Электронная зонная структура

Описывает диапазон энергий электрона в твердом теле.

В физике твердого тела электронная зонная структура (или просто зонная структура ) твердого тела описывает диапазон энергетических уровней , которые электроны могут иметь внутри него, а также диапазоны энергии, которых они могут не иметь (называемые запрещенными зонами или запрещенными зонами ). группы ).

Зонная теория выводит эти зоны и запрещенные зоны путем изучения разрешенных квантово-механических волновых функций для электрона в большой периодической решетке атомов или молекул. Зонная теория успешно используется для объяснения многих физических свойств твердых тел, таких как удельное электрическое сопротивление и оптическое поглощение , и формирует основу понимания всех твердотельных устройств (транзисторов, солнечных элементов и т. д.).

Почему возникают полосы и запрещенные зоны

Гипотетический пример образования полос, когда большое количество атомов углерода собираются вместе, образуя кристалл алмаза. Правый график показывает уровни энергии как функцию расстояния между атомами. Когда атомы расположены далеко друг от друга (правая часть графика), собственные состояния представляют собой атомные орбитали углерода. Когда атомы приближаются (слева), орбитали гибридизуются в молекулярные орбитали с разными энергиями. Поскольку атомов много, орбитали очень близки по энергии и образуют сплошные полосы. Принцип запрета Паули ограничивает количество электронов на одной орбитали двумя, а зоны заполняются, начиная с наименьшей энергии. При фактическом размере ячейки кристалла алмаза, обозначенном a , образуются две полосы, разделенные запрещенной зоной 5,5 эВ.

Анимация образования зон и того, как электроны заполняют их в металле и изоляторе.

Образование электронных зон и запрещенных зон можно проиллюстрировать двумя взаимодополняющими моделями электронов в твердых телах. ^{[1] : 161} Первая — это модель почти свободных электронов , в которой предполагается, что электроны почти свободно движутся внутри материала. В этой модели электронные состояния напоминают плоские волны свободных электронов и лишь незначительно возмущаются кристаллической решеткой. Эта модель объясняет происхождение закона электронной дисперсии, но объяснение запрещенных зон в этой модели является тонким. ^{[2] : 121}

Вторая модель начинается с противоположного предела, в котором электроны тесно связаны с отдельными атомами. Электроны отдельного изолированного атома занимают атомные орбитали с дискретными энергетическими уровнями . Если два атома подходят достаточно близко, так что их атомные орбитали перекрываются, электроны могут туннелировать между атомами. Это туннелирование расщепляет ( гибридизирует ) атомные орбитали на молекулярные орбитали с разными энергиями. ^{[2] : 117–122.}

Аналогично, если большое количество N одинаковых атомов собираются вместе, образуя твердое тело, например кристаллическую решетку , атомные орбитали атомов перекрываются с соседними орбиталями. ^[3] Каждый дискретный уровень энергии разделяется на N уровней, каждый из которых имеет разную энергию. Поскольку число атомов в макроскопическом куске твердого тела очень велико ( N ~ 10 ²² ), число орбиталей очень велико и, следовательно, они очень близко расположены по энергии (порядка10–22  эВ ) ^. Энергия соседних уровней настолько близка друг к другу, что их можно рассматривать как континуум, энергетическую зону.

Такое образование полос в основном свойственно внешним электронам ( валентным электронам ) в атоме, которые участвуют в химической связи и электропроводности . Внутренние электронные орбитали перекрываются незначительно, поэтому их зоны очень узкие.

Запрещенные зоны — это, по сути, оставшиеся диапазоны энергии, не охваченные какой-либо зоной из-за конечной ширины энергетических зон. Полосы имеют разную ширину, причем ширина зависит от степени перекрытия атомных орбиталей , из которых они возникают. Две соседние полосы могут быть просто недостаточно широкими, чтобы полностью охватить диапазон энергии. Например, полосы, связанные с остовными орбиталями (такими как 1s-электроны ), чрезвычайно узки из-за небольшого перекрытия между соседними атомами. В результате между основными полосами обычно возникают большие запрещенные зоны. Более высокие полосы включают в себя сравнительно большие орбитали с большим перекрытием, которые становятся все шире при более высоких энергиях, так что при более высоких энергиях не остается запрещенных зон.

Базовые концепты

Предположения и ограничения теории зонной структуры

Зонная теория — это лишь приближение к квантовому состоянию твердого тела, которое применимо к твердым телам, состоящим из множества одинаковых атомов или молекул, связанных вместе. Вот предположения, необходимые для справедливости зонной теории:

• Система бесконечного размера : чтобы полосы были непрерывными, кусок материала должен состоять из большого количества атомов. Поскольку макроскопический кусок материала содержит порядка 10 ²² атомов, это не является серьезным ограничением; Зонная теория применима даже к транзисторам микроскопических размеров в интегральных схемах . С изменениями концепцию зонной структуры можно распространить и на системы, которые являются «большими» только по некоторым измерениям, например двумерные электронные системы .
• Гомогенная система : полосовая структура является внутренним свойством материала, которое предполагает, что материал является однородным. Практически это означает, что химический состав материала должен быть однородным по всей детали.
• Неинтерактивность : зонная структура описывает «одноэлектронные состояния». Существование этих состояний предполагает, что электроны движутся в статическом потенциале, не взаимодействуя динамически с колебаниями решетки , другими электронами, фотонами и т. д.

Вышеупомянутые предположения нарушаются в ряде важных практических ситуаций, и использование зонной структуры требует внимательного контроля за ограничениями зонной теории:

• Неоднородности и интерфейсы. Вблизи поверхностей, стыков и других неоднородностей объемная зонная структура нарушается. Имеют место не только локальные мелкомасштабные нарушения (например, поверхностные состояния или примесные состояния внутри запрещенной зоны), но и локальные дисбалансы зарядов. Эти дисбалансы зарядов имеют электростатические эффекты, которые распространяются глубоко в полупроводники, изоляторы и вакуум (см. Легирование , изгиб зон ).
• Аналогичным образом, большинство электронных эффектов ( емкость , электрическая проводимость , экранирование электрического поля ) связаны с физикой прохождения электронов через поверхности и/или вблизи интерфейсов. Полное описание этих эффектов в картине зонной структуры требует, по крайней мере, элементарной модели электрон-электронных взаимодействий (см. Объемный заряд , изгиб зоны ).
• Малые системы. Для систем, которые малы по всем измерениям (например, маленькая молекула или квантовая точка ), не существует непрерывной зонной структуры. Переход между малыми и большими измерениями — это область мезоскопической физики .
• Сильно коррелированные материалы (например, изоляторы Мотта ) просто невозможно понять в терминах одноэлектронных состояний. Электронные зонные структуры этих материалов плохо определены (или, по крайней мере, не определены однозначно) и не могут предоставлять полезную информацию об их физическом состоянии.

Кристаллическая симметрия и волновые векторы

Рис. 1. Зона Бриллюэна гранецентрированной кубической решетки с метками особых точек симметрии.

Рис. 2. График зонной структуры Si , Ge , GaAs и InAs , построенный с использованием модели сильной связи. Обратите внимание, что Si и Ge являются материалами с непрямой запрещенной зоной, а GaAs и InAs - с прямой.

В расчетах зонной структуры используется периодическая природа кристаллической решетки и ее симметрия. Одноэлектронное уравнение Шредингера решается для электрона в периодическом решеточном потенциале, в результате чего в качестве решений принимаются блоховские электроны .

$${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} ),}$$

kknkEn ( k )_{уравнением} дисперсии

Волновой вектор принимает любое значение внутри зоны Бриллюэна , которая представляет собой многогранник в пространстве волнового вектора ( обратной решетки ), связанный с решеткой кристалла. Волновые векторы вне зоны Бриллюэна просто соответствуют состояниям, которые физически идентичны состояниям внутри зоны Бриллюэна. Особым точкам/линиям высокой симметрии в зоне Бриллюэна присвоены такие метки, как Γ, Δ, Λ, Σ (см. рис. 1).

_{Трудно визуализировать} форму полосы как функцию волнового вектора, так как для этого потребуется построить график в четырехмерном пространстве E в зависимости от k _x , ky , k _z . В научной литературе часто встречаются графики зонной структуры , на которых показаны значения En ( k ) _для значений k вдоль прямых линий, соединяющих точки симметрии, часто обозначаемых Δ, Λ, Σ или [100], [111] и [110] соответственно. ^{[4] [5]} Другой метод визуализации зонной структуры — построить изоповерхность с постоянной энергией в пространстве волновых векторов, показывающую все состояния с энергией, равной определенному значению. Изоповерхность состояний с энергией, равной уровню Ферми , называется поверхностью Ферми .

Энергетические запрещенные зоны можно классифицировать с помощью волновых векторов состояний, окружающих запрещенную зону:

• Прямая запрещенная зона : состояние с самой низкой энергией над запрещенной зоной имеет тот же k , что и состояние с самой высокой энергией под запрещенной зоной.
• Косвенная запрещенная зона : ближайшие состояния выше и ниже запрещенной зоны не имеют одинакового значения k .

Асимметрия: зонные структуры в некристаллических твердых телах.

Хотя электронные зонные структуры обычно связаны с кристаллическими материалами, квазикристаллические и аморфные твердые тела также могут иметь запрещенную зону. Их несколько сложнее изучать теоретически, поскольку им не хватает простой симметрии кристалла, и обычно невозможно определить точный закон дисперсии. В результате практически все существующие теоретические работы по электронной зонной структуре твердых тел сосредоточены на кристаллических материалах.

Плотность штатов

Функция плотности состояний g ( E ) определяется как количество электронных состояний на единицу объема, на единицу энергии, для энергий электронов, близких к E.

Функция плотности состояний важна для расчетов эффектов на основе зонной теории. В золотом правиле Ферми , вычислении скорости оптического поглощения , учитывается как количество возбудимых электронов, так и количество конечных состояний электрона. Он появляется в расчетах электропроводности , где он определяет количество мобильных состояний, и при вычислении скорости рассеяния электронов, где он определяет количество конечных состояний после рассеяния. ^{[ нужна цитата ]}

Для энергий внутри запрещенной зоны g ( E ) = 0 .

Заполнение полос

Заполнение электронных состояний в различных типах материалов в состоянии равновесия . Здесь высота — это энергия, а ширина — плотность доступных состояний для определенной энергии в указанном материале. Оттенок соответствует распределению Ферми – Дирака ( черный : все состояния заполнены, белый : состояния не заполнены). В металлах и полуметаллах уровень Ферми EF лежит как минимум внутри одной зоны _.

В изоляторах и полупроводниках уровень Ферми находится внутри запрещенной зоны ; однако в полупроводниках зоны расположены достаточно близко к уровню Ферми, чтобы их можно было термически заселить электронами или дырками .

редактировать

При термодинамическом равновесии вероятность того, что состояние с энергией E будет заполнено электроном, определяется распределением Ферми-Дирака , термодинамическим распределением, которое учитывает принцип исключения Паули :

$${\displaystyle f(E)={\frac {1}{1+e^{{(E-\mu )}/{k_{\text{B}}T}}}}}$$

• k _B T — произведение постоянной Больцмана и температуры , а
• µ — суммарный химический потенциал электронов, или уровень Ферми (в физике полупроводников эту величину чаще обозначают E _F ). Уровень Ферми твердого тела напрямую связан с напряжением на этом твердом теле, измеренным вольтметром. Традиционно на диаграммах зонной структуры за ноль энергии принимают уровень Ферми (выбор произвольный).

Плотность электронов в материале представляет собой просто интеграл распределения Ферми – Дирака, умноженный на плотность состояний:

$${\displaystyle N/V=\int _{-\infty }^{\infty }g(E)f(E)\,dE}$$

Хотя существует бесконечное число зон и, следовательно, бесконечное число состояний, в эти зоны можно поместить лишь конечное число электронов. Предпочтительное значение числа электронов является следствием электростатики: хотя поверхность материала может быть заряжена, внутренняя часть материала предпочитает быть нейтральным по заряду. Условие зарядовой нейтральности означает, что N / V должно соответствовать плотности протонов в материале. Чтобы это произошло, материал электростатически подстраивается, сдвигая свою зонную структуру вверх или вниз по энергии (тем самым смещая g ( E ) ), пока он не достигнет правильного равновесия по отношению к уровню Ферми.

Названия зон вблизи уровня Ферми (зона проводимости, валентная зона)

Твердое тело имеет бесконечное количество разрешенных зон, так же как атом имеет бесконечное количество энергетических уровней. Однако большинство полос просто имеют слишком высокую энергию и в обычных обстоятельствах ими обычно пренебрегают. ^[6] И наоборот, существуют очень низкоэнергетические полосы, связанные с основными орбиталями (например, 1s-электроны ). Этими низкоэнергетическими основными зонами также обычно пренебрегают, поскольку они всегда остаются заполненными электронами и, следовательно, инертны. ^[7] Аналогично, материалы имеют несколько запрещенных зон по всей своей зонной структуре.

Наиболее важные зоны и запрещенные зоны, имеющие отношение к электронике и оптоэлектронике, — это зоны с энергиями вблизи уровня Ферми. Зонам и запрещенным зонам вблизи уровня Ферми присваиваются специальные названия в зависимости от материала:

• В полупроводнике или зонном изоляторе уровень Ферми окружен запрещенной зоной, называемой запрещенной зоной (чтобы отличить ее от других запрещенных зон в зонной структуре). Ближайшая зона выше запрещенной зоны называется зоной проводимости , а ближайшая зона ниже запрещенной зоны называется валентной зоной . Название «валентная зона» было придумано по аналогии с химией, поскольку в полупроводниках (и изоляторах) валентная зона построена из валентных орбиталей .
• В металле или полуметалле уровень Ферми находится внутри одной или нескольких разрешенных зон. В полуметаллах зоны обычно называют «зоной проводимости» или «валентной зоной» в зависимости от того, является ли перенос заряда более электронным или дырочным, по аналогии с полупроводниками. Однако во многих металлах зоны не являются ни электронными, ни дырочными, и их часто называют просто «валентной зоной», поскольку они состоят из валентных орбиталей. ^[8] Запрещенные зоны в зонной структуре металла не важны для физики низких энергий, поскольку они слишком далеки от уровня Ферми.

Теория в кристаллах

Анзац — это частный случай электронных волн в периодической кристаллической решетке, основанный на теореме Блоха , которая обычно рассматривается в динамической теории дифракции . Каждый кристалл представляет собой периодическую структуру, которую можно охарактеризовать решеткой Браве , и для каждой решетки Браве мы можем определить обратную решетку , которая инкапсулирует периодичность в наборе трех векторов обратной решетки ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ) . Теперь любой периодический потенциал V ( r ) , который имеет ту же периодичность, что и прямая решетка, может быть разложен в ряд Фурье , единственными неисчезающими компонентами которого являются те, которые связаны с векторами обратной решетки. Таким образом, расширение можно записать как:

$${\displaystyle V(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {K} }{V_{\mathbf {K} }e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} }}}$$

K знак равно м ₁ б ₁ + м ₂ б ₂ + м ₃ б ₃( м ₁ , м ₂ , м ₃ )

На основе этой теории можно попытаться предсказать зонную структуру конкретного материала, однако большинство ab initio методов расчета электронной структуры не могут предсказать наблюдаемую запрещенную зону.

Приближение почти свободных электронов

В приближении почти свободных электронов взаимодействия между электронами полностью игнорируются. Это приближение позволяет использовать теорему Блоха, которая утверждает, что электроны в периодическом потенциале имеют волновые функции и энергии, периодические по волновому вектору, вплоть до постоянного фазового сдвига между соседними векторами обратной решетки . Последствия периодичности математически описываются теоремой Блоха, которая утверждает, что волновые функции собственного состояния имеют вид

$${\displaystyle \Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n}(\mathbf {r} )}$$

${\displaystyle u_{n}(\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle u_{n}(\mathbf {r} )=u_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} ).}$$

Здесь индекс n относится к n -й энергетической зоне, волновой вектор k связан с направлением движения электрона, r — положение в кристалле, а R — расположение атомной позиции. ^{[9] : 179}

Модель NFE особенно хорошо работает в таких материалах, как металлы, где расстояния между соседними атомами невелики. В таких материалах перекрытие атомных орбиталей и потенциалов соседних атомов относительно велико. В этом случае волновую функцию электрона можно аппроксимировать (модифицированной) плоской волной. Зонная структура такого металла, как алюминий , даже приближается к приближению пустой решетки .

Модель с жесткой вязкой

Противоположная крайность приближению почти свободных электронов предполагает, что электроны в кристалле ведут себя во многом как совокупность составляющих атомов. Эта модель сильной связи предполагает, что решение независимого от времени одноэлектронного уравнения Шредингера хорошо аппроксимируется линейной комбинацией атомных орбиталей . ^{[9] : 245–248.} ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \psi _{n}(\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\sum _{n,\mathbf {R} }b_{n,\mathbf {R} }\psi _{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} ),}$$

nRфункции Ванье^{[9] : уравнение. 42 с. 267  [10]} ${\displaystyle b_{n,\mathbf {R} }}$

$${\displaystyle a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )={\frac {V_{C}}{(2\pi )^{3}}}\int _{\text{BZ}}d\mathbf {k} e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}u_{n\mathbf {k} };}$$

зоне БриллюэнаnnRn ${\displaystyle u_{n\mathbf {k} }}$

$${\displaystyle \Psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {R} -\mathbf {r} )}a_{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} ).}$$

Модель TB хорошо работает в материалах с ограниченным перекрытием атомных орбиталей и потенциалов соседних атомов. Зонные структуры таких материалов, как Si , GaAs , SiO2 _и алмаз , например, хорошо описываются TB-гамильтонианами на основе атомных sp3- ^{орбиталей} . В переходных металлах смешанная модель TB-NFE используется для описания широкой зоны проводимости NFE и узких встроенных d-зон TB. Радиальные функции атомной орбитальной части функций Ванье проще всего вычислять с помощью методов псевдопотенциала . Расчеты зонной структуры NFE, TB или комбинированные расчеты зонной структуры NFE-TB ^[11] , иногда дополненные аппроксимациями волновой функции, основанными на методах псевдопотенциала, часто используются в качестве экономической отправной точки для дальнейших расчетов.

Модель ККР

Метод KKR, также называемый «теорией многократного рассеяния» или методом функции Грина, находит стационарные значения обратной матрицы перехода T, а не гамильтониана. Вариационная реализация была предложена Коррингой , Коном и Ростокером, и ее часто называют методом Корринги-Кона-Ростокера . ^{[12] [13]} Наиболее важные особенности формулировки KKR или функции Грина: (1) она отделяет два аспекта проблемы: структуру (положения атомов) от рассеяния (химическая идентичность атомов); и (2) функции Грина обеспечивают естественный подход к локализованному описанию электронных свойств, который можно адаптировать к сплавам и другим неупорядоченным системам. Самая простая форма этого приближения сосредотачивает непересекающиеся сферы (называемые формочками для кексов ) на позициях атомов. Внутри этих областей потенциал, испытываемый электроном, приближается к сферически-симметричному относительно данного ядра. В оставшейся межузельной области экранированный потенциал приближается к константе. Обеспечивается непрерывность потенциала между атомоцентрированными сферами и межузельной областью.

Теория функционала плотности

В современной физической литературе подавляющее большинство электронных структур и зонных диаграмм рассчитываются с использованием теории функционала плотности (DFT), которая является не моделью, а, скорее, теорией, т. е. микроскопической теорией первых принципов физики конденсированного состояния , которая пытается справиться с электрон-электронной задачей многих тел путем введения обменно -корреляционного члена в функционал электронной плотности . Полосы, рассчитанные с помощью DFT, во многих случаях оказываются согласующимися с экспериментально измеренными полосами, например, с помощью фотоэмиссионной спектроскопии с угловым разрешением (ARPES). В частности, форма полосы обычно хорошо воспроизводится методом ДПФ. Но есть также систематические ошибки в полосах ДПФ по сравнению с результатами эксперимента. В частности, DFT, похоже, систематически недооценивает ширину запрещенной зоны в изоляторах и полупроводниках примерно на 30-40%. ^[14]

Принято считать, что ДПФ — это теория, позволяющая предсказывать только свойства основного состояния системы (например, полную энергию , атомную структуру и т. д.), и что свойства возбужденного состояния не могут быть определены с помощью ДПФ. Это заблуждение. В принципе, ДПФ может определить любое свойство (основное или возбужденное состояние) системы с учетом функционала, который отображает плотность основного состояния на это свойство. В этом суть теоремы Хоэнберга–Кона. ^[15] Однако на практике не существует известного функционала, который сопоставляет плотность основного состояния с энергиями возбуждения электронов внутри материала. Таким образом, то, что в литературе цитируется как диаграмма полосы ДПФ, представляет собой представление энергий ДПФ Кона-Шэма , т.е. энергий фиктивной невзаимодействующей системы, системы Кона-Шэма, которая вообще не имеет физической интерпретации. Электронную структуру Кона-Шэма не следует путать с реальной квазичастичной электронной структурой системы, и для энергий Кона-Шэма не существует теоремы Купманса , как для энергий Хартри-Фока, которые действительно можно рассматривать как приближение для энергий квазичастиц. Следовательно, в принципе, ДПФ на основе Кона-Шэма не является зонной теорией, т. е. не является теорией, подходящей для расчета зон и зонных диаграмм. В принципе, для расчета истинной зонной структуры можно использовать зависящее от времени ДПФ , хотя на практике это часто бывает затруднительно. Популярным подходом является использование гибридных функционалов , которые включают часть точного обмена Хартри – Фока; это приводит к существенному улучшению прогнозируемой ширины запрещенной зоны полупроводников, но менее надежно для металлов и широкозонных материалов. ^[16]

Методы функций Грина и ab initio GW-приближение

Для расчета зон, включающих эффекты многих тел электрон-электронного взаимодействия , можно прибегнуть к так называемым методам функции Грина . Действительно, знание функции Грина системы обеспечивает наблюдаемые как основного (полная энергия), так и возбужденного состояния системы. Полюсы функции Грина — это энергии квазичастиц, зоны твердого тела. Функцию Грина можно вычислить путем решения уравнения Дайсона , если известна собственная энергия системы. Для реальных систем, таких как твердые тела, собственная энергия является очень сложной величиной, и для решения проблемы обычно необходимы приближения. Одним из таких приближений является приближение GW , названное так по математической форме, которую собственная энергия принимает как произведение Σ = GW функции Грина G и динамически экранированного взаимодействия W. Этот подход более уместен при расчете зонных диаграмм (а также величин за ее пределами, таких как спектральная функция), и его также можно сформулировать полностью ab initio . Приближение GW, по-видимому, обеспечивает ширину запрещенной зоны изоляторов и полупроводников в соответствии с экспериментом и, следовательно, исправляет систематическое недооценивание ДПФ.

Динамическая теория среднего поля

Хотя приближение почти свободных электронов способно описать многие свойства зонных электронных структур, одним из следствий этой теории является то, что она предсказывает одинаковое количество электронов в каждой элементарной ячейке. Если число электронов нечетное, мы могли бы ожидать, что в каждой элементарной ячейке есть неспаренный электрон и, следовательно, валентная зона не заполнена полностью, что делает материал проводником. Однако такие материалы, как CoO , которые имеют нечетное количество электронов на элементарную ячейку, являются изоляторами, что прямо противоречит этому результату. Этот тип материала известен как изолятор Мотта , и для объяснения несоответствия требуется учет детальных электрон-электронных взаимодействий (рассматриваемых только как усредненное влияние на кристаллический потенциал в зонной теории). Модель Хаббарда — это приближенная теория, которая может учитывать эти взаимодействия. Его можно рассматривать непертурбативно в рамках так называемой динамической теории среднего поля , которая пытается преодолеть разрыв между приближением почти свободных электронов и атомным пределом. Однако формально состояния в этом случае не являются невзаимодействующими, и концепция зонной структуры неадекватна для описания этих случаев.

Другие

Расчет зонных структур — важная тема теоретической физики твердого тела . Помимо моделей, упомянутых выше, есть и другие модели:

• Приближение пустой решетки : «зонная структура» области свободного пространства, разделенной на решетку.
• Теория возмущений k·p — это метод, который позволяет приближенно описать зонную структуру с помощью всего нескольких параметров. Этот метод обычно используется для полупроводников , а параметры модели часто определяются экспериментальным путем.
• Модель Кронига -Пенни — одномерная модель прямоугольной скважины, полезная для иллюстрации образования полос. Несмотря на свою простоту, он предсказывает множество важных явлений, но не является количественным.
• Модель Хаббарда

Зонная структура была обобщена на волновые векторы, которые являются комплексными числами , в результате чего получилась так называемая комплексная зонная структура , которая представляет интерес для поверхностей и интерфейсов.

Каждая модель очень хорошо описывает одни типы твердых тел, а другие — плохо. Модель почти свободных электронов хорошо работает для металлов, но плохо для неметаллов. Модель сильной связи чрезвычайно точна для ионных изоляторов, таких как соли галогенидов металлов (например, NaCl ).

Ленточные диаграммы

Чтобы понять, как меняется зонная структура относительно уровня Ферми в реальном пространстве, график зонной структуры часто сначала упрощают в виде зонной диаграммы . На зонной диаграмме вертикальная ось представляет собой энергию, а горизонтальная ось представляет реальное пространство. Горизонтальные линии представляют уровни энергии, а блоки представляют собой энергетические диапазоны. Когда горизонтальные линии на этой диаграмме наклонены, энергия уровня или зоны меняется с расстоянием. Схематически это изображает наличие электрического поля внутри кристаллической системы. Зонные диаграммы полезны для сопоставления общих свойств зонной структуры различных материалов друг с другом при контакте друг с другом.

Смотрите также

• Инженерия запрещенной зоны — процесс изменения зонной структуры материала.
• Феликс Блох — пионер теории зонной структуры.
• Алан Херрис Уилсон — пионер теории зонной структуры.

Рекомендации

1. Саймон, Стивен Х. (2013). Оксфордские основы твердого тела. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-150210-1.
2. Гирвин, Стивен М.; Ян, Кун (2019). Современная физика конденсированного состояния . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-13739-4.
3. Холгейт, Шэрон Энн (2009). Понимание физики твердого тела. ЦРК Пресс. стр. 177–178. ISBN 978-1-4200-1232-3.
4. «Архив NSM - Арсенид алюминия-галлия (AlGaAs) - Зонная структура и концентрация носителей» . www.ioffe.ru .
5. «Электронная зонная структура» (PDF) . www.springer.com . Спрингер. п. 24 . Проверено 10 ноября 2016 г.
6. Высокоэнергетические полосы важны для физики дифракции электронов , где электроны могут быть инжектированы в материал при высоких энергиях, см. Stern, R.; Перри, Дж.; Будро, Д. (1969). «Поверхности дисперсии дифракции низкоэнергетических электронов и зонная структура в трехмерных смешанных отражениях Лауэ и Брэгга». Обзоры современной физики . 41 (2): 275. Бибкод : 1969РвМП...41..275С. doi : 10.1103/RevModPhys.41.275..
7. Однако низкоэнергетические полосы важны для эффекта Оже .
8. В меди, например, эффективная масса представляет собой тензор и также меняет знак в зависимости от волнового вектора, как это можно видеть в эффекте Де Хааса – Ван Альфена ; см. https://www.phys.ufl.edu/fermisurface/
9. Чарльз Киттель (1996). Введение в физику твердого тела (Седьмое изд.). Нью-Йорк: Уайли. ISBN 978-0-471-11181-8.
10. Дэниел Чарльз Мэттис (1994). Задача многих тел: энциклопедия точно решаемых моделей в одном измерении. Всемирная научная. п. 340. ИСБН 978-981-02-1476-0.
11. Уолтер Эшли Харрисон (1989). Электронная структура и свойства твердых тел. Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-66021-9.
12. Джогиндер Сингх Галсин (2001). Рассеяние примесей в металлических сплавах. Спрингер. Приложение C. ISBN 978-0-306-46574-1.
13. Куон Иноуэ, Кадзуо Отака (2004). Фотонные кристаллы. Спрингер. п. 66. ИСБН 978-3-540-20559-3.
14. Ассади, М. Хусейн. Н.; Ханаор, Дориан А.Х. (21 июня 2013 г.). «Теоретическое исследование энергетики и магнетизма меди в полиморфах TiO ₂ ». Журнал прикладной физики . 113 (23): 233913–233913–5. arXiv : 1304.1854 . Бибкод : 2013JAP...113w3913A. дои : 10.1063/1.4811539. ISSN  0021-8979. S2CID  94599250.
15. Хоэнберг, П; Кон, В. (ноябрь 1964 г.). «Неоднородный электронный газ». Физ. Преподобный . 136 (3Б): Б864–Б871. Бибкод : 1964PhRv..136..864H. дои : 10.1103/PhysRev.136.B864 .
16. Пайер, Дж.; Марсман, М.; Хаммер, К.; Кресс, Г.; Гербер, IC; Ангьян, Дж.Г. (2006). «Экранированные гибридные функционалы плотности применительно к твердым телам». J Chem Phys . 124 (15): 154709. Бибкод : 2006JChPh.124o4709P. дои : 10.1063/1.2187006. ПМИД  16674253.

дальнейшее чтение

• Эшкрофт, Нил и Н. Дэвид Мермин, Физика твердого тела , ISBN 0-03-083993-9 
• Харрисон, Уолтер А., Элементарная электронная структура , ISBN 981-238-708-0 
• Харрисон, Уолтер А.; В.А. Бенджамин Псевдопотенциалы в теории металлов , (Нью-Йорк) 1966 г.
• Мардер, Майкл П., Физика конденсированного состояния , ISBN 0-471-17779-2 
• Мартин, Ричард, Электронная структура: основная теория и практические методы , ISBN 0-521-78285-6 
• Миллман, Джейкоб; Арвин Габриэль, Микроэлектроника , ISBN 0-07-463736-3 , Tata McGraw-Hill Edition. 
• Немошкаленко В. В., Антонов Н. В. Вычислительные методы в физике твердого тела , ISBN 90-5699-094-2 
• Омар, М. Али, Элементарная физика твердого тела: принципы и приложения , ISBN 0-201-60733-6 
• Сингх, Джасприт, Электронные и оптоэлектронные свойства полупроводниковых структур, главы 2 и 3, ISBN 0-521-82379-X 
• Василеска, Драгица , Учебное пособие по методам зонной структуры (2008)