В геометрии фокусы или фокусы ( / ˈ f oʊ k aɪ / ; ед . ч. : фокус ) — это особые точки, относительно которых строится любая из множества кривых . Например, один или два фокуса могут использоваться при определении конических сечений , четырьмя типами которых являются окружность , эллипс , парабола и гипербола . Кроме того, два фокуса используются для определения овала Кассини и декартова овала , а более двух фокусов используются при определении n -эллипса .
Эллипс можно определить как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных фокусов постоянна .
Окружность — это частный случай эллипса, в котором два фокуса совпадают друг с другом. Таким образом, окружность можно проще определить как геометрическое место точек, каждая из которых находится на фиксированном расстоянии от одного заданного фокуса. Окружность также можно определить как окружность Аполлония , в терминах двух различных фокусов, как геометрическое место точек, имеющих фиксированное отношение расстояний до двух фокусов.
Парабола — предельный случай эллипса, в котором один из фокусов — точка на бесконечности .
Гиперболу можно определить как геометрическое место точек, для которых абсолютное значение разности расстояний до двух заданных фокусов является постоянным.
Также возможно описать все конические сечения в терминах одного фокуса и одной директрисы , которая является заданной линией , не содержащей фокус. Коника определяется как геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до фокуса, деленное на расстояние до директрисы, является фиксированной положительной константой, называемой эксцентриситетом e . Если 0 < e < 1, коника является эллипсом, если e = 1, коника является параболой, а если e > 1, коника является гиперболой. Если расстояние до фокуса фиксировано, а директриса является линией на бесконечности , то эксцентриситет равен нулю, то коника является окружностью.
Также возможно описать все конические сечения как геометрические места точек, которые равноудалены от одного фокуса и одной круговой направляющей. Для эллипса и фокус, и центр направляющей окружности имеют конечные координаты, а радиус направляющей окружности больше расстояния между центром этой окружности и фокусом; таким образом, фокус находится внутри направляющей окружности. Эллипс, созданный таким образом, имеет свой второй фокус в центре направляющей окружности, и эллипс полностью лежит внутри окружности.
Для параболы центр директрисы перемещается в точку на бесконечности (см. Проективная геометрия ). Директриса «окружность» становится кривой с нулевой кривизной, неотличимой от прямой линии. Два плеча параболы становятся все более параллельными по мере их расширения, и «на бесконечности» становятся параллельными; используя принципы проективной геометрии, две параллели пересекаются в точке на бесконечности, и парабола становится замкнутой кривой (эллиптическая проекция).
Для создания гиперболы радиус направляющей окружности выбирается меньше расстояния между центром этой окружности и фокусом; таким образом, фокус находится вне направляющей окружности. Рукава гиперболы приближаются к асимптотическим линиям, а «правая» рука одной ветви гиперболы встречается с «левой» рукой другой ветви гиперболы в точке на бесконечности; это основано на принципе, что в проективной геометрии одна прямая встречается сама с собой в точке на бесконечности. Таким образом, две ветви гиперболы являются двумя (скрученными) половинами кривой, замкнутой на бесконечности.
В проективной геометрии все коники эквивалентны в том смысле, что каждая теорема, которую можно сформулировать для одной из них, может быть сформулирована и для других.
В гравитационной задаче двух тел орбиты двух тел относительно друг друга описываются двумя перекрывающимися коническими сечениями, один из фокусов которых совпадает с одним из фокусов других в центре масс ( барицентре ) двух тел.
Так, например, Харон, крупнейший спутник малой планеты Плутон , имеет эллиптическую орбиту, один из фокусов которой находится в барицентре системы Плутон-Харон, то есть в точке, которая находится в пространстве между двумя телами; и Плутон также движется по эллипсу с одним из фокусов в том же барицентре между телами. Эллипс Плутона полностью находится внутри эллипса Харона, как показано в этой анимации системы.
Для сравнения, земная Луна движется по эллипсу с одним из фокусов в барицентре Луны и Земли , причем этот барицентр находится внутри самой Земли, в то время как Земля (точнее, ее центр) движется по эллипсу с одним фокусом в том же барицентре внутри Земли. Барицентр составляет около трех четвертей расстояния от центра Земли до ее поверхности.
Более того, система Плутон-Харон движется по эллипсу вокруг своего барицентра с Солнцем , как и система Земля-Луна (и любая другая система планета-луна или безлунная планета в Солнечной системе). В обоих случаях барицентр находится внутри тела Солнца.
Две двойные звезды также движутся по эллипсам, имеющим общий фокус в их барицентре; анимацию можно посмотреть здесь .
Декартов овал — это множество точек, для каждой из которых взвешенная сумма расстояний до двух данных фокусов постоянна. Если веса равны, получается особый случай эллипса.
Овал Кассини — это множество точек, для каждой из которых произведение расстояний до двух заданных фокусов является постоянной величиной.
n - эллипс — это множество точек, имеющих одинаковую сумму расстояний до n фокусов ( случай n = 2 соответствует обычному эллипсу).
Понятие фокуса можно обобщить на произвольные алгебраические кривые . Пусть C — кривая класса m , а I и J обозначают точки окружности на бесконечности . Проведем m касательных к C через каждую из точек I и J. Существует два набора из m прямых, которые будут иметь m 2 точек пересечения, за исключением некоторых случаев из-за особенностей и т. д. Эти точки пересечения определяются как фокусы C. Другими словами, точка P является фокусом, если и PI , и PJ касаются C. Когда C — действительная кривая, действительными являются только пересечения сопряженных пар, поэтому в действительном фокусе находится m точек, а в мнимом фокусе — m точек . Когда C — коника, действительные фокусы , определенные таким образом, — это в точности фокусы, которые можно использовать в геометрическом построении C.
Пусть P 1 , P 2 , …, P m заданы как фокусы кривой C класса m . Пусть P будет произведением тангенциальных уравнений этих точек, а Q — произведением тангенциальных уравнений бесконечно удаленных точек окружности. Тогда все прямые, которые являются общими касательными к P = 0 и Q = 0, касаются C . Таким образом, по теореме AF+BG тангенциальное уравнение C имеет вид HP + KQ = 0 . Поскольку C имеет класс m , H должно быть константой и K , но иметь степень, меньшую или равную m − 2 . Случай H = 0 можно исключить как вырожденный, поэтому тангенциальное уравнение C можно записать как P + fQ = 0 , где f — произвольный многочлен степени 2 m . [1]
Например, пусть m = 2 , P 1 = (1, 0) и P 2 = (−1, 0) . Тангенциальные уравнения имеют вид
поэтому P = X 2 − 1 = 0. Тангенциальные уравнения для круговых точек на бесконечности имеют вид
поэтому Q = X 2 + Y 2 . Следовательно, касательное уравнение для конического сечения с заданными фокусами имеет вид
или
где с — произвольная константа. В точечных координатах это становится
