Нефритовое зеркало четырех неизвестных

Математическая монография Чжу Шицзе 1303 г.

Иллюстрации в нефритовом зеркале четырех неизвестных

Треугольник Цзя Сянь

Нефритовое Зеркало Четырех Неизвестных , ^[1] Сыюань Юйцзянь (四元玉鉴), также называемое Нефритовым Зеркало Четырех Начал , ^[2] представляет собой математическую монографию 1303 года, написанную математиком династии Юань Чжу Шицзе . ^[3] Чжу продвинул китайскую алгебру с этим опусом Magnum .

Книга состоит из введения и трех книг, в общей сложности 288 задач. Первые четыре задачи введения иллюстрируют его метод четырех неизвестных. Он показал, как преобразовать задачу, сформулированную устно, в систему полиномиальных уравнений (до 14-го порядка), используя до четырех неизвестных: 天 Небо, 地 Земля, 人 Человек, 物 Материя, а затем как свести систему к одно полиномиальное уравнение с одним неизвестным путем последовательного исключения неизвестных. Затем он решил уравнение высокого порядка, предложенное математиком династии Южная Сун Цинь Цзюшао методом «Лин лонг кай фан», опубликованным в «Сюшу Цзиучжан» (« Математический трактат в девяти разделах ») в 1247 году (более чем за 570 лет до появления английского математика Уильяма Хорнера ). метод с использованием синтетического деления). Для этого он использует треугольник Паскаля , который он называет схемой древнего метода, впервые открытого Цзя Сянем до 1050 года.

Чжу также решал проблемы с квадратными и кубическими корнями, решая квадратные и кубические уравнения, и углубил понимание рядов и прогрессий, классифицируя их в соответствии с коэффициентами треугольника Паскаля. Он также показал, как решать системы линейных уравнений , приводя матрицу их коэффициентов к диагональному виду . Его методы на много столетий предшествовали Блезу Паскалю , Уильяму Хорнеру и современным матричным методам. В предисловии к книге описывается, как Чжу в течение 20 лет путешествовал по Китаю в качестве учителя математики.

Нефритовое зеркало четырех неизвестных состоит из четырех книг с 24 классами и 288 задачами, в которых 232 задачи посвящены Тянь юань шу , 36 задач связаны с переменной с двумя переменными, 13 задач с тремя переменными и 7 задач с четырьмя переменными.

Введение

Квадрат суммы четырех величин прямоугольного треугольника

Четыре величины: x , y , z , w могут быть представлены следующей диаграммой.

Икс

угу _ _

я

Площадь которого:

a: основание «го» b «гу» вертикаль c гипотеня «сиань»

Унитарные Небулы

В этом разделе речь идет о Тянь юань шу или проблемах одного неизвестного.

Вопрос: Если произведение хуанфаня и чжи цзи равно 24 шагам, а сумма вертикали и гипотенузы равна 9 шагам, каково значение основания?

Ответ: 3 шага.

Установите унитарный Тиан в качестве базы (то есть пусть базой будет неизвестная величина x )

Так как произведение Хуанфана и Чжи Цзи = 24

в котором

Хуанфань определяется как: ^[4] ${\displaystyle (a+b-c)}$

Чжи Цзи : ${\displaystyle ab}$

поэтому ${\displaystyle (a+b-c)ab=24}$

Далее сумма вертикали и гипотенузы равна

${\displaystyle b+c=9}$

Настройте неизвестный унитарный тянь как вертикаль.

${\displaystyle x=a}$

Получаем следующее уравнение

（） ${\displaystyle x^{5}-9x^{4}-81x^{3}+729x^{2}=3888}$

太

Решите ее и получите x=3.

Тайна двух природ

太 Унитарный

уравнение: ; ${\displaystyle -2y^{2}-xy^{2}+2xy+2x^{2}y+x^{3}=0}$

из данного

太

уравнение: ; ${\displaystyle 2y^{2}-xy^{2}+2xy+x^{3}=0}$

мы получаем:

太

${\displaystyle 8x+4x^{2}=0}$

и

太

${\displaystyle 2x^{2}+x^{3}=0}$

методом исключения получаем квадратное уравнение

${\displaystyle x^{2}-2x-8=0}$

решение: . ${\displaystyle x=4}$

Эволюция трех талантов

Шаблон решения задачи трех неизвестных

Чжу Шицзе подробно объяснил метод устранения. Его пример часто цитируется в научной литературе. ^{[5] [6] [7]}

Составьте три уравнения следующим образом

太

${\displaystyle -y-z-y^{2}x-x+xyz=0}$.... я

${\displaystyle -y-z+x-x^{2}+xz=0}$.....II

太

${\displaystyle y^{2}-z^{2}+x^{2}=0;}$....III

Устранение неизвестного между II и III

путем манипуляции обменом переменными

Мы получаем

太

${\displaystyle -x-2x^{2}+y+y^{2}+xy-xy^{2}+x^{2}y}$...IV

и

太

${\displaystyle -2x-2x^{2}+2y-2y^{2}+y^{3}+4xy-2xy^{2}+xy^{2}}$.... В

Устранив неизвестное между IV и V, мы получаем уравнение 3-го порядка

${\displaystyle x^{4}-6x^{3}+4x^{2}+6x-5=0}$

Решите это уравнение 3-го порядка, чтобы получить  ; ${\displaystyle x=5}$

Измените переменные обратно

Получаем гипотенус =5 шагов

Одновременность четырех элементов

В этом разделе рассматриваются одновременные уравнения с четырьмя неизвестными.

Уравнения четырех элементов

${\displaystyle {\begin{cases}-2y+x+z=0\\-y^{2}x+4y+2x-x^{2}+4z+xz=0\\x^{2}+y^{2}-z^{2}=0\\2y-w+2x=0\end{cases}}}$

Последовательное исключение неизвестных, чтобы получить

${\displaystyle 4x^{2}-7x-686=0}$

Решите задачу и получите 14 шагов.

Книга I

Задачи о прямоугольных треугольниках и прямоугольниках

В этом разделе 18 задач.

Задача 18

Получите полиномиальное уравнение десятого порядка:

${\displaystyle 16x^{10}-64x^{9}+160x^{8}-384x^{7}+512x^{6}-544x^{5}+456x^{4}+126x^{3}+3x^{2}-4x-177162=0}$

Корень из которого х = 3, умножаем на 4, получаем 12. Вот и окончательный ответ.

Проблемы плоских фигур

В этом разделе 18 задач.

Проблемы штучного товара

В этом разделе 9 задач

Проблемы с хранением зерна

В этом разделе 6 задач

Проблемы с трудом

В этом разделе 7 задач

Проблемы уравнений для дробных корней

В этом разделе 13 задач.

Книга II

Смешанные проблемы

Сдерживание кругов и квадратов

Проблемы на территориях

Съемка с использованием прямоугольных треугольников

В этом разделе восемь задач.

Проблема 1

Вопрос: Имеется прямоугольный город неизвестного размера, имеющий по одному воротам с каждой стороны. В 240 шагах от южных ворот находится пагода. Человек, прошедший 180 шагов от западных ворот, может увидеть пагоду, затем он проходит 240 шагов в сторону юго-восточного угла и достигает пагоды; какова длина и ширина прямоугольного города? Ответ: длина 120 шагов, ширина одна ли.

Пусть тянь юань унитарен как половина длины, получим уравнение 4-го порядка

${\displaystyle x^{4}+480x^{3}-270000x^{2}[phone]x+1866240000=0}$^[8]

Решив ее, получим x = 240 шагов, следовательно, длина = 2x = 480 шагов = 1 ли и 120 шагов.

Сходство, пусть тянь юань унитарный (x) равен половине ширины.

мы получаем уравнение:

${\displaystyle x^{4}+360x^{3}-270000x^{2}[phone]x+1866240000=0}$^[9]

Решив ее, получим х = 180 шагов, длина = 360 шагов = один ли.

Проблема 7

Идентичен глубине ущелья (с использованием перекладин вперед) в Хайдао Суаньцзин .

Задача 8

Идентичен « Глубине прозрачного бассейна в Хайдао Суаньцзин ».

стога сена

Связки стрел

Измерение земли

Вызов людей по необходимости

Задача № 5 — самая ранняя в мире формула интерполяции 4-го порядка.

вызваны мужчины: ^[10] ${\displaystyle na+{\tfrac {1}{2!}}n(n-1)b+{\tfrac {1}{3!}}n(n-1)(n-2)c+{\tfrac {1}{4!}}n(n-1)(n-2)(n-3)d}$

В котором

• а = разница 1-го порядка
• b = разность 2-го порядка
• c = разность третьего порядка
• d = разность четвертого порядка

Книга III

Фруктовая куча

В этом разделе собрано 20 задач на треугольные и прямоугольные сваи.

Проблема 1

Найдите сумму треугольной стопки

${\displaystyle 1+3+6+10+...+{\frac {1}{2}}n(n+1)}$

а ценность стопки фруктов равна:

${\displaystyle v=2+9+24+50+90+147+224+\cdots +{\frac {1}{2}}n(n+1)^{2}}$

Чжу Шицзе использует Тянь юань шу, чтобы решить эту проблему, полагая x = n.

и получил формулу

${\displaystyle v={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}(3x+5)x(x+1)(x+2)}$

Из данного условия , следовательно, ${\displaystyle v=1320}$

${\displaystyle 3x^{4}+14x^{3}+21x^{2}+10x-31680=0}$^[11]

Решите ее, чтобы получить . ${\displaystyle x=n=9}$

Поэтому,

${\displaystyle v=2+9+24+50+90+147+224+324+450=1320}$。

Цифры внутри рисунка

Одновременные уравнения

Уравнение двух неизвестных

Лево и право

Уравнение трех неизвестных

Уравнение четырех неизвестных

Шесть задач с четырьмя неизвестными.

вопрос 2

Получите систему уравнений с четырьмя неизвестными: . ^[12]

${\displaystyle {\begin{cases}-3y^{2}+8y-8x+8z=0\\4y^{2}-8xy+3x^{2}-8yz+6xz+3z^{2}=0\\y^{2}+x^{2}-z^{2}=0\\2y+4x+2z-w=0\end{cases}}}$

Рекомендации

1. Мотыга, Джон (1978) Нефритовое зеркало четырех неизвестных - некоторые размышления. Математика. Летопись 7, с. 125-156.
2. Харт, Роджер (2013). Воображаемые цивилизации Китай, Запад и их первая встреча. Балтимор, Мэриленд: Университет Джонса Хопкинса Pr. п. 82. ИСБН 978-1421406060.
3. Элман, Бенджамин А. (2005). Самостоятельная наука в Китае, 1550-1900 гг. Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. п. 252. ИСБН 0674036476.
4. Чжу Сидзе Сиюань Юйцзянь Science Press стр. 148 ISBN 2007 г. 978-7-03-020112-6 
5. У Вэньцзюнь Механизация математики (吴文俊 数学机械化 《朱世杰的一个例子》), стр. 18-19 Science Press ISBN 7-03-010764-0 
6. Чжу Шицзе Сиюань Юйцзянь , аннотации Ли Чжаохуа (朱世杰原著 李兆华校正 《四元玉鉴》) с. 149-153 Science Press, 2007 ISBN 978-7-03-020112-6 
7. Дж. Хоэ Les Systèmes d'Equations Polynômes dans le Siyuan Yujian (1303), Париж: Institut des Hautes Etudes Chinoises, 1977
8. 万有文库第二集 朱世杰撰 罗士琳草 （中） 卷下之五 四一0-四一一。
9. 万有文库第二集 朱世杰撰 罗士琳草 （中） 卷下之五 四一一页。
10. 孔国平 440-441。
11. Чжу Шицзе Сиюань Юйцзянь, с процедурами Ло Шилиня. (万有文库第二集 朱世杰撰 罗士琳草 （中） 卷下之一 六四六-六四八)
12. Чжу Шицзе, Сиюань Юйцзянь, аннотации Ли Чжаохуа, Science Press, стр. 246-249, 2007 ISBN 978-7-03-020112-6 

Источники

• Нефритовое зеркало четырех неизвестных, тр. на английский профессор Чэнь Чжаисинь, бывший заведующий кафедрой математики Университета Яньчин (в 1925 г.), перевод на современный китайский Го Шучунь, том I и II, Библиотека китайской классики, китайско-английский, Liaoning Education Press, 2006 ISBN 7-5382 -6923-1 https://www.scribd.com/document/357204551/Siyuan-yujian-2, https://www.scribd.com/document/357204728/Siyuan-yujian-1 
• Собрание сочинений Ли Яня и Цянь Баокуна по истории наук, том 1 《李俨钱宝琮科学史全集》 第一卷 钱宝琮 《中国算学史 上编》
• Чжу Шицзе Сиюань Юйцзянь, книги 1–4, с комментариями математика династии Цинь Ло Шилиня, Commercial Press
• Дж. Хо, Les systèmes d'équations Polynômes dans le Siyuan Yujian (1303), Institut des Hautes Études Chinoises, Париж, 1977 г.
• Дж. Хо, Исследование руководства четырнадцатого века по полиномиальным уравнениям «Нефритовое зеркало четырех неизвестных» Чжу Шицзе, Bookroom Mingming, PO Box 29-316, Крайстчерч, Новая Зеландия, 2007 г.