Подсчет — это процесс определения количества элементов конечного набора объектов ; то есть определение размера набора. Традиционный способ подсчета состоит в постоянном увеличении счетчика (мысленного или устного) на единицу для каждого элемента множества в определенном порядке, при этом отмечая (или перемещая) эти элементы, чтобы избежать повторного посещения одного и того же элемента до тех пор, пока не немаркированные элементы оставлены; если счетчик был установлен на единицу после первого объекта, значение после посещения конечного объекта дает желаемое количество элементов. Соответствующий термин «перечисление» относится к уникальной идентификации элементов конечного ( комбинаторного) набора или бесконечного набора путем присвоения номера каждому элементу.
Иногда при подсчете используются числа, отличные от единицы; например, при пересчете денег, отсчете сдачи, «счете двойками» (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) или «счете пятерками» (5, 10, 15, 20, 25 , ...).
Есть археологические данные, свидетельствующие о том, что люди отсчитывали по меньшей мере 50 000 лет. [1] Подсчет в основном использовался в древних культурах для отслеживания социальных и экономических данных, таких как количество членов группы, хищных животных, имущества или долгов (то есть для бухгалтерского учета ). Кости с надрезами были также найдены в Пограничных пещерах в Южной Африке, что может свидетельствовать о том, что концепция счета была известна людям еще в 44 000 году до нашей эры. [2] Развитие счета привело к развитию математической записи , систем счисления и письменности .
Устный счет предполагает произнесение последовательных цифр вслух или мысленно, чтобы отслеживать прогресс. Обычно такой подсчет выполняется с помощью чисел по основанию 10 : «1, 2, 3, 4» и т. д. Устный подсчет часто используется для объектов, которые присутствуют в данный момент, а не для подсчета вещей с течением времени, поскольку после прерывания подсчет должен возобновиться с того места, где оно было опущено, это число, которое необходимо записать или запомнить.
Подсчет небольшого набора объектов, особенно с течением времени, можно эффективно выполнять с помощью подсчетных меток : делая отметку для каждого числа, а затем подсчитывая все отметки после подсчета. Подсчет ведется по основанию 1 .
Счет по пальцам удобен и распространен для небольших чисел. Дети считают на пальцах, чтобы облегчить подсчет и выполнять простые математические действия. В старых методах счета по пальцам для счета до двенадцати использовались четыре пальца и три кости каждого пальца ( фаланги ). [3] Используются и другие системы жестов рук, например китайская система, согласно которой можно посчитать до 10, используя только жесты одной руки. С помощью двоичного кода пальцев можно сохранить количество пальцев до 1023 = 2 10 − 1 .
Для облегчения подсчета также можно использовать различные устройства, такие как счетные счетчики и счеты .
Инклюзивный счет обычно встречается при работе со временем в римских календарях и романских языках . [4] В древнеримском календаре ноны (что означает «девять» ) приходится на 8 дней перед идами ; в более общем смысле даты указываются как дни, учитываемые включительно, до следующего названного дня. [4] В христианском литургическом календаре Пятидесятисима ( что означает 50) приходится на 49 дней до Пасхального воскресенья. При подсчете «включительно» воскресенье (день начала) будет днем 1 и, следовательно, следующее воскресенье будет восьмым днем . Например, французское словосочетание « две недели » — quinzaine (15 [дней]), и подобные слова присутствуют в греческом (δεκαπενθήμερο, dekapenthímero ), испанском ( quincena ) и португальском ( quinzena ). Напротив, само английское слово «две недели» происходит от «четырнадцати ночей», а архаичное «сеннайт» происходит от «семи ночей»; английские слова не являются примерами инклюзивного подсчета. В эксклюзивных языках счета, таких как английский, при отсчете восьми дней «от воскресенья» понедельник будет днем 1 , вторник днем 2 , а следующий понедельник будет восьмым днем . [ нужна цитата ] В течение многих лет в английском праве было стандартной практикой , когда фраза «с даты» означала «начиная со следующего дня после этой даты»: сейчас эта практика устарела из-за высокого риска неправильного понимания. [5]
Аналогичный подход используется в исчислении возраста в Восточной Азии , где новорожденным при рождении считается 1 год.
В музыкальной терминологии используется также инклюзивный подсчет интервалов между нотами стандартной гаммы: подъем на одну ноту вверх — второй интервал, подъем на две ноты вверх — третий интервал и т. д., подъем на семь нот вверх — октава .
Обучение счету является важной вехой в образовании/развитии в большинстве культур мира. Обучение счету — это самый первый шаг ребенка в математику, который составляет самую фундаментальную идею этой дисциплины. Однако некоторые культуры Амазонии и австралийской глубинки не учитываются, [6] [7] , и в их языках нет числовых слов.
Многие дети уже в двухлетнем возрасте уже обладают определенными навыками произнесения счетного списка (то есть произнесения «раз, два, три, ...»). Они также могут отвечать на вопросы о порядковости небольших чисел, например: «Что идет после трех ?». Они даже могут научиться указывать на каждый предмет в наборе и произносить слова одно за другим. Это приводит многих родителей и педагогов к выводу, что ребенок умеет пользоваться счетом для определения размера набора. [8] Исследования показывают, что после освоения этих навыков ребенку требуется около года, чтобы понять, что они означают и почему выполняются процедуры. [9] [10] Тем временем дети учатся называть мощности, которые они могут субитизировать .
В математике суть подсчета набора и нахождения результата n заключается в том, что он устанавливает взаимно однозначное соответствие (или биекцию) набора с подмножеством натуральных чисел {1, 2, ..., n } . Фундаментальный факт, который можно доказать с помощью математической индукции , состоит в том, что между {1, 2, ..., n } и {1, 2, ..., m } не может существовать никакой взаимной однозначности, если только n = m ; этот факт (вместе с тем фактом, что две биекции могут быть составлены , чтобы дать другую биекцию) гарантирует, что подсчет одного и того же набора разными способами никогда не может привести к получению разных чисел (если не будет допущена ошибка). Это фундаментальная математическая теорема, которая определяет цель счета; как бы вы ни считали (конечное) множество, ответ тот же. В более широком контексте эта теорема является примером теоремы из математической области (конечной) комбинаторики , поэтому (конечную) комбинаторику иногда называют «математикой счета».
Многие множества, возникающие в математике, не позволяют установить биекцию с {1, 2, ..., n } для любого натурального числа n ; они называются бесконечными множествами , а те множества, для которых такая биекция существует (для некоторого n ), называются конечными множествами . Бесконечные множества нельзя сосчитать в обычном смысле; во-первых, математические теоремы, лежащие в основе этого обычного смысла для конечных множеств, неверны для бесконечных множеств. Более того, различные определения понятий, в терминах которых сформулированы эти теоремы, хотя и эквивалентны для конечных множеств, но неэквивалентны в контексте бесконечных множеств.
На них можно распространить понятие счета в смысле установления (существования) биекции с некоторым хорошо понятным множеством. Например, если множество можно привести в соответствие с множеством всех натуральных чисел, то оно называется « счетно бесконечным ». Этот вид подсчета принципиально отличается от подсчета конечных множеств тем, что добавление новых элементов к множеству не обязательно увеличивает его размер, поскольку не исключается возможность биекции с исходным множеством. Например, набор всех целых чисел (включая отрицательные числа) можно привести в соответствие с набором натуральных чисел, и даже, казалось бы, гораздо большие наборы, такие как набор всех конечных последовательностей рациональных чисел, по-прежнему (только) счетно бесконечны. Тем не менее, существуют множества, такие как набор действительных чисел , которые, как можно показать, «слишком велики», чтобы допускать биекцию с натуральными числами, и эти множества называются « несчетными ». Говорят, что множества, для которых существует биекция между ними, имеют одинаковую мощность , и в самом общем смысле подсчет множества можно понимать как определение его мощности. Помимо мощностей, заданных каждым из натуральных чисел, существует бесконечная иерархия бесконечных мощностей, хотя в обычной математике встречается лишь очень мало таких мощностей (то есть вне теории множеств , которая явно изучает возможные мощности).
Подсчет, в основном конечных множеств, имеет различные приложения в математике. Один важный принцип заключается в том, что если два множества X и Y имеют одинаковое конечное число элементов и известно, что функция f : X → Y инъективна , то она также сюръективна , и наоборот. Связанный с этим факт известен как принцип «ячейки» , который гласит, что если два множества X и Y имеют конечное число элементов n и m с n > m , то любое отображение f : X → Y не является инъективным (поэтому существуют два различных элемента X , который f отправляет тому же элементу Y ); это следует из первого принципа, поскольку если бы f было инъективным, то его ограничение было бы инъективным до строгого подмножества S из X с m элементами, причем это ограничение тогда было бы сюръективным, что противоречило тому факту, что для x в X вне S , f ( x ) не может быть в образе ограничения. Подобные аргументы подсчета могут доказать существование определенных объектов без явного указания примера. В случае бесконечных множеств это может применяться даже в ситуациях, когда невозможно привести пример. [ нужна цитата ]
Область перечислительной комбинаторики занимается вычислением количества элементов конечных множеств без их фактического подсчета; последнее обычно невозможно, поскольку сразу рассматриваются бесконечные семейства конечных множеств, например набор перестановок { 1, 2, ..., n } для любого натурального числа n .