглотителя Уилера–Фейнмана, также известная как симметричная во времени теория Уилера–Фейнмана.

Пример

Потенциал заряда с равномерной скоростью на прямой имеет инверсию в точке , которая находится в недавнем положении. Потенциал не изменяется в направлении движения. ^[7]

Смотрите также

• Уравнения Максвелла
• Потенциал Льенара–Вихерта
• Закон Ленца

Ссылки

1. Рорлих, Ф. (1993). «Потенциалы». В Parker, SP (ред.). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2-е изд.). Нью-Йорк. стр. 1072. ISBN 0-07-051400-3.{{cite encyclopedia}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. Гарг, А., Классический электромагнетизм в двух словах , 2012, стр. 129
3. Электромагнетизм (2-е издание), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9 
4. Введение в электродинамику (3-е издание), DJ Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3 
5. Введение в электродинамику (3-е издание), DJ Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3 
6. Шон М. Кэрролл, «Конспект лекций по общей теории относительности» (arXiv:gr-qc/9712019), уравнения 6.20, 6.21, 6.22, 6.74
7. Фейнман, Лекция 26, Преобразования Лоренца полей