Независимая от времени система

Динамическая система, функция которой не зависит напрямую от времени.

Блок-схема, иллюстрирующая временную инвариантность для детерминированной системы с одним входом и одним выходом, работающей в непрерывном времени. Система является инвариантной во времени тогда и только тогда, когда y ₂ ( t ) = y ₁ ( t – t ₀ ) для всего времени t , для всех действительных констант t ₀ и для всех входных данных x ₁ ( t ) . ^{[1] [2] [3]} Щелкните изображение, чтобы развернуть его.

В теории управления инвариантная во времени ( TI ) система имеет зависящую от времени системную функцию , которая не является прямой функцией времени. Такие системы рассматриваются как класс систем в области системного анализа . Зависящая от времени системная функция является функцией зависящей от времени функции входа . Если эта функция зависит от временной области лишь косвенно (например, через функцию ввода), то эту систему можно считать инвариантной во времени. И наоборот, любая прямая зависимость системной функции от временной области может рассматриваться как «изменяющаяся во времени система».

Математически говоря, «инвариантностью во времени» системы является следующее свойство: ^{[4] : с. 50}

Учитывая систему с зависящей от времени функцией вывода и зависящей от времени функцией входа , система будет считаться инвариантной ко времени, если задержка на входе напрямую равна временной задержке выходной функции. Например, если время — это «прошедшее время», то «инвариантность времени» подразумевает, что связь между входной функцией и выходной функцией постоянна по времени. ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t+\delta )}$ ${\displaystyle y(t+\delta )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle t:}$

${\displaystyle y(t)=f(x(t),t)=f(x(t)).}$

На языке обработки сигналов это свойство может быть удовлетворено, если передаточная функция системы не является прямой функцией времени, за исключением случаев, выраженных входными и выходными данными.

В контексте схемы системы это свойство также можно выразить следующим образом, как показано на рисунке справа:

Если система не зависит от времени, то системный блок коммутирует с произвольной задержкой.

Если нестационарная система также является линейной , она является предметом линейной нестационарной теории (линейной нестационарной теории) с прямыми приложениями в ЯМР-спектроскопии , сейсмологии , цепях , обработке сигналов , теории управления и других технических областях. Нелинейным , инвариантным во времени системам не хватает всеобъемлющей руководящей теории. Дискретные стационарные системы известны как инвариантные к сдвигу системы . Системы, лишенные свойства неизменности во времени, изучаются как изменяющиеся во времени системы .

Простой пример

Чтобы продемонстрировать, как определить, является ли система неизменной во времени, рассмотрим две системы:

• Система А: ${\displaystyle y(t)=tx(t)}$
• Система Б: ${\displaystyle y(t)=10x(t)}$

Поскольку системная функция для системы A явно зависит от t вне , она не является инвариантной во времени, поскольку зависимость от времени не является явно функцией входной функции. ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$

Напротив, зависимость системы B от времени является лишь функцией изменяющегося во времени входного сигнала . Это делает систему B инвариантной во времени . ${\displaystyle x(t)}$

Формальный пример ниже показывает более подробно, что, хотя Система B является инвариантной к сдвигу системой как функция времени t , Система A таковой не является.

Формальный пример

Теперь представлено более формальное доказательство того, почему системы A и B различаются. Для проведения этого доказательства будет использовано второе определение.

Система А: запуск с задержкой входа ${\displaystyle x_{d}(t)=x(t+\delta )}$

${\displaystyle y(t)=tx(t)}$

${\displaystyle y_{1}(t)=tx_{d}(t)=tx(t+\delta )}$

Теперь задержите вывод на ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle y(t)=tx(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )}$

Очевидно , что система не является стационарной. ${\displaystyle y_{1}(t)\neq y_{2}(t)}$

Система Б: Запуск с задержкой входа ${\displaystyle x_{d}(t)=x(t+\delta )}$

${\displaystyle y(t)=10x(t)}$

${\displaystyle y_{1}(t)=10x_{d}(t)=10x(t+\delta )}$

Теперь задержите вывод на ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle y(t)=10x(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=10x(t+\delta )}$

Очевидно , что система инвариантна во времени. ${\displaystyle y_{1}(t)=y_{2}(t)}$

В более общем плане связь между входом и выходом такова:

${\displaystyle y(t)=f(x(t),t),}$

и ее изменение со временем

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}.}$

Для стационарных систем свойства системы остаются постоянными во времени:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=0.}$

Применимо к системам A и B выше:

${\displaystyle f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0}$в общем, поэтому оно не является инвариантным во времени,

${\displaystyle f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0}$поэтому он неизменен во времени.

Абстрактный пример

Мы можем обозначить оператор сдвига как где — величина, на которую должен быть сдвинут набор индексов вектора . Например, система «продвижение на 1». ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle x(t+1)=\delta (t+1)*x(t)}$

можно представить в этой абстрактной записи как

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}{\tilde {x}}}$

где функция, заданная выражением ${\displaystyle {\tilde {x}}}$

${\displaystyle {\tilde {x}}=x(t)\forall t\in \mathbb {R} }$

с системой, дающей сдвинутый выходной сигнал

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\forall t\in \mathbb {R} }$

То же самое относится и к оператору, который сдвигает входной вектор на 1. ${\displaystyle \mathbb {T} _{1}}$

Предположим, мы представляем систему оператором . Эта система инвариантна во времени, если она коммутирует с оператором сдвига, т. е. ${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\mathbb {H} =\mathbb {H} \mathbb {T} _{r}\forall r}$

Если уравнение нашей системы имеет вид

${\displaystyle {\tilde {y}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}}$

тогда оно не зависит от времени, если мы можем применить системный оператор, за которым следует оператор сдвига , или мы можем применить оператор сдвига, за которым следует системный оператор , при этом два вычисления дадут эквивалентные результаты. ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Применение системного оператора сначала дает

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\mathbb {H} {\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}}$

Применение оператора сдвига сначала дает

${\displaystyle \mathbb {H} \mathbb {T} _{r}{\tilde {x}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}}$

Если система стационарна, то

${\displaystyle \mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}}$

Смотрите также

• Конечная импульсная характеристика
• Последовательность Шеффера
• Пространство состояний (управление)
• График потока сигналов
• Теория систем LTI
• Автономная система (математика)

Рекомендации

1. Бессаи, Хорст Дж. (2005). MIMO-сигналы и системы . Спрингер. п. 28. ISBN 0-387-23488-8.
2. Сундарараджан, Д. (2008). Практический подход к сигналам и системам . Уайли. п. 81. ИСБН 978-0-470-82353-8.
3. Робертс, Майкл Дж. (2018). Сигналы и системы: анализ с использованием методов преобразования и MATLAB® (3-е изд.). МакГроу-Хилл. п. 132. ИСБН 978-0-07-802812-0.
4. Оппенгейм, Алан; Уиллски, Алан (1997). Сигналы и системы (второе изд.). Прентис Холл.