stringtranslate.com

Усеченный икосаэдр

3D модель усеченного икосаэдра

В геометрии усеченный икосаэдр — это многогранник, который можно построить, усекая все вершины правильного икосаэдра . Интуитивно его можно рассматривать как футбольные мячи, которые обычно имеют узор из белых шестиугольников и черных пятиугольников. Его можно найти в применении геодезических купольных структур, таких как те, пионером архитектуры которых был Бакминстер Фуллер , часто основанные на этой структуре. Это пример архимедова тела , а также многогранника Голдберга .

Строительство

Усеченный икосаэдр может быть построен из правильного икосаэдра путем отсечения всех его вершин, что известно как усечение . Каждая из 12 вершин на отметке в одну треть каждого ребра создает 12 пятиугольных граней и преобразует исходные 20 треугольных граней в правильные шестиугольники. [1] Таким образом, полученный многогранник имеет 32 грани, 90 ребер и 60 вершин. [2] Многогранник Голдберга — это многогранник, грани которого представляют собой 12 пятиугольников и некоторые кратные 10 шестиугольники. Существует три класса многогранников Голдберга, один из них строится путем многократного усечения всех вершин, и усеченный икосаэдр является одним из них, обозначаемым как . [3]

Характеристики

Площадь поверхности и объем усеченного икосаэдра с длиной ребра : [2] Сферичность многогранника описывает , насколько многогранник похож на сферу . Ее можно определить как отношение площади поверхности сферы с тем же объемом к площади поверхности многогранника, откуда значение находится между 0 и 1. В случае усеченного икосаэдра это: [2]

Двугранный угол усеченного икосаэдра между соседними шестиугольными гранями составляет приблизительно 138,18°, а между пятиугольником и шестиугольником — приблизительно 142,6°. [4]

Усеченный икосаэдр является архимедовым телом , то есть это высокосимметричный и полуправильный многогранник, и две или более различных правильных многоугольных граней сходятся в вершине. [5] Он имеет ту же симметрию, что и правильный икосаэдр, икосаэдрическую симметрию , а также обладает свойством вершинной транзитивности . [6] [7] Многоугольные грани, которые сходятся для каждой вершины, — это один пятиугольник и два шестиугольника, а вершинная фигура усеченного икосаэдра — . Двойственный усеченному икосаэдру — пентакисдодекаэдр , каталонское тело , [8] имеет ту же симметрию, что и усеченный икосаэдр. [9]

Усеченный икосаэдрический граф

Усеченный икосаэдрический граф

Согласно теореме Штейница , скелет усеченного икосаэдра, как и скелет любого выпуклого многогранника , может быть представлен в виде многогранного графа , то есть планарного графа (который можно нарисовать без пересечения ребер) и 3-вершинно-связного графа (остающегося связным, когда удаляются две его вершины). [10] Граф известен как усеченный икосаэдрический граф , и он имеет 60 вершин и 90 ребер. Это архимедов граф , потому что он напоминает одно из архимедовых тел. Это кубический граф , то есть каждая вершина инцидентна ровно трем ребрам. [11] [12] [13]

Появление

Усеченный икосаэдр (слева) в сравнении с футбольным мячом

Мячи, используемые в американском футболе и командном гандболе, являются, пожалуй, самым известным примером сферического многогранника, аналога усеченного икосаэдра, встречающегося в повседневной жизни. [14] Мяч состоит из той же схемы правильных пятиугольников и правильных шестиугольников, каждый из которых окрашен в черный и белый цвета соответственно; тем не менее, его форма более сферическая. Он был разработан Adidas Telstar во время чемпионата мира в 1970 году . [15] Однако он был заменен в 2006 году . [16]

Молекула бакминстерфуллерена​

Геодезические купола обычно основаны на треугольных гранях этой геометрии с примерами структур, найденных по всему миру, популяризированных Бакминстером Фуллером . Пример можно найти в модели бакминстерфуллерена , усеченного икосаэдрического геодезического купола аллотропа элементарного углерода, открытого в 1985 году. [17] В других инженерных и научных приложениях его форма также была конфигурацией линз, используемых для фокусировки взрывных ударных волн детонаторов как в гаджете, так и в атомных бомбах Толстяка . [18] Его структуру также можно найти в белке клатрине . [13]

Изображение усеченного икосаэдра, выполненное Пьеро делла Франческой из его книги De quinque corporibus Regularibus.

Усеченный икосаэдр был известен Архимеду , который классифицировал 13 архимедовых тел в утерянной работе. Все, что сейчас известно о его работе над этими формами, исходит от Паппа Александрийского , который просто перечисляет количество граней для каждой: 12 пятиугольников и 20 шестиугольников в случае усеченного икосаэдра. Первое известное изображение и полное описание усеченного икосаэдра были получены в результате повторного открытия Пьеро делла Франческа в его книге XV века De quinque corporibus regularibus , которая включала пять архимедовых тел (пять усечений правильных многогранников). [19] Та же самая форма была изображена Леонардо да Винчи в его иллюстрациях к плагиату Луки Пачоли книги делла Франчески в 1509 году. Хотя Альбрехт Дюрер исключил эту форму из других архимедовых тел, перечисленных в его книге 1525 года о многогранниках Underweysung der Messung , ее описание было найдено в его посмертных работах, опубликованных в 1538 году. Иоганн Кеплер позже заново открыл полный список 13 архимедовых тел, включая усеченный икосаэдр, и включил их в свою книгу 1609 года Harmonices Mundi . [20]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Chancey, CC; O'Brien, MCM (1997). Эффект Яна-Теллера в C60 и других икосаэдрических комплексах. Princeton University Press . стр. 13. ISBN 978-0-691-22534-0.
  2. ^ abc Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
  3. ^ Харт, Джордж (2012). «Многогранники Голдберга». В Сенечал, Марджори (ред.). Shaping Space (2-е изд.). Springer. стр. 125–138. doi :10.1007/978-0-387-92714-5_9. ISBN 978-0-387-92713-8.
  4. ^ Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский журнал математики . 18 : 169–200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
  5. ^ Diudea, MV (2018). Многослойные полиэдральные кластеры. Springer . стр. 39. doi :10.1007/978-3-319-64123-2. ISBN 978-3-319-64123-2.
  6. ^ Koca, M.; Koca, NO (2013). «Группы Коксетера, кватернионы, симметрии многогранников и 4D-политопов». Математическая физика: Труды 13-й региональной конференции, Анталья, Турция, 27–31 октября 2010 г. World Scientific. стр. 48.
  7. ^ Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники. Cambridge University Press . стр. 386. ISBN 978-0-521-55432-9.
  8. ^ Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: путеводитель по дизайну. Dover Publications, Inc. стр. 90. ISBN 978-0-486-23729-9.
  9. ^ Холден, Алан (1991). Формы, пространство и симметрия. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. стр. 52. ISBN 9780486268514.
  10. ^ Negami, S. (2016). "Точные вложения планарных графов на ориентируемых замкнутых поверхностях". В Širáň, Jozef; Jajcay, Robert (ред.). Symmetries in Graphs, Maps, and Polytopes: 5th SIGMAP Workshop, West Malvern, UK, июль 2014 г. Springer. стр. 250. doi :10.1007/978-3-319-30451-9. ISBN 978-3-319-30451-9.
  11. ^ Рид, Р. К.; Уилсон, Р. Дж. (1998). Атлас графиков . Oxford University Press . стр. 268.
  12. ^ Годсил, К.; Ройл, Г. (2001). Алгебраическая теория графов . Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 211.
  13. ^ ab Kostant, B. (1995). «Граф усеченного икосаэдра и последняя буква Галуа» (PDF) . Notices American Mathematical Society . 42 (9): 959–968.
  14. ^ Котчик, Дитер (июль–август 2006 г.). «Топология и комбинаторика футбольных мячей». American Scientist . 94 (4): 350. doi :10.1511/2006.60.350.
  15. ^ Харланд, Энди; Хансон, Генри (2016). «Динамика футбольного мяча». В Strudwick, Тони (ред.). Футбольная наука . Кинетика человека. стр. 205. ISBN 978-1-4504-9679-7.
  16. ^ Посаментье, Альфред С.; Мареш, Гюнтер; Таллер, Бернд; Шпрейцер, Кристиан; Геретшлагер, Роберт; Штульпфаррер, Дэвид; Дорнер, Кристиан (2022). Геометрия в нашем трехмерном мире. Всемирная научная. п. 182. ИСБН 9789811237126.
  17. ^ Katz, EA (2006). «Тонкие пленки фуллерена как фотоэлектрический материал». В Sōga, Tetsuo (ред.). Наноструктурированные материалы для преобразования солнечной энергии . Elsevier. стр. 361. ISBN 978-0-444-52844-5.
  18. ^ Rhodes, Richard (1996). Dark Sun: The Making of the Hydrogen Bomb. Touchstone Books. стр. 195. ISBN 0-684-82414-0.
  19. ^ Кац, Юджин А. (2011). «Мосты между математикой, естественными науками, архитектурой и искусством: случай фуллеренов». Искусство, наука и технологии: взаимодействие трех культур, Труды первой международной конференции. С. 60–71.
  20. ^ Field, JV (1997). «Повторное открытие архимедовых многогранников: Пьеро делла Франческа, Лука Пачоли, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Даниэле Барбаро и Иоганн Кеплер». Архив истории точных наук . 50 (3–4): 241–289. doi :10.1007/BF00374595. JSTOR  41134110. MR  1457069. S2CID  118516740.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме Усеченный икосаэдр .
Найдите термин «усеченный икосаэдр» в Викисловаре, бесплатном словаре.