Разрешимая группа

Группа с субнормальным рядом, где все факторы абелевы

В математике , а точнее в области теории групп , разрешимая группа или разрешимая группа — это группа , которая может быть построена из абелевых групп с помощью расширений . Эквивалентно, разрешимая группа — это группа, производный ряд которой заканчивается в тривиальной подгруппе .

Мотивация

Исторически слово «разрешимый» возникло из теории Галуа и доказательства общей неразрешимости уравнений пятой степени . В частности, полиномиальное уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда соответствующая группа Галуа разрешима ^[1] (обратите внимание, что эта теорема справедлива только в характеристике 0). Это означает, что полиному соответствует башня расширений полей ${\displaystyle f\in F[x]}$

${\displaystyle F=F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq \cdots \subseteq F_{m}=K}$

такой что

1. ${\displaystyle F_{i}=F_{i-1}[\alpha _{i}]}$где , поэтому является решением уравнения , где ${\displaystyle \alpha _{i}^{m_{i}}\in F_{i-1}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle x^{m_{i}}-a}$ ${\displaystyle a\in F_{i-1}}$
2. ${\displaystyle F_{m}}$содержит поле разделения для ${\displaystyle f(x)}$

Пример

Например, наименьшее расширение поля Галуа, содержащее элемент ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}}$

дает разрешимую группу. Она имеет ассоциированные расширения поля

${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)}$

дающая разрешимую группу расширений Галуа, содержащую следующие композиционные факторы :

• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}})} \right/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2}$с групповым действием и минимальным многочленом . ${\displaystyle f\left(\pm {\sqrt {2}}\right)=\mp {\sqrt {2}},\ f^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-2}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})} \right/\mathbb {Q({\sqrt {2}})} )\cong \mathbb {Z} /2}$с групповым действием и минимальным многочленом . ${\displaystyle g\left(\pm {\sqrt {3}}\right)=\mp {\sqrt {3}},\ g^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-3}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\right)\cong \mathbb {Z} /4}$с групповым действием и минимальным многочленом, содержащим корни пятой степени из единицы, исключая . ${\displaystyle h^{n}\left(e^{2im\pi /5}\right)=e^{2(n+1)mi\pi /5},\ 0\leq n\leq 3,\ h^{4}=1}$ ${\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=(x^{5}-1)/(x-1)}$ ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\right)\cong \mathbb {Z} /5}$с групповым действием и минимальным многочленом . ${\displaystyle j^{l}(a)=e^{2li\pi /5}a,\ j^{5}=1}$ ${\displaystyle x^{5}-\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}$

, где — это перестановка идентичности. Все определяющие групповые действия изменяют одно расширение, сохраняя все остальные расширения фиксированными. Например, элемент этой группы — групповое действие . Общий элемент в группе можно записать как для всего 80 элементов. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle fgh^{3}j^{4}}$ ${\displaystyle f^{a}g^{b}h^{n}j^{l},\ 0\leq a,b\leq 1,\ 0\leq n\leq 3,\ 0\leq l\leq 4}$

Стоит отметить, что эта группа сама по себе не абелева . Например:

${\displaystyle hj(a)=h(e^{2i\pi /5}a)=e^{4i\pi /5}a}$

${\displaystyle jh(a)=j(a)=e^{2i\pi /5}a}$

На самом деле, в этой группе . Разрешимая группа изометрична , определяемой с помощью полупрямого произведения и прямого произведения циклических групп . В разрешимой группе не является нормальной подгруппой. ${\displaystyle jh=hj^{3}}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} _{5}\rtimes _{\varphi }\mathbb {C} _{4})\times (\mathbb {C} _{2}\times \mathbb {C} _{2}),\ \mathrm {where} \ \varphi _{h}(j)=hjh^{-1}=j^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{4}}$

Определение

Группа G называется разрешимой, если она имеет субнормальный ряд , все фактор-группы (фактор-группы) которого абелевы , то есть если существуют подгруппы

${\displaystyle 1=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft G_{k}=G}$

это означает, что _G j _{−1 нормальна} в G j _, так что G _j / G _j −1 является абелевой группой, для j = 1, 2, ..., k . 

Или, что эквивалентно, если его производный ряд , то нисходящий нормальный ряд

${\displaystyle G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots ,}$

где каждая подгруппа является коммутантом предыдущей, в конечном итоге достигает тривиальной подгруппы группы G. Эти два определения эквивалентны, поскольку для каждой группы H и каждой нормальной подгруппы N группы H фактор-группа H / N абелева тогда и только тогда, когда N включает коммутант группы H. Наименьшее n , такое что G ^{( n )} = 1, называется производной длиной разрешимой группы G.

Для конечных групп эквивалентное определение состоит в том, что разрешимая группа — это группа с композиционным рядом, все факторы которой являются циклическими группами простого порядка . Это эквивалентно, поскольку конечная группа имеет конечную композиционную длину, а каждая простая абелева группа является циклической простого порядка. Теорема Жордана–Гёльдера гарантирует, что если один композиционный ряд обладает этим свойством, то все композиционные ряды также будут обладать этим свойством. Для группы Галуа многочлена эти циклические группы соответствуют n-ным корням (радикалам) над некоторым полем . Эквивалентность не обязательно выполняется для бесконечных групп: например, поскольку каждая нетривиальная подгруппа группы Z целых чисел при сложении изоморфна самой Z , она не имеет композиционного ряда, но нормальный ряд {0, Z } с его единственной фактор-группой, изоморфной Z , доказывает, что он на самом деле разрешим.

Примеры

Абелевы группы

Базовым примером разрешимых групп являются абелевы группы. Они тривиально разрешимы, поскольку субнормальный ряд образован только самой группой и тривиальной группой. Но неабелевы группы могут быть разрешимыми или неразрешимыми.

Нильпотентные группы

В более общем смысле, все нильпотентные группы разрешимы. В частности, конечные p -группы разрешимы, поскольку все конечные p -группы нильпотентны.

Группы кватернионов

В частности, группа кватернионов является разрешимой группой, заданной расширением группы

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} /2\to Q\to \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2\to 1}$

где ядро ​​— это подгруппа, порожденная . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle -1}$

Групповые расширения

Расширения групп образуют прототипические примеры разрешимых групп. То есть, если и являются разрешимыми группами, то любое расширение ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G'}$

${\displaystyle 1\to G\to G''\to G'\to 1}$

определяет разрешимую группу . Фактически, все разрешимые группы могут быть образованы из таких расширений групп. ${\displaystyle G''}$

Неабелева группа, которая не является нильпотентной

Небольшим примером разрешимой ненильпотентной группы является симметрическая группа S ₃ . Фактически, поскольку наименьшая простая неабелева группа — это A ₅ , ( знакопеременная группа степени 5), то отсюда следует, что любая группа с порядком меньше 60 разрешима.

Конечные группы нечетного порядка

Теорема Фейта–Томпсона утверждает, что каждая конечная группа нечетного порядка разрешима. В частности, это означает, что если конечная группа проста, то она либо является простой циклической, либо имеет четный порядок.

Непример

Группа S ₅ неразрешима — она имеет композиционный ряд {E, A ₅ , S ₅ } (и теорема Жордана–Гёльдера утверждает, что любой другой композиционный ряд эквивалентен этому), что даёт фактор-группы, изоморфные A ₅ и C ₂ ; и A ₅ не является абелевой. Обобщая этот аргумент, в сочетании с тем фактом, что A _n является нормальной, максимальной, неабелевой простой подгруппой S _n для n > 4, мы видим, что S _n неразрешима для n > 4. Это ключевой шаг в доказательстве того, что для любого n > 4 существуют многочлены степени n , которые неразрешимы радикалами ( теорема Абеля–Руффини ). Это свойство также используется в теории сложности в доказательстве теоремы Баррингтона .

Подгруппы GL2

Рассмотрим подгруппы

${\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*\\0&*\end{bmatrix}}\right\}{\text{, }}U=\left\{{\begin{bmatrix}1&*\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}$из ${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {F} )}$

для некоторого поля . Затем групповой фактор можно найти, взяв произвольные элементы в , перемножив их и выяснив, какую структуру это дает. Итак ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle B/U}$ ${\displaystyle B,U}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&ad+b\\0&c\end{bmatrix}}}$

Обратите внимание, что условие определителя на подразумевает , следовательно, является подгруппой (которые являются матрицами, где ). Для фиксированного линейное уравнение подразумевает , что является произвольным элементом в , поскольку . Поскольку мы можем взять любую матрицу в и умножить ее на матрицу ${\displaystyle GL_{2}}$ ${\displaystyle ac\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\subset B}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle ad+b=0}$ ${\displaystyle d=-b/a}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle b\in \mathbb {F} }$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}$

с , мы можем получить диагональную матрицу в . Это показывает факторгруппу . ${\displaystyle d=-b/a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B/U\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}$

Замечание

Обратите внимание, что это описание дает разложение как , где действует на . Это подразумевает . Также матрица вида ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {F} \rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })}$ ${\displaystyle (a,c)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,c)(b)=ab}$ ${\displaystyle (a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}}$

соответствует элементу в группе. ${\displaystyle (b)\times (a,c)}$

Подгруппы Бореля

Для линейной алгебраической группы подгруппа Бореля определяется как подгруппа, которая замкнута, связна и разрешима в , и является максимально возможной подгруппой с этими свойствами (обратите внимание, что первые два свойства являются топологическими). ​​Например, в и группы верхнетреугольных или нижнетреугольных матриц являются двумя подгруппами Бореля. Приведенный выше пример, подгруппа в , является подгруппой Бореля. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle GL_{n}}$ ${\displaystyle SL_{n}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle GL_{2}}$

Подгруппа Бореля в GL₃

Там есть подгруппы ${\displaystyle GL_{3}}$

${\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}U_{1}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*\\0&1&*\\0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

Обратите внимание , следовательно, группа Бореля имеет вид ${\displaystyle B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}$

${\displaystyle U\rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })}$

Подгруппа Бореля в произведении простых линейных алгебраических групп

В группе произведений подгруппа Бореля может быть представлена ​​матрицами вида ${\displaystyle GL_{n}\times GL_{m}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T&0\\0&S\end{bmatrix}}}$

где — верхняя треугольная матрица, — верхняя треугольная матрица. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m\times m}$

Z-группы

Любая конечная группа, p -силовские подгруппы которой цикличны, является полупрямым произведением двух циклических групп, в частности, разрешимой. Такие группы называются Z-группами .

Значения OEIS

Числа разрешимых групп порядка n равны (начиная с n = 0)

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15, 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2, 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50, ... (последовательность A201733 в OEIS )

Порядки неразрешимых групп

60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, 672, 720, 780, 840, 900, 960, 1008, 1020, 1080, 1092, 1140, 1176, 1200, 1260, 1320, 1344, 1380, 1440, 1500, ... (последовательность A056866 в OEIS )

Характеристики

Разрешимость закрыта при выполнении ряда операций.

• Если G разрешима, а H является подгруппой G , то H разрешима. ^[2]
• Если G разрешима и существует гомоморфизм из G на H , то H разрешима; эквивалентно (по первой теореме об изоморфизме ), если G разрешима и N — нормальная подгруппа G , то G / N разрешима. ^[3]
• Предыдущие свойства можно расширить до следующего свойства «три по цене двух»: G разрешима тогда и только тогда, когда разрешимы как N , так и G / N .
• В частности, если G и H разрешимы, то прямое произведение G × H разрешимо.

Разрешимость замкнута относительно расширения группы :

• Если H и G / H разрешимы, то разрешима и G ; в частности, если N и H разрешимы, то их полупрямое произведение также разрешимо.

Он также закрыт под венком продукта:

• Если G и H разрешимы, а X является G -множеством, то сплетение G и H относительно X также разрешимо.

Для любого положительного целого числа N разрешимые группы производной длины не более N образуют подмногообразие многообразия групп, поскольку они замкнуты относительно взятия гомоморфных образов, подалгебр и (прямых) произведений . Прямое произведение последовательности разрешимых групп с неограниченной производной длиной неразрешимо, поэтому класс всех разрешимых групп не является многообразием.

Теорема Бернсайда

Теорема Бернсайда утверждает, что если G — конечная группа порядка p ^a q ^b, где p и q — простые числа , а a и b — неотрицательные целые числа , то G разрешима.

Связанные концепции

Сверхразрешимые группы

В качестве усиления разрешимости группа G называется сверхразрешимой (или сверхразрешимой ), если она имеет инвариантный нормальный ряд, все факторы которого являются циклическими. Поскольку нормальный ряд имеет конечную длину по определению, несчетные группы не являются сверхразрешимыми. Фактически, все сверхразрешимые группы являются конечно порожденными , а абелева группа является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда она конечно порождена. Знакопеременная группа A ₄ является примером конечной разрешимой группы, которая не является сверхразрешимой.

Если ограничиться конечно порожденными группами, то можно рассмотреть следующую схему расположения классов групп:

циклическая < абелева < нильпотентная < сверхразрешимая < полициклическая < разрешимая < конечно порожденная группа .

Виртуально разрешимые группы

Группа G называется виртуально разрешимой, если она имеет разрешимую подгруппу конечного индекса. Это похоже на виртуально абелеву . Очевидно, что все разрешимые группы виртуально разрешимы, поскольку можно просто выбрать саму группу, которая имеет индекс 1.

Гипоабелевский

Разрешимая группа — это группа, производный ряд которой достигает тривиальной подгруппы на конечном этапе. Для бесконечной группы конечный производный ряд может не стабилизироваться, но трансфинитный производный ряд всегда стабилизируется. Группа, трансфинитный производный ряд которой достигает тривиальной группы, называется гипоабелевой группой , а каждая разрешимая группа — гипоабелевой группой. Первый ординал α такой, что G ^{( α )} = G ^{( α +1)} , называется (трансфинитной) производной длиной группы G , и было показано, что каждый ординал является производной длиной некоторой группы (Malcev 1949).

p-разрешимый

Конечная группа является p-разрешимой для некоторого простого p, если каждый фактор в композиционном ряду является p-группой или имеет порядок, простой с p. Конечная группа является разрешимой тогда и только тогда, когда она является p-разрешимой для каждого p. ^[4]

Смотрите также

• Проразрешимая группа

Примечания

1. Милн. Теория поля (PDF) . стр. 45.
2. Ротман (1995), Теорема 5.15 , стр. 102, в Google Books
3. Ротман (1995), Теорема 5.16 , стр. 102, в Google Books
4. "p-разрешимые-группы". Групповые реквизиты вики .

Ссылки

• Мальцев, А.И. (1949), «Обобщенные нильпотентные алгебры и их ассоциированные группы», Матем. сборник , Новая серия, 25 (67): 347–366, MR  0032644
• Ротман, Джозеф Дж. (1995), Введение в теорию групп , Graduate Texts in Mathematics, т. 148 (4-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-94285-8

Внешние ссылки

• Последовательность OEIS A056866 (Порядки неразрешимых групп)
• Разрешимые группы как итерированные расширения