полином Джонса

Mathematical invariant of a knot or link

В математической области теории узлов многочлен Джонса — это многочлен узла, открытый Воганом Джонсом в 1984 году. ^{[1] [2]} В частности, это инвариант ориентированного узла или связи , который присваивает каждому ориентированному узлу или связи многочлен Лорана по переменной с целыми коэффициентами . ^[3] ${\displaystyle t^{1/2}}$

Определение по скобкам

Тип I. Движение Рейдемейстера

Предположим, что у нас есть ориентированная связь , заданная как диаграмма узла . Мы определим многочлен Джонса , используя скобочный многочлен Луиса Кауфмана , который мы обозначим как . Здесь скобочный многочлен является многочленом Лорана по переменной с целыми коэффициентами. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V(L)}$ ${\displaystyle \langle ~\rangle }$ ${\displaystyle A}$

Сначала мы определяем вспомогательный многочлен (также известный как нормализованный скобочный многочлен)

${\displaystyle X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle ,}$

где обозначает изгиб в данной диаграмме. Изгиб диаграммы — это число положительных пересечений ( на рисунке ниже) минус число отрицательных пересечений ( ). Изгиб не является инвариантом узла. ${\displaystyle w(L)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{+}}$ ${\displaystyle L_{-}}$

${\displaystyle X(L)}$является инвариантом узла, поскольку он инвариантен относительно изменений диаграммы тремя движениями Рейдемейстера . Инвариантность относительно движений Рейдемейстера типа II и III следует из инвариантности скобки относительно этих движений. Известно, что многочлен скобки изменяется в раз при движении Рейдемейстера типа I. Определение многочлена, данное выше, призвано свести на нет это изменение, поскольку витие изменяется соответствующим образом при движениях типа I или под ними. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle -A^{\pm 3}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$

Теперь сделаем замену , чтобы получить полином Джонса . Это приведет к полиному Лорана с целыми коэффициентами в переменной . ${\displaystyle A=t^{-1/4}}$ ${\displaystyle X(L)}$ ${\displaystyle V(L)}$ ${\displaystyle t^{1/2}}$

Полином Джонса для клубков

Эта конструкция полинома Джонса для сплетений является простым обобщением скобки Кауфмана зацепления. Конструкция была разработана Владимиром Тураевым и опубликована в 1990 году. ^[4]

Пусть будет неотрицательным целым числом и обозначим множество всех изотопных типов диаграмм плетений с концами, не имеющими точек пересечения и замкнутых компонент (сглаживаний). Конструкция Тураева использует предыдущую конструкцию для скобки Кауфмана и сопоставляет каждому -концевому ориентированному плетению элемент свободного -модуля , где - кольцо многочленов Лорана с целыми коэффициентами по переменной . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S_{k}}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle \mathrm {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {R} [S_{k}]}$ ${\displaystyle \mathrm {R} }$ ${\displaystyle t^{1/2}}$

Определение по представлению косы

Оригинальная формулировка Джонсом своего полинома возникла из его исследования операторных алгебр. В подходе Джонса она возникла из своего рода «следа» конкретного представления косы в алгебре, которая первоначально возникла при изучении определенных моделей, например, модели Поттса , в статистической механике .

Пусть дана связь L. Теорема Александера утверждает, что это замыкание следа косы, скажем, с n нитями. Теперь определим представление группы кос на n нитях, B _n , в алгебру Темперли–Либа с коэффициентами в и . Стандартный генератор кос отправляется в , где — стандартные генераторы алгебры Темперли–Либа. Можно легко проверить, что это определяет представление. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \operatorname {TL} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [A,A^{-1}]}$ ${\displaystyle \delta =-A^{2}-A^{-2}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1}$ ${\displaystyle 1,e_{1},\dots ,e_{n-1}}$

Возьмите полученное ранее слово-косу и вычислите, где — след Маркова. Это дает , где — многочлен скобок. Это можно увидеть, рассмотрев, как это сделал Луис Кауфман , алгебру Темперли–Либа как конкретную диаграммную алгебру. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \delta ^{n-1}\operatorname {tr} \rho (\sigma )}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle \langle L\rangle }$ ${\displaystyle \langle }$ ${\displaystyle \rangle }$

Преимущество этого подхода заключается в том, что можно выбрать похожие представления в других алгебрах, например, представления R -матрицы, что приводит к «обобщенным инвариантам Джонса».

Характеристики

Полином Джонса характеризуется тем, что принимает значение 1 на любой диаграмме тривиального узла и удовлетворяет следующему соотношению :

${\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})\,}$

где , , и представляют собой три диаграммы ориентированных связей, которые идентичны, за исключением одной небольшой области, где они отличаются изменениями пересечения или сглаживанием, показанными на рисунке ниже: ${\displaystyle L_{+}}$ ${\displaystyle L_{-}}$ ${\displaystyle L_{0}}$

Определение многочлена Джонса скобкой позволяет легко показать, что для узла многочлен Джонса его зеркального образа задается заменой на в . Таким образом, амфикейральный узел , узел, эквивалентный своему зеркальному образу, имеет палиндромные элементы в своем многочлене Джонса. См. статью о соотношении скейн для примера вычисления с использованием этих соотношений. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle t^{-1}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle V(K)}$

Другое замечательное свойство этого инварианта утверждает, что многочлен Джонса переменного звена является переменным многочленом . Это свойство было доказано Морвен Тислтуэйт ^[5] в 1987 году. Другое доказательство этого последнего свойства принадлежит Эрнандо Бургосу-Сото , который также дал расширение свойства на сплетения ^{[6] .}

Полином Джонса не является полным инвариантом. Существует бесконечное число неэквивалентных узлов, имеющих один и тот же полином Джонса. Пример двух различных узлов, имеющих один и тот же полином Джонса, можно найти в книге Мурасуги. ^[7]

Цветной полином Джонса

Для положительного целого числа -цветной многочлен Джонса является обобщением многочлена Джонса. Это инвариант Решетихина–Тураева, связанный с -неприводимым представлением квантовой группы . В этой схеме многочлен Джонса является 1-цветным многочленом Джонса, инвариантом Решетихина–Тураева, связанным со стандартным представлением (неприводимым и двумерным) . Можно думать о нитях связи как о «окрашенных» представлением, отсюда и название. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V_{N}(L,t)}$ ${\displaystyle (N+1)}$ ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$ ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$

В более общем случае, если задана связь компонентов и представлений , -цветной полином Джонса является инвариантом Решетихина–Тураева, связанным с (здесь мы предполагаем, что компоненты упорядочены). При наличии двух представлений и , цветные полиномы Джонса удовлетворяют следующим двум свойствам: ^[8] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2})}$ ${\displaystyle (V_{1},\ldots ,V_{k})}$ ${\displaystyle V_{V_{1},\ldots ,V_{k}}(L,t)}$ ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

• ${\displaystyle V_{V\oplus W}(L,t)=V_{V}(L,t)+V_{W}(L,t)}$,
• ${\displaystyle V_{V\otimes W}(L,t)=V_{V,W}(L^{2},t)}$, где обозначает 2- каблирование . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L}$

Эти свойства выводятся из того факта, что цветные полиномы Джонса являются инвариантами Решетихина-Тураева.

Пусть будет узлом. Напомним, что рассматривая диаграмму как элемент алгебры Темперли-Либа благодаря скобке Кауфмана, можно восстановить многочлен Джонса . Аналогично, -цветному многочлену Джонса можно дать комбинаторное описание с использованием идемпотентов Джонса-Венцля следующим образом: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$

• рассмотреть возможность прокладки кабелей ; ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K^{N}}$ ${\displaystyle K}$
• рассматривать его как элемент алгебры Темперли-Либа;
• вставьте идемпотенты Джонса-Венцля в некоторые параллельные нити. ${\displaystyle N}$

Результирующий элемент - это -цветной полином Джонса. См. приложение H из ^[9] для получения дополнительных сведений. ${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$ ${\displaystyle N}$

Связь с другими теориями

Связь с теорией Черна–Саймонса

Как впервые показал Эдвард Виттен ^[10] , многочлен Джонса данного узла может быть получен путем рассмотрения теории Черна–Саймонса на трехмерной сфере с калибровочной группой и вычисления вакуумного среднего значения петли Вильсона , связанной с , и фундаментального представления . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle W_{F}(\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$

Связь с инвариантами квантового узла

Подставляя вместо переменной полином Джонса и разлагая его в ряд h, каждый из коэффициентов превращается в инвариант Васильева узла . Чтобы унифицировать инварианты Васильева (или инварианты конечного типа), Максим Концевич построил интеграл Концевича . Значение интеграла Концевича, которое является бесконечной суммой 1, 3-значных хордовых диаграмм , называемых хордовыми диаграммами Якоби, воспроизводит полином Джонса вместе с весовой системой, изученной Дрором Бар-Натаном . ${\displaystyle e^{h}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

Связь с гипотезой объема

С помощью численных исследований некоторых гиперболических узлов Ринат Кашаев обнаружил, что подстановка корня n- й степени из единицы в параметр цветного полинома Джонса, соответствующего n -мерному представлению, и ограничение его при росте n до бесконечности дает гиперболический объем дополнения узла . (См. Гипотеза объема .)

Связь с гомологией Хованова

В 2000 году Михаил Хованов построил некий цепной комплекс для узлов и зацеплений и показал, что индуцированная из него гомология является инвариантом узла (см. Гомологии Хованова ). Полином Джонса описывается как эйлерова характеристика для этой гомологии.

Обнаружение развязки

Остается открытым вопрос , существует ли нетривиальный узел с полиномом Джонса, равным полиному невязок . Известно, что существуют нетривиальные зацепления с полиномом Джонса, равным полиному соответствующих невязок , согласно работе Морвен Тистлтуэйт . ^[11] Кронхаймер и Мровка показали, что не существует нетривиального узла с гомологией Хованова, равной гомологией невязок. ^[12]

Смотрите также

• Полином HOMFLY
• многочлен Александера
• Объемная гипотеза
• Теория Черна–Саймонса
• Квантовая группа

Примечания

1. Джонс, Воган FR (1985). «Полиномиальный инвариант для узлов с помощью алгебры фон Неймана». Бюллетень Американского математического общества . (NS). 12 : 103–111. doi : 10.1090/s0273-0979-1985-15304-2 . MR  0766964.
2. Джонс, Воган FR (1987). «Представления алгебры Гекке групп кос и многочленов зацеплений». Annals of Mathematics . (2). 126 (2): 335–388. doi :10.2307/1971403. JSTOR  1971403. MR  0908150.
3. «Многочлены Джонса, объем и основные узловые поверхности: обзор» (PDF) .
4. Тураев, Владимир Г. (1990). «Инварианты плетений типа Джонса». Журнал математических наук . 52 : 2806–2807. doi : 10.1007/bf01099242 . S2CID  121865582.
5. Thistlethwaite, Morwen B. (1987). "Расширение остовного дерева полинома Джонса". Топология . 26 (3): 297–309. doi : 10.1016/0040-9383(87)90003-6 .
6. Бургос-Сото, Эрнандо (2010). «Многочлен Джонса и планарная алгебра чередующихся связей». Журнал теории узлов и ее разветвлений . 19 (11): 1487–1505. arXiv : 0807.2600 . doi : 10.1142/s0218216510008510. S2CID  13993750.
7. Мурасуги, Кунио (1996). Теория узлов и ее приложения . Биркхойзер Бостон, Массачусетс. п. 227. ИСБН 978-0-8176-4718-6.
8. Гуков, Сергей; Сабери, Ингмар (2014). «Лекции по гомологии узлов и квантовым кривым». Топология и теории поля . Современная математика. Том. 613. стр. 41–78. arXiv : 1211.6075 . дои : 10.1090/conm/613/12235. ISBN 9781470410155. S2CID  27676682.
9. Оцуки, Квантовые инварианты: исследование узлов, 3-многообразий и их множеств
10. Виттен, Эдвард (1989). "Квантовая теория поля и многочлен Джонса" (PDF) . Сообщения по математической физике . 121 (3): 351–399. Bibcode : 1989CMaPh.121..351W. doi : 10.1007/BF01217730. S2CID  14951363.
11. Thistlethwaite, Morwen (2001-06-01). «Связи с тривиальным полиномом Джонса». Журнал теории узлов и ее разветвлений . 10 (4): 641–643. doi :10.1142/S0218216501001050. ISSN  0218-2165.
12. Кронхаймер, ПБ; Мровка, ТС (11 февраля 2011 г.). «Гомологии Хованова – узел-детектор». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 113 (1): 97–208. arXiv : 1005.4346 . дои : 10.1007/s10240-010-0030-y. ISSN  0073-8301. S2CID  119586228.

Ссылки

• Адамс, Колин (2000-12-06). Книга об узле . Американское математическое общество . ISBN 0-8050-7380-9.
• Джонс, Воган . «Многочлен Джонса» (PDF) .
• Джонс, Воган (1987). «Представления алгебры Гекке групп кос и многочленов зацеплений». Annals of Mathematics . 126 (2): 335–388. doi :10.2307/1971403. JSTOR  1971403.
• Кауфман, Луис Х. (1987). "Модели состояний и многочлен Джонса". Топология . 26 (3): 395–407. doi : 10.1016/0040-9383(87)90009-7 .(объясняет определение с помощью скобочного полинома и его связь с формулировкой Джонса с помощью представления кос)
• Ликориш, В. Б. Рэймонд (1997). Введение в теорию узлов. Нью-Йорк; Берлин; Гейдельберг; Барселона; Будапешт; Гонконг; Лондон; Милан; Париж; Санта-Клара; Сингапур; Токио: Springer. стр. 175. ISBN 978-0-387-98254-0.
• Thistlethwaite, Morwen (2001). «Связи с тривиальным полиномом Джонса». Журнал теории узлов и ее разветвлений . 10 (4): 641–643. doi :10.1142/S0218216501001050.
• Элиаху, Шалом; Кауфман, Луис Х .; Тистлтуэйт, Морвен Б. (2003). «Бесконечные семейства связей с тривиальным полиномом Джонса». Топология . 42 (1): 155–169. doi : 10.1016/S0040-9383(02)00012-5 .
• Przytycki, Józef H. (1991). "Skein modules of 3-manifolds". Вестник Польской академии наук . 39 (1–2): 91–100. arXiv : math/0611797 .

Внешние ссылки

• «Полином Джонса-Конвея», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Связи с тривиальным полиномом Джонса Морвен Тистлтуэйт
• «Многочлен Джонса», Атлас узлов .