В математической области теории узлов инвариант узла — это величина (в широком смысле), определенная для каждого узла , которая одинакова для эквивалентных узлов. Эквивалентность часто задается изотопией окружения , но может быть задана гомеоморфизмом . [1] Некоторые инварианты действительно являются числами (алгебраическими [2] ), но инварианты могут варьироваться от простых, таких как ответ «да/нет», до таких сложных, как теория гомологии (например, « инвариант узла — это правило, которое присваивает любому узлу K величину φ( K ) такую, что если K и K' эквивалентны, то φ( K ) = φ( K' ) ». [3] ). Исследования инвариантов мотивированы не только основной проблемой различения одного узла от другого, но и пониманием фундаментальных свойств узлов и их связей с другими разделами математики. Таким образом, инварианты узлов используются в классификации узлов, [3] [4] как в «перечислении», так и в «удалении дубликатов». [2]
Инвариант узла — это величина, определенная на множестве всех узлов, которая принимает одно и то же значение для любых двух эквивалентных узлов. Например, группа узлов — это инвариант узла. [5]
Обычно инвариант узла — это комбинаторная величина, определенная на диаграммах узлов. Таким образом, если две диаграммы узлов различаются относительно некоторого инварианта узла, они должны представлять разные узлы. Однако, как это обычно бывает с топологическими инвариантами, если две диаграммы узлов имеют одинаковые значения относительно [одного] инварианта узла, то мы все равно не можем сделать вывод, что узлы одинаковы. [6]
С современной точки зрения, естественно определить инвариант узла из диаграммы узла . Конечно, он должен быть неизменным (то есть инвариантным) при движениях Рейдемейстера («треугольных движениях» [4] ). Трёхцветность (и n -цветность) является особенно простым и распространённым примером. Другими примерами являются многочлены узлов , такие как многочлен Джонса , которые в настоящее время являются одними из самых полезных инвариантов для различения узлов друг от друга, хотя в настоящее время неизвестно, существует ли многочлен узла, который отличает все узлы друг от друга. [7] [8] [9] Однако существуют инварианты, которые отличают тривиальный узел от всех других узлов, такие как гомологии Хованова и гомологии узлов Флоэра .
Другие инварианты можно определить, рассматривая некоторую целочисленную функцию диаграмм узлов и взяв ее минимальное значение по всем возможным диаграммам данного узла. Эта категория включает в себя число пересечений , которое является минимальным числом пересечений для любой диаграммы узла, и число мостов , которое является минимальным числом мостов для любой диаграммы узла.
Исторически многие из ранних инвариантов узлов не определяются первым выбором диаграммы, а определяются внутренне, что может сделать вычисление некоторых из этих инвариантов сложной задачей. Например, род узла особенно сложен для вычисления, но может быть эффективным (например, для различения мутантов ).
Известно, что дополнение узла само по себе (как топологическое пространство ) является «полным инвариантом» узла по теореме Гордона–Люкке в том смысле, что оно отличает данный узел от всех других узлов с точностью до изотопии и зеркального образа . Некоторые инварианты, связанные с дополнением узла, включают группу узла , которая является просто фундаментальной группой дополнения. Квандл узла также является полным инвариантом в этом смысле, но трудно определить, являются ли два кванда изоморфными. Периферийная подгруппа также может работать как полный инвариант. [10]
По жесткости Мостова–Прасада гиперболическая структура на дополнении гиперболической связи является уникальной, что означает, что гиперболический объем является инвариантом для этих узлов и связей. Объем и другие гиперболические инварианты оказались очень эффективными, используемыми в некоторых обширных усилиях по табулированию узлов .
В последние годы возник большой интерес к гомологическим инвариантам узлов, которые классифицируют известные инварианты. Гомология Хегора Флоера — это теория гомологии , эйлерова характеристика которой является полиномом Александера узла. Она доказала свою эффективность в выводе новых результатов о классических инвариантах. В другом направлении исследований существует комбинаторно определенная теория когомологий узлов, называемая гомологией Хованова , эйлерова характеристика которой является полиномом Джонса . Недавно было показано, что это полезно для получения границ на род среза , более ранние доказательства которого требовали калибровочной теории . Михаил Хованов и Лев Розанский с тех пор определили несколько других связанных теорий когомологий, эйлеровы характеристики которых восстанавливают другие классические инварианты. Катарина Штроппель дала теоретико-представительную интерпретацию гомологии Хованова, категоризируя инварианты квантовой группы.
Также растет интерес как со стороны теоретиков узлов, так и ученых к пониманию «физических» или геометрических свойств узлов и их связи с топологическими инвариантами и типом узла. Старый результат в этом направлении — теорема Фари–Милнора, утверждающая, что если полная кривизна узла K удовлетворяет
где κ ( p ) — кривизна в точке p , тогда K — это неразвязанный узел. Поэтому для заузленных кривых
Примером «физического» инварианта является длина веревки , которая представляет собой длину веревки единичного диаметра, необходимую для реализации определенного типа узла.