Демпфирование

Система пружина-масса с недостаточным демпфированием с ζ < 1

В физических системах затухание — это потеря энергии колебательной системы за счет рассеивания . ^[1]^[2] Затухание — это влияние внутри или на колебательную систему, которое имеет эффект уменьшения или предотвращения ее колебаний. ^[3] Примерами затухания являются вязкое затухание в жидкости (см. вязкое сопротивление ), поверхностное трение , излучение , ^[1] сопротивление в электронных осцилляторах , а также поглощение и рассеяние света в оптических осцилляторах . Затухание, не основанное на потере энергии, может быть важным в других колебательных системах, таких как те, которые встречаются в биологических системах и велосипедах ^[4] (например, подвеска (механика) ). Затухание не следует путать с трением , которое является типом диссипативной силы, действующей на систему. Трение может вызывать или быть фактором затухания.

Коэффициент затухания — это безразмерная мера, описывающая, как колебания в системе затухают после возмущения. Многие системы проявляют колебательное поведение, когда они выведены из положения статического равновесия . Например, груз, подвешенный на пружине, может, если его потянуть и отпустить, подпрыгивать вверх и вниз. При каждом отскоке система стремится вернуться в положение равновесия, но проскакивает его. Иногда потери (например, трение) гасят систему и могут привести к постепенному снижению амплитуды колебаний до нуля или их затуханию . Коэффициент затухания — это мера, описывающая, насколько быстро колебания затухают от одного отскока к другому.

Коэффициент затухания — это системный параметр, обозначаемый $ζ$ (« дзета »), который может изменяться от незатухающего ( $ζ = 0$ ), недостаточно затухающего ( $ζ < 1$ ) до критически затухающего ( $ζ = 1$ ) и чрезмерно затухающего ( $ζ > 1$ ).

Поведение колебательных систем часто представляет интерес для широкого круга дисциплин, включая инженерию управления , химическую инженерию , машиностроение , структурную инженерию и электротехнику . Физическая величина, которая колеблется, сильно варьируется и может быть колебанием высокого здания на ветру или скоростью электродвигателя , но нормализованный или безразмерный подход может быть удобен для описания общих аспектов поведения.

Случаи колебаний

В зависимости от степени демпфирования система демонстрирует различные колебательные поведения и скорости.

Если система пружина-масса полностью без потерь, масса будет колебаться бесконечно, с каждым отскоком равной высоты к предыдущему. Этот гипотетический случай называется незатухающим .
Если бы система содержала большие потери, например, если бы эксперимент с пружиной и массой проводился в вязкой жидкости, масса могла бы медленно вернуться в свое положение покоя, не выходя за пределы. Этот случай называется сверхдемпфированным .
Обычно масса имеет тенденцию перескакивать через начальное положение, а затем возвращаться, снова перескакивая. С каждым перескакиванием часть энергии в системе рассеивается, и колебания затухают к нулю. Этот случай называется недозатуханием.
Между случаями передемпфирования и недодемпфирования существует определенный уровень демпфирования, при котором система просто не сможет перескочить и не совершит ни одного колебания. Этот случай называется критическим демпфированием . Ключевое различие между критическим демпфированием и передемпфированием заключается в том, что при критическом демпфировании система возвращается в состояние равновесия за минимальное время. ^[5]

Затухающая синусоида

График затухающей синусоидальной волны, представленной в виде функции $y(t)=e^{-t}\cos(2\pi t)$

Затухающая синусоида или затухающая синусоида — это синусоидальная функция , амплитуда которой стремится к нулю с увеличением времени. Это соответствует случаю затухающих систем второго порядка или затухающих дифференциальных уравнений второго порядка. ^[6] Затухающие синусоиды обычно встречаются в науке и технике , где гармонический осциллятор теряет энергию быстрее, чем получает ее. Истинная синусоида, начинающаяся в момент времени = 0, начинается в начале координат (амплитуда = 0). Косинусоида начинается с максимального значения из-за ее фазовой разницы с синусоидой. Данная синусоидальная волна может иметь промежуточную фазу, имея как синусоидальные, так и косинусоидальные компоненты. Термин «затухающая синусоида» описывает все такие затухающие формы волн, независимо от их начальной фазы.

Наиболее распространенной формой затухания, которая обычно предполагается, является форма, встречающаяся в линейных системах. Эта форма — экспоненциальное затухание, в котором внешняя огибающая последовательных пиков представляет собой экспоненциальную кривую затухания. То есть, когда вы соединяете максимальную точку каждой последовательной кривой, результат напоминает функцию экспоненциального затухания. Общее уравнение для экспоненциально затухающей синусоиды можно представить как: где: $y(t)=Ae^{-\lambda t}\cos(\omega t-\varphi )$

$y(t)$ — мгновенная амплитуда в момент времени $t$ ;
$A$ — начальная амплитуда огибающей;
$\lambda$ — скорость затухания, обратная единицам времени независимой переменной $t$ ;
$\varphi$ - фазовый угол при $t = 0$ ;
$\omega$ это угловая частота .

Другие важные параметры включают в себя:

Частота : , число циклов в единицу времени. Выражается в обратных единицах времени , или герцах . $f=\omega /(2\pi )$ $t^{-1}$
Постоянная времени : время, необходимое для уменьшения амплитуды в e раз . $\tau =1/\lambda$
Период полураспада — это время, необходимое для уменьшения экспоненциальной амплитуды в 2 раза. Он равен , что приблизительно равно . $\ln(2)/\lambda$ $0.693/\lambda$
Коэффициент затухания: представляет собой безразмерную характеристику скорости затухания относительно частоты, приблизительно или точно . $\zeta$ $\zeta =\lambda /\omega$ $\zeta =\lambda /{\sqrt {\lambda ^{2}+\omega ^{2}}}<1$
Фактор добротности : еще одна безразмерная характеристика величины затухания; высокий показатель добротности указывает на медленное затухание относительно колебаний. $Q=1/(2\zeta )$

Определение коэффициента затухания

Коэффициент затухания — это параметр, обычно обозначаемый как ζ (греческая буква дзета), ^[7], который характеризует частотную характеристику обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка . Он особенно важен при изучении теории управления . Он также важен в гармоническом осцилляторе . В общем случае системы с более высокими коэффициентами затухания (один или больше) будут демонстрировать больший эффект затухания. Системы с недостаточным затуханием имеют значение меньше единицы. Системы с критическим затуханием имеют коэффициент затухания, равный точно 1 или, по крайней мере, очень близкий к нему.

Коэффициент затухания обеспечивает математические средства выражения уровня затухания в системе относительно критического затухания. Для затухающего гармонического осциллятора с массой m , коэффициентом затухания c и жесткостью пружины k его можно определить как отношение коэффициента затухания в дифференциальном уравнении системы к критическому коэффициенту затухания:

\zeta ={\frac {c}{c_{c}}}={\frac {\text{actual damping}}{\text{critical damping}}},

где уравнение движения системы имеет вид

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+c{\frac {dx}{dt}}+kx=0

. ^[8]

и соответствующий критический коэффициент затухания равен

c_{c}=2{\sqrt {km}}

или

c_{c}=2m{\sqrt {\frac {k}{m}}}=2m\omega _{n}

где

\omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}

— собственная частота системы.

Коэффициент затухания является безразмерной величиной и представляет собой отношение двух коэффициентов одинаковых единиц.

Вывод

Используя собственную частоту гармонического осциллятора и определение коэффициента затухания, данное выше, мы можем переписать это как: ${\textstyle \omega _{n}={\sqrt {{k}/{m}}}}$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{n}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{n}^{2}x=0.

Это уравнение более общее, чем просто система масса-пружина, и также применимо к электрическим цепям и другим областям. Его можно решить с помощью подхода

x(t)=Ce^{st},

где C и s — комплексные константы, причем s удовлетворяет

s=-\omega _{n}\left(\zeta \pm i{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right).

Два таких решения для двух значений s, удовлетворяющих уравнению, можно объединить, чтобы получить общие действительные решения с колебательными и затухающими свойствами в нескольких режимах:

Незатухающий: Является ли случай, когда соответствует незатухающему простому гармоническому осциллятору, и в этом случае решение выглядит как , как и ожидалось. Этот случай чрезвычайно редок в естественном мире, и наиболее близкими примерами являются случаи, когда трение было намеренно уменьшено до минимальных значений. $\zeta =0$ $\exp(i\omega _{n}t)$
Незатухающий: Если s — пара комплексных значений, то каждый член комплексного решения представляет собой затухающую экспоненту в сочетании с колебательной частью, которая выглядит как . Этот случай имеет место для , и называется недодемпфированным (например, эластичный трос). ${\textstyle \exp \left(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)}$ $\ 0\leq \zeta <1$
Сверхдемпфированный: Если s — пара действительных значений, то решение — это просто сумма двух затухающих экспонент без колебаний. Этот случай имеет место для и называется сверхдемпфированием . Ситуации, в которых сверхдемпфирование практично, как правило, имеют трагические последствия, если происходит перерегулирование, обычно электрическое, а не механическое. Например, посадка самолета на автопилоте: если система перерегулирует и выпустит шасси слишком поздно, результатом будет катастрофа. $\zeta >1$
Критически затухающий: Случай, когда является границей между случаями сверхдемпфирования и недодемпфирования, называется критически демпфированным . Это оказывается желательным результатом во многих случаях, когда требуется инженерное проектирование демпфированного осциллятора (например, механизм закрывания двери). $\zeta =1$

Вфактор и скорость распада

Фактор добротности , коэффициент затухания ζ и скорость экспоненциального затухания α связаны таким образом, что ^[9]

\zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{n}}.

Когда система второго порядка имеет (то есть, когда система недостаточно затухает), она имеет два комплексно-сопряженных полюса, каждый из которых имеет действительную часть ; то есть параметр скорости затухания представляет скорость экспоненциального затухания колебаний. Более низкий коэффициент затухания подразумевает более низкую скорость затухания, и поэтому очень недостаточно затухающие системы колеблются в течение длительного времени. ^[10] Например, высококачественный камертон , который имеет очень низкий коэффициент затухания, имеет колебание, которое длится долгое время, затухая очень медленно после удара молотком. $\zeta <1$ $-\alpha$ $\alpha$

Логарифмический декремент

Для недозатухающих колебаний коэффициент затухания также связан с логарифмическим декрементом . Коэффициент затухания можно найти для любых двух пиков, даже если они не являются соседними. ^[11] Для соседних пиков: ^[12] $\delta$

\zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {\delta ^{2}+\left(2\pi \right)^{2}}}}

где

\delta =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}

где x ₀ и x ₁ — амплитуды любых двух последовательных пиков.

Как показано на правом рисунке:

\delta =\ln {\frac {x_{1}}{x_{3}}}=\ln {\frac {x_{2}}{x_{4}}}=\ln {\frac {x_{1}-x_{2}}{x_{3}-x_{4}}}

где , — амплитуды двух последовательных положительных пиков, а , — амплитуды двух последовательных отрицательных пиков. $x_{1}$ $x_{3}$ $x_{2}$ $x_{4}$

Процент превышения

В теории управления перерегулирование относится к выходу, превышающему его конечное, установившееся значение. ^[13] Для ступенчатого входа процент перерегулирования (PO) равен максимальному значению минус значение шага, деленное на значение шага. В случае единичного шага перерегулирование равно просто максимальному значению реакции на шаг минус один.

Процент перерегулирования (PO) связан с коэффициентом затухания ( ζ ) следующим образом:

\mathrm {PO} =100\exp \left({-{\frac {\zeta \pi }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}\right)

Наоборот, коэффициент затухания ( ζ ), который дает заданный процент перерегулирования, определяется по формуле:

\zeta ={\frac {-\ln \left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}{\sqrt {\pi ^{2}+\ln ^{2}\left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}}}

Примеры и приложения

Вязкое сопротивление

Когда объект падает сквозь воздух, единственной силой, противодействующей его свободному падению, является сопротивление воздуха. Объект, падающий сквозь воду или масло, будет замедляться с большей скоростью, пока в конечном итоге не достигнет стационарной скорости, поскольку сила сопротивления придет в равновесие с силой гравитации. Это концепция вязкого сопротивления , которая, например, применяется в автоматических дверях или дверях с защитой от захлопывания. ^[14]

Демпфирование в электрических системах

Электрические системы, работающие на переменном токе (AC), используют резисторы для гашения резонансных LC-цепей. ^[14]

Магнитное демпфирование и магнитореологическое демпфирование

Кинетическая энергия, вызывающая колебания, рассеивается в виде тепла электрическими вихревыми токами , которые индуцируются при прохождении через полюса магнита, либо катушкой, либо алюминиевой пластиной. Вихревые токи являются ключевым компонентом электромагнитной индукции , где они создают магнитный поток, прямо противоположный колебательному движению, создавая силу сопротивления. ^[15] Другими словами, сопротивление, вызванное магнитными силами, замедляет систему. Примером применения этой концепции являются тормоза на американских горках. ^[16]

Магнитореологические демпферы (МР-демпферы) используют магнитореологическую жидкость , которая изменяет вязкость под воздействием магнитного поля. В этом случае магнитореологическое демпфирование можно считать междисциплинарной формой демпфирования с механизмами как вязкого, так и магнитного демпфирования. ^[17] ^[18]

Ссылки

^ ab Эскудье, Марсель; Аткинс, Тони (2019). «Словарь по машиностроению». Oxford Reference . doi : 10.1093/acref/9780198832102.001.0001. ISBN 978-0-19-883210-2.
^ Steidel (1971). Введение в механические колебания . John Wiley & Sons. стр. 37. затухающий , который является термином, используемым в изучении вибрации для обозначения рассеивания энергии
^ Crandall, SH (январь 1970). «Роль демпфирования в теории колебаний». Journal of Sound and Vibration . 11 (1): 3–18, IN1. Bibcode : 1970JSV....11....3C. doi : 10.1016/s0022-460x(70)80105-5.
^ JP Meijaard; JM Papadopoulos; A. Ruina & AL Schwab (2007). "Linearized dynamics conditions for the balance and steer of a bicycle: a benchmark and review". Proceedings of the Royal Society A . 463 (2084): 1955–1982. Bibcode :2007RSPSA.463.1955M. doi :10.1098/rspa.2007.1857. S2CID 18309860. возмущения наклона и поворота затухают, казалось бы, затухающим образом. Однако система не имеет истинного затухания и сохраняет энергию. Энергия в колебаниях наклона и поворота передается скорости движения, а не рассеивается.
^ Urone, Paul Peter; Hinrichs, Roger (2016). «16.7 Damped Harmonic Motion». College Physics . OpenStax – через Университет Центральной Флориды.
^ Дуглас К. Джанколи (2000). [ Физика для ученых и инженеров с современной физикой (3-е издание) ]. Prentice Hall. стр. 387 ISBN 0-13-021517-1
^ Альсиаторе, Дэвид Г. (2007). Введение в мехатронику и измерения (3-е изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-296305-2.
^ Рахман, Дж.; Муштак, М.; Али, А.; Анджам, Й.Н.; Назир, С. (2014). «Моделирование системы пружин с демпфированной массой в MATHLAB Simulink». Журнал факультета инженерии и технологий . 2 .
^ Уильям Макк. Сиберт. Схемы, сигналы и системы . MIT Press.
^ Мин Рао и Хайминг Цю (1993). Управление технологическими процессами: учебник для инженеров-химиков, механиков и электриков. CRC Press. стр. 96. ISBN 978-2-88124-628-9.
^ «Динамика и колебания: Заметки: Свободные затухающие колебания».
^ "Оценка демпфирования". 19 октября 2015 г.
^ Куо, Бенджамин С. и Голнараги М.Ф. (2003). Системы автоматического управления (Восьмое изд.). Нью-Йорк: Уайли. п. §7.3 с. 236–237. ISBN 0-471-13476-7.
^ ab "демпфирование | Определение, типы и примеры". Encyclopedia Britannica . Получено 2021-06-09 .
^ Гупта, BR (2001). Принципы электротехники, электроники и приборостроения . S. chand Limited. стр. 338. ISBN 9788121901031.
^ "Вихревые токи и магнитное затухание | Физика". courses.lumenlearning.com . Получено 2021-06-09 .
^ ЛИ, ДАГ-ЯНГ; УЭРЕЛИ, НОРМАН М. (июнь 2000 г.). «Квазистационарный анализ Гершеля-Балкли для демпферов электро- и магнитореологического режима течения». Электрореологические жидкости и магнитореологические суспензии . WORLD SCIENTIFIC: 579–586. doi :10.1142/9789812793607_0066. ISBN 978-981-02-4258-9.
^ Саварези, Серджио М.; Пуссо-Вассаль, Шарль; Спельта, Криштиану; Сенаме, Оливер; Дугард, Люк (01 января 2010 г.), Саварези, Серхио М.; Пуссо-Вассаль, Шарль; Спельта, Криштиану; Сенаме, Оливер (ред.), «ГЛАВА 2 — Технологии и модели полуактивной подвески», Проектирование управления полуактивной подвеской для транспортных средств , Бостон: Баттерворт-Хейнеманн, стр. 15–39, номер документа : 10.1016/b978-0- 08-096678-6.00002-х, ISBN 978-0-08-096678-6, получено 2023-07-15

«Затухание». Британская энциклопедия .
OpenStax, Колледж. "Физика". Lumen .