Пифагорова запятая

Небольшой интервал между музыкальными нотами

Пифагорова запятая (531441:524288) на C

Пифагорова запятая на букве C в обозначениях Бена Джонстона . Нота, изображенная на нотоносце как нижняя (B ♯ +++ ), немного выше по высоте (чем C ♮ ).

Пифагорова запятая ( PC ), определяемая в настройке Пифагора как разница между полутонами (A1 – m2) или интервал между энгармонически эквивалентными нотами (от D ♭ до C ♯ ). Уменьшенная секунда имеет такую ​​же ширину, но противоположное направление (от C ♯ до D ♭ ).

В музыкальной настройке пифагорейская запятая (или дитоническая запятая ^[а] ), названная в честь древнего математика и философа Пифагора , представляет собой небольшой интервал (или запятую ), существующий в пифагорейской настройке между двумя энгармонически эквивалентными нотами, такими как C и B ♯ , или Д ♭ и С ♯ . ^[1] Оно равно отношению частот (1,5) ¹² ⁄ 2 ⁷ = 531441 ⁄ 524288 ≈ 1,01364, или около 23,46 цента , примерно четверть полутона ( между 75:74 и 74:73 ^[2] ). Запятая, которую часто «смягчают» музыкальные темпераменты, — это пифагорейская запятая. ^[3]

Пифагорову запятую можно также определить как разницу между пифагорейским апотомом и пифагорейской лиммой ^[4] (т. е. между хроматическим и диатоническим полутоном , как это определяется в пифагорейской настройке); разница между 12 просто идеальными пятыми и семью октавами ; или разница между тремя пифагорейскими дитонами и одной октавой (вот почему пифагорейскую запятую еще называют дитонической запятой ).

Уменьшенная секунда в пифагорейской настройке определяется как разница между лиммой и апотомом. Таким образом, она совпадает с противоположностью запятой Пифагора и может рассматриваться как нисходящая запятая Пифагора (например, от C ♯ до D ♭ ), равная примерно -23,46 цента.

Вывод

Как описано во введении, запятая Пифагора может быть образована несколькими способами:

• Разница между двумя энгармонически эквивалентными нотами пифагорейской гаммы, такими как C и B ♯ или D ♭ и C ♯ (см. ниже).
• Разница между пифагорейским апотомом и пифагорейской лиммой .
• Разница между 12 просто идеальными квинтами и семью октавами .
• Разница между тремя пифагорейскими дитонами ( большими терциями ) и одной октавой.

Просто идеальная квинта имеет соотношение частот 3:2. Он используется в пифагорейской настройке вместе с октавой в качестве критерия для определения относительно данной начальной ноты частоты любой другой ноты.

Апотом и лимма — это два типа полутонов, определенные в пифагорейской настройке. А именно, апотом (около 113,69 цента, например, от C до C ♯ ) представляет собой хроматический полутон, или расширенный унисон (A1), тогда как лимма (около 90,23 цента, например, от C до D ♭ ) представляет собой диатонический полутон, или минор. второй (м2).

Дитон (или мажорная терция ) — это интервал, образованный двумя мажорными тонами . В пифагорейской настройке мажорный тон имеет размер около 203,9 цента (отношение частот 9:8), таким образом, пифагорейский дитон составляет около 407,8 цента.

Размер

Пифагорова запятая, показанная как пробел (справа), из-за которого 12-конечная звезда не закрывается, и эта звезда представляет собой шкалу Пифагора; каждая строка представляет собой идеальную квинту. Этот зазор имеет центральный угол 7,038 градусов, что составляет 23,46% от 30 градусов.

Размер запятой Пифагора, измеряемый в центах , равен

${\displaystyle {\hbox{apotome}}-{\hbox{limma}}\approx 113.69-90.23\approx 23.46~{\hbox{cents}}\!}$

или, точнее, с точки зрения отношений частот :

${\displaystyle {\frac {\hbox{apotome}}{\hbox{limma}}}={\frac {3^{7}/2^{11}}{2^{8}/3^{5}}}={\frac {3^{12}}{2^{19}}}={\frac {531441}{524288}}=1.0136432647705078125\!}$

Квинтовый круг и энгармонические изменения

Пифагорова запятая как двенадцать правильно настроенных идеальных квинт в нотации Бена Джонстона.

Пифагорейскую запятую можно также рассматривать как несоответствие между 12 правильно настроенными идеальными квинтами (соотношение 3:2) и семью октавами (соотношение 2:1):

${\displaystyle {\frac {\hbox{twelve fifths}}{\hbox{seven octaves}}}=\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{12}\!\!{\Big /}\,2^{7}={\frac {3^{12}}{2^{19}}}={\frac {531441}{524288}}=1.0136432647705078125\!}$

В следующей таблице музыкальных гамм в квинтовом круге пифагорейская запятая видна как небольшой интервал между, например, F ♯ и G ♭ . Обход квинтового круга с небольшими интервалами приводит к накачке запятой пифагорейской запятой.

Гаммы 6 ♭ и 6 ♯ ^[i] не идентичны, хотя они и находятся на клавиатуре фортепиано , но гаммы ♭ на одну пифагорову запятую ниже. Игнорирование этой разницы приводит к энгармоническим изменениям .

1. Шкалы 7 ♭ и 5 ♯ , соответственно 5 ♭ и 7 ♯, различаются одинаково одной пифагорейской запятой. Шкалы с семью акциденциями используются редко ^[5] , поскольку энгармонические шкалы с пятью акциденциями считаются эквивалентными.

Этот интервал имеет серьезное значение для различных схем настройки хроматической гаммы , поскольку в западной музыке 12 идеальных пятых и семь октав рассматриваются как один и тот же интервал. Равная темперация , сегодня наиболее распространенная система настройки на Западе, согласовала это путем сглаживания каждой пятой на двенадцатую пифагорейской запятой (приблизительно 2 цента), создавая тем самым идеальные октавы.

Другой способ выразить это состоит в том, что только квинта имеет соотношение частот (по сравнению с тоникой) 3:2 или 1,5 к 1, тогда как седьмой полутон (основанный на 12 равных логарифмических делениях октавы) является седьмой степенью октавы. корень двенадцатой степени из двух или 1,4983... до 1, что не совсем то же самое (разница около 0,1%). Возьмите пятую часть в 12-й степени, затем вычтите семь октав, и вы получите пифагорейскую запятую (разница примерно 1,4%).

История

Первым упомянул о пропорции запятой 531441:524288 Евклид , принявший за основу весь тон пифагорейской настройки с соотношением 9:8, октаву с соотношением 2:1 и число А = 262144. Он приходит к выводу, что повышение этого числа на шесть целых тонов дает значение G, которое больше, чем то, которое получается при повышении его на октаву (в два раза А). Он дает G равным 531441. ^[6] Необходимые вычисления гласят:

Расчет G:

${\displaystyle 262144\cdot \left(\textstyle {\frac {9}{8}}\right)^{6}=531441}$

Вычисление двойного числа А:

${\displaystyle 262144\cdot \left(\textstyle {\frac {2}{1}}\right)^{1}=524288}$

Китайские математики знали о пифагорейской запятой еще в 122 г. до н. э. (ее расчет подробно описан в « Хуайнаньцзы »), а около 50 г. до н. э. Чинг Фан обнаружил, что если цикл идеальных квинт продолжаться за пределами 12 вплоть до 53, разница между этой 53-й нотой и начальной нотой будет намного меньше пифагорейской запятой. Этот гораздо меньший интервал позже был назван запятой Меркатора ( см.: История 53 равнотемпераментных ).

В «Лидийской хроматической концепции тональной организации» Джорджа Рассела (1953) полутон между лидийской тоникой и ♭ 2 в его измененных мажорных и минорных вспомогательных уменьшенных блюзовых гаммах теоретически основан на пифагорейской запятой. ^[7]

Смотрите также

• Холдрова запятая
• раскол

Примечания

1. не путать с диатонической запятой, более известной как синтоническая запятая , равная соотношению частот 81:80, или около 21,51 цента. См.: Джонстон, Бен (2006). «Максимальная ясность» и другие сочинения о музыке под редакцией Боба Гилмора . Урбана: Издательство Университета Иллинойса. ISBN  0-252-03098-2 .

Рекомендации

1. Апель, Вилли (1969). Гарвардский музыкальный словарь , стр. 188. ISBN 978-0-674-37501-7 . «...разница между двумя полутонами пифагорейской гаммы...» 
2. Гинзбург, Джекутиэль (2003). Скрипта Математика , с. 287. ISBN 978-0-7661-3835-3 . 
3. Койн, Ричард (2010). Настройка места: социальные пространства и широко распространенные цифровые медиа , с. 45. ISBN 978-0-262-01391-8 . 
4. Коттик, Эдвард Л. (1992). Руководство пользователя клавесина , стр. 151. ISBN 0-8078-4388-1 . 
5. «Полный обзор композиций с семью случайностями», Ульрих Рейнхардт
6. Евклид : Katatome kanonos (лат. Sectio canonis ). англ. перевод в: Эндрю Баркер (ред.): Греческие музыкальные сочинения. Том. Т. 2: Гармоническая и акустическая теория , Кембридж, Массачусетс: Издательство Кембриджского университета, 2004, стр. 190–208, здесь: стр. 199.
7. Рассел, Джордж (2001) [1953]. Лидийская хроматическая концепция тональной организации Джорджа Рассела . Том первый: Искусство и наука тональной гравитации (Четвертое (второе издание, исправленное, 2008 г.) изд.). Бруклин, Массачусетс: Издательская компания Concept. стр. 17, 57–59. ISBN 0-9703739-0-2 .