Инверсионная геометрия

Изучение преобразований, сохраняющих угол

В геометрии инверсивная геометрия — это изучение инверсии , преобразования евклидовой плоскости , которое отображает окружности или линии в другие окружности или линии и сохраняет углы между пересекающимися кривыми. Многие сложные проблемы в геометрии становятся гораздо более поддающимися решению , когда применяется инверсия. Инверсия, по-видимому, была открыта рядом людей в одно время, включая Штейнера (1824), Кетле (1825), Беллавитиса (1836), Стаббса и Ингрэма (1842–1843) и Кельвина (1845). ^[1]

Понятие инверсии можно обобщить на пространства более высоких размерностей.

Инверсия в круге

Инверсия лямбда- множества Мандельброта с различными переводами

Обратная точка

P ' — это обратная величина P относительно окружности.

Инвертировать число в арифметике обычно означает взять его обратную величину. Тесно связанная идея в геометрии — это «инвертирование» точки. На плоскости инверсия точки P относительно окружности отсчета ( Ø ) с центром O и радиусом r — это точка P ' , лежащая на луче из O через P, таким образом, что

${\displaystyle OP\cdot OP^{\prime }=r^{2}.}$

Это называется инверсией окружности или инверсией плоскости . Инверсия, переводящая любую точку P (кроме O ) в ее образ P ', также переводит P ' обратно в P , поэтому результатом применения той же инверсии дважды является тождественное преобразование, которое делает ее самоинверсией ( т. е. инволюцией). ^{[2] [3]} Чтобы сделать инверсию полной функцией , которая также определена для O , необходимо ввести точку на бесконечности , единственную точку, размещенную на всех линиях, и расширить инверсию, по определению, чтобы поменять местами центр O и эту точку на бесконечности.

Из определения следует, что инверсия любой точки внутри опорной окружности должна лежать вне ее, и наоборот, при этом центр и точка в бесконечности меняют свое положение, в то время как любая точка на окружности остается неизменной ( инвариантна относительно инверсии). Подводя итог, для точки внутри окружности, чем ближе точка к центру, тем дальше ее трансформация. В то время как для любой точки (внутри или снаружи окружности), чем ближе точка к окружности, тем ближе ее трансформация.

Строительство с использованием циркуля и линейки

Чтобы построить обратную точку P ' для точки P вне окружности Ø : Пусть r будет радиусом Ø . Прямоугольные треугольники OPN и ONP ' подобны. OP относится к r так же, как r относится к OP ' .

Точка вне круга

Чтобы построить обратную точку P ' точки P вне окружности Ø :

• Проведем отрезок от точки O (центр окружности Ø ) до точки P.
• Пусть M будет серединой OP . (Не показано)
• Нарисуйте окружность c с центром M, проходящую через P. (Не обозначена. Это синяя окружность)
• Пусть N и N ' — точки пересечения Ø и c .
• Нарисуем отрезок NN ' .
• P ' находится там, где пересекаются OP и NN ' .

Точка внутри круга

Чтобы построить обратную точку P точки P ' внутри окружности Ø :

• Проведите луч r из точки O (центр окружности Ø ) через точку P ' . (Не обозначен, это горизонтальная линия)
• Проведите прямую s через точку P ' перпендикулярно r . (Не обозначена. Это вертикальная прямая)
• Пусть N — одна из точек пересечения Ø и s .
• Нарисуйте сегмент ON .
• Проведем линию t через точку N перпендикулярно точке ON .
• Точка P находится там, где пересекаются луч r и прямая t .

Строительство Датты

Существует конструкция обратной точки к A относительно окружности P , которая не зависит от того, находится ли A внутри или снаружи P. ^[4 ]

Рассмотрим окружность P с центром O и точкой A , которая может лежать внутри или вне окружности P.

• Возьмем точку пересечения C луча OA с окружностью P.
• Соедините точку C с произвольной точкой B на окружности P (отличной от C и от точки на P, противоположной C ).
• Пусть h будет отражением луча BA относительно прямой BC . Тогда h пересекает луч OC в точке A ' . A ' является обратной точкой A относительно окружности P. [ ^{4] : § 3.2}

Характеристики

• 
  Обратной по отношению к красному кругу окружностью, проходящей через точку О (синий), является линия, не проходящая через точку О (зеленый), и наоборот.
• 
  Обратным по отношению к красному кругу кругом, не проходящим через точку О (синий), является круг, не проходящий через точку О (зеленый), и наоборот.
• 
  Инверсия относительно окружности не отображает центр окружности в центр ее изображения.

Инверсия множества точек на плоскости относительно окружности — это множество инверсий этих точек. Следующие свойства делают инверсию окружности полезной.

• Окружность, проходящая через центр O опорной окружности, инвертируется в линию, не проходящую через O , но параллельную касательной к исходной окружности в точке O , и наоборот; тогда как линия, проходящая через O, инвертируется в себя (но не является точечно-инвариантной). ^[5]
• Окружность, не проходящая через O, инвертируется в окружность, не проходящую через O. Если окружность пересекает опорную окружность, эти инвариантные точки пересечения также находятся на обратной окружности. Окружность (или линия) не изменяется при инверсии тогда и только тогда, когда она ортогональна опорной окружности в точках пересечения. ^[5]

Дополнительные свойства включают в себя:

• Если окружность q проходит через две различные точки A и A', которые являются обратными относительно окружности k , то окружности k и q ортогональны.
• Если окружности k и q ортогональны, то прямая, проходящая через центр O окружности k и пересекающая q , делает это в обратных точках относительно k .
• Дан треугольник OAB, в котором O является центром окружности k , а точки A' и B' обратны точкам A и B относительно k , тогда

${\displaystyle \angle OAB=\angle OB'A'\ {\text{ and }}\ \angle OBA=\angle OA'B'.}$

• Точки пересечения двух окружностей p и q, ортогональных окружности k , являются обратными относительно k .
• Если M и M' - обратные точки относительно окружности k на двух кривых m и m', также обратные относительно k , то касательные к m и m' в точках M и M' либо перпендикулярны прямой MM', либо образуют с этой прямой равнобедренный треугольник с основанием MM'.
• Инверсия оставляет меру углов неизменной, но меняет ориентацию ориентированных углов на обратную. ^[6]

Примеры в двух измерениях

Примеры инверсии окружностей от A до J относительно красной окружности в точке O. Окружности от A до F, проходящие через точку O, отображаются в прямые линии. Окружности от G до J, не проходящие через точку O, отображаются в другие окружности. Опорная окружность и линия L отображаются в себя. Окружности пересекают свои инверсии, если таковые имеются, на опорной окружности. В файле SVG щелкните или наведите курсор на окружность, чтобы выделить ее.

• Инверсия линии — это окружность, содержащая центр инверсии; или это сама линия, если она содержит центр.
• Инверсия окружности — это другая окружность; или это линия, если исходная окружность содержит центр.
• Инверсия параболы — кардиоида.
• Инверсия гиперболы — лемниската Бернулли

Приложение

Для окружности, не проходящей через центр инверсии, центр инвертируемой окружности и центр ее образа при инверсии коллинеарны с центром опорной окружности. Этот факт можно использовать для доказательства того, что линия Эйлера треугольника касания треугольника совпадает с его линией OI. Доказательство примерно выглядит следующим образом:

Инвертировать относительно вписанной окружности треугольника ABC . Серединный треугольник треугольника вписанности инвертирован в треугольник ABC , то есть центр описанной окружности серединного треугольника, то есть центр девяти точек треугольника вписанности, центр вписанной окружности и центр описанной окружности треугольника ABC лежат на одной прямой .

Любые две непересекающиеся окружности можно инвертировать в концентрические окружности. Тогда обратное расстояние (обычно обозначаемое δ) определяется как натуральный логарифм отношения радиусов двух концентрических окружностей.

Кроме того, любые две непересекающиеся окружности можно инвертировать в конгруэнтные окружности, используя окружность инверсии с центром в точке на окружности антиподобия .

Связь Поселье –Липкина представляет собой механическую реализацию инверсии в окружности. Она обеспечивает точное решение важной проблемы преобразования между линейным и круговым движением.

Полюс и полярный

Полярная линия q к точке Q относительно окружности радиуса r с центром в точке O. Точка P является точкой инверсии Q ; поляра — это прямая, проходящая через P и перпендикулярная прямой, содержащей O , P и Q.

Если точка R является инверсией точки P , то прямая , перпендикулярная прямой PR, проходящей через одну из точек, является полярой другой точки (полюсом ) .

Полюса и поляры обладают рядом полезных свойств:

• Если точка P лежит на прямой l , то полюс L прямой l лежит на поляре p точки P.
• Если точка P движется вдоль прямой l , то ее поляра p вращается вокруг полюса L прямой l .
• Если из полюса к окружности можно провести две касательные, то ее поляра проходит через обе точки касания.
• Если точка лежит на окружности, то ее полярой является касательная, проходящая через эту точку.
• Если точка P лежит на своей полярной линии, то P лежит на окружности.
• Каждая линия имеет ровно один полюс.

В трех измерениях

Инверсия сферы на красной сфере

Инверсия сфероида (на красной сфере)

Инверсия однополостного гиперболоида

Инверсия окружности обобщается до инверсии сферы в трех измерениях. Инверсия точки P в 3D относительно опорной сферы с центром в точке O с радиусом R — это точка P ' на луче с направлением OP таким, что . Как и в 2D-версии, сфера инвертируется в сферу, за исключением того, что если сфера проходит через центр O опорной сферы, то она инвертируется в плоскость. Любая плоскость, проходящая через O , инвертируется в сферу, касающуюся в точке O. Окружность, то есть пересечение сферы с секущей плоскостью, инвертируется в окружность, за исключением того, что если окружность проходит через O, то она инвертируется в линию. Это сводится к 2D-случаю, когда секущая плоскость проходит через O , но является истинным 3D-явлением , если секущая плоскость не проходит через O. ${\displaystyle OP\cdot OP^{\prime }=||OP||\cdot ||OP^{\prime }||=R^{2}}$

Примеры в трех измерениях

Сфера

Простейшая поверхность (помимо плоскости) — сфера. На первой картинке показана нетривиальная инверсия (центр сферы не является центром инверсии) сферы вместе с двумя ортогональными пересекающимися пучками окружностей.

Цилиндр, конус, тор

Инверсия цилиндра, конуса или тора приводит к циклиде Дюпена .

Сфероид

Сфероид — это поверхность вращения, содержащая пучок окружностей, который отображается на пучок окружностей (см. рисунок). Обратным образом сфероида является поверхность степени 4.

Однополостный гиперболоид

Гиперболоид из одной полосы, который является поверхностью вращения, содержит пучок окружностей, который отображается на пучок окружностей. Гиперболоид из одной полосы содержит еще два пучка прямых, которые отображаются на пучки окружностей. На рисунке показана одна такая прямая (синяя) и ее инверсия.

Стереографическая проекция как инверсия сферы

Стереографическая проекция как инверсия сферы

Стереографическая проекция обычно проецирует сферу из точки (северный полюс) сферы на касательную плоскость в противоположной точке (южный полюс). Это отображение может быть выполнено путем инверсии сферы на ее касательную плоскость. Если сфера (которая должна быть спроецирована) имеет уравнение (поочередно записанное ; центр , радиус , зеленый на рисунке), то она будет отображена путем инверсии в единичной сфере (красный) на касательную плоскость в точке . Линии, проходящие через центр инверсии (точку ), отображаются сами на себя. Они являются проекционными линиями стереографической проекции. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=-z}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z+{\tfrac {1}{2}})^{2}={\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle (0,0,-0.5)}$ ${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle S=(0,0,-1)}$ ${\displaystyle N}$

6-сферные координаты

Координаты 6-сферы представляют собой систему координат для трехмерного пространства, полученную путем инвертирования декартовых координат .

Аксиоматика и обобщение

Одним из первых, кто рассматривал основы инверсивной геометрии, был Марио Пьери в 1911 и 1912 годах. ^[7] Эдвард Каснер написал свою диссертацию на тему «Инвариантная теория группы инверсии». ^[8]

Совсем недавно математическая структура инверсивной геометрии была интерпретирована как структура инцидентности , где обобщенные окружности называются «блоками»: В геометрии инцидентности любая аффинная плоскость вместе с одной точкой на бесконечности образует плоскость Мёбиуса , также известную как инверсная плоскость . Точка на бесконечности добавляется ко всем линиям. Эти плоскости Мёбиуса могут быть описаны аксиоматически и существуют как в конечной, так и в бесконечной версии.

Моделью плоскости Мёбиуса, происходящей от евклидовой плоскости, является сфера Римана .

Инвариантный

Двойное отношение между 4 точками инвариантно относительно инверсии. В частности, если O — центр инверсии, а и — расстояния до концов линии L, то длина линии станет при инверсии с радиусом 1. Инвариант: ${\displaystyle x,y,z,w}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d/(r_{1}r_{2})}$

${\displaystyle I={\frac {|x-y||w-z|}{|x-w||y-z|}}}$

Связь с программой Эрланген

Согласно Кокстеру, ^[9] преобразование путем инверсии в окружности было изобретено Л.И. Магнусом в 1831 году. С тех пор это отображение стало путем к высшей математике. Через несколько шагов применения отображения инверсии окружности студент, изучающий геометрию преобразований , вскоре оценит значимость программы Эрлангена Феликса Клейна , которая является результатом некоторых моделей гиперболической геометрии

Расширение

Сочетание двух инверсий в концентрических окружностях приводит к подобию , гомотетическому преобразованию или расширению, характеризуемому отношением радиусов окружностей.

${\displaystyle x\mapsto R^{2}{\frac {x}{|x|^{2}}}=y\mapsto T^{2}{\frac {y}{|y|^{2}}}=\left({\frac {T}{R}}\right)^{2}x.}$

Взаимное действие

Когда точка на плоскости интерпретируется как комплексное число с комплексно сопряженным числом , то обратная величина z равна ${\displaystyle z=x+iy,}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy,}$

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}.}$

Следовательно, алгебраическая форма инверсии в единичной окружности имеет вид : ${\displaystyle z\mapsto w}$

${\displaystyle w={\frac {1}{\bar {z}}}={\overline {\left({\frac {1}{z}}\right)}}}$.

Взаимное движение является ключевым в теории преобразований как генератор группы Мёбиуса . Другими генераторами являются трансляция и вращение, оба знакомые по физическим манипуляциям в окружающем 3-пространстве. Введение взаимного движения (зависящего от инверсии окружности) — это то, что создает особую природу геометрии Мёбиуса, которая иногда отождествляется с инверсной геометрией (евклидовой плоскости). Однако инверсная геометрия является более масштабным исследованием, поскольку она включает в себя сырую инверсию в окружности (еще не преобразованную, с сопряжением, во взаимное движение). Инверсная геометрия также включает в себя отображение сопряжения . Ни сопряжение, ни инверсия в окружности не входят в группу Мёбиуса, поскольку они неконформны (см. ниже). Элементы группы Мёбиуса являются аналитическими функциями всей плоскости и поэтому обязательно конформны .

Превращаем круги в круги

Рассмотрим на комплексной плоскости окружность радиуса вокруг точки ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle (z-a)(z-a)^{*}=r^{2}}$

где без потери общности, используя определение инверсии ${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$

${\displaystyle w={\frac {1}{z^{*}}}}$

легко показать, что подчиняется уравнению ${\displaystyle w}$

${\displaystyle ww^{*}-{\frac {a}{(a^{2}-r^{2})}}(w+w^{*})+{\frac {a^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}}$

и, следовательно, это описывает окружность с центром и радиусом ${\displaystyle w}$ ${\textstyle {\frac {a}{a^{2}-r^{2}}}}$ ${\textstyle {\frac {r}{|a^{2}-r^{2}|}}.}$

Когда окружность трансформируется в линию, параллельную воображаемой оси ${\displaystyle a\to r,}$ ${\displaystyle w+w^{*}={\tfrac {1}{a}}.}$

Для и результат для равен ${\displaystyle a\not \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle aa^{*}\neq r^{2}}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&ww^{*}-{\frac {aw+a^{*}w^{*}}{(a^{*}a-r^{2})}}+{\frac {aa^{*}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\left(w-{\frac {a^{*}}{aa^{*}-r^{2}}}\right)\left(w^{*}-{\frac {a}{a^{*}a-r^{2}}}\right)=\left({\frac {r}{\left|aa^{*}-r^{2}\right|}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

показывая, что описывает окружность с центром и радиусом . ${\displaystyle w}$ ${\textstyle {\frac {a}{(aa^{*}-r^{2})}}}$ ${\textstyle {\frac {r}{\left|a^{*}a-r^{2}\right|}}}$

Когда уравнение для становится ${\displaystyle a^{*}a\to r^{2},}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&aw+a^{*}w^{*}=1\Longleftrightarrow 2\operatorname {Re} \{aw\}=1\Longleftrightarrow \operatorname {Re} \{a\}\operatorname {Re} \{w\}-\operatorname {Im} \{a\}\operatorname {Im} \{w\}={\frac {1}{2}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\operatorname {Im} \{w\}={\frac {\operatorname {Re} \{a\}}{\operatorname {Im} \{a\}}}\cdot \operatorname {Re} \{w\}-{\frac {1}{2\cdot \operatorname {Im} \{a\}}}.\end{aligned}}}$

Высшая геометрия

Как упоминалось выше, ноль, начало координат, требует особого рассмотрения в отображении инверсии окружности. Подход заключается в присоединении точки на бесконечности, обозначенной ∞ или 1/0. В подходе комплексных чисел, где возвратно-поступательное движение является кажущейся операцией, эта процедура приводит к комплексной проективной прямой , часто называемой сферой Римана . Именно подпространства и подгруппы этого пространства и группы отображений применялись для создания ранних моделей гиперболической геометрии Бельтрами , Кэли и Клейном . Таким образом, инверсная геометрия включает в себя идеи, возникшие у Лобачевского и Бойяи в их плоской геометрии. Более того, Феликс Клейн был настолько поражен этой возможностью отображений для идентификации геометрических явлений, что в 1872 году выпустил манифест, Эрлангенскую программу . С тех пор многие математики резервируют термин геометрия для пространства вместе с группой отображений этого пространства. Существенными свойствами фигур в геометрии являются те, которые инвариантны относительно этой группы.

Например, Смогоржевский ^[10] развивает несколько теорем инверсионной геометрии до того, как приступить к геометрии Лобачевского.

В более высоких измерениях

В действительном n -мерном евклидовом пространстве инверсия в сфере радиуса r с центром в точке представляет собой отображение произвольной точки, найденное путем инвертирования длины вектора смещения и умножения на : ${\displaystyle O=(o_{1},...,o_{n})}$ ${\displaystyle P=(p_{1},...,p_{n})}$ ${\displaystyle P-O}$ ${\displaystyle r^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P&\mapsto P'=O+{\frac {r^{2}(P-O)}{\|P-O\|^{2}}},\\[5mu]p_{j}&\mapsto p_{j}'=o_{j}+{\frac {r^{2}(p_{j}-o_{j})}{\sum _{k}(p_{k}-o_{k})^{2}}}.\end{aligned}}}$

Преобразование инверсией в гиперплоскостях или гиперсферах в E ⁿ может быть использовано для создания дилатаций, трансляций или вращений. Действительно, две концентрические гиперсферы, используемые для создания последовательных инверсий, приводят к дилатации или гомотетии относительно центра гиперсфер.

Когда две параллельные гиперплоскости используются для получения последовательных отражений, результатом является трансляция . Когда две гиперплоскости пересекаются в ( n –2) -плоскости , последовательные отражения производят вращение , где каждая точка ( n –2)-плоскости является фиксированной точкой каждого отражения и, следовательно, композиции.

Любая комбинация отражений, переносов и вращений называется изометрией . Любая комбинация отражений, растяжений, переносов и вращений называется подобием .

Все это — конформные отображения , и фактически, когда пространство имеет три или более измерений, отображения, порожденные инверсией, являются единственными конформными отображениями. Теорема Лиувилля — классическая теорема конформной геометрии .

Добавление точки в бесконечности к пространству устраняет различие между гиперплоскостью и гиперсферой; более многомерная инверсная геометрия часто изучается в предполагаемом контексте n -сферы как базового пространства. Преобразования инверсной геометрии часто называют преобразованиями Мёбиуса . Инверсная геометрия применялась для изучения раскрасок или разбиений n -сферы. ^[11]

Свойство антиконформного отображения

Отображение инверсии окружности является антиконформным, что означает, что в каждой точке оно сохраняет углы и меняет ориентацию на противоположную (отображение называется конформным, если оно сохраняет ориентированные углы). Алгебраически отображение является антиконформным, если в каждой точке якобиан является скаляром, умноженным на ортогональную матрицу с отрицательным определителем: в двух измерениях якобиан должен быть скаляром, умноженным на отражение в каждой точке. Это означает, что если J является якобианом, то и Вычисление якобиана в случае z _i = x _i /‖ x ‖ ² , где ‖ x ‖ ² = x ₁ ² + ... + x _n ² дает JJ ^T = kI , с k = 1/‖ x ‖ ⁴ⁿ , и, кроме того, det( J ) отрицательно; следовательно, инверсное отображение является антиконформным. ${\displaystyle J\cdot J^{T}=kI}$ ${\displaystyle \det(J)=-{\sqrt {k}}.}$

В комплексной плоскости наиболее очевидное отображение инверсии окружности (т. е. использующее единичную окружность с центром в начале координат) является комплексно сопряженным комплексным обратным отображением, переводящим z в 1/ z . Комплексное аналитическое обратное отображение является конформным, а его сопряженное, инверсия окружности, является антиконформным. В этом случае гомография является конформной, а антигомография является антиконформной.

Инверсная геометрия и гиперболическая геометрия

( n  − 1)-сфера с уравнением

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}+\cdots +2a_{n}x_{n}+c=0}$

будет иметь положительный радиус, если a ₁ ² + ... + a _n ² больше c , и при инверсии дает сферу

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2{\frac {a_{1}}{c}}x_{1}+\cdots +2{\frac {a_{n}}{c}}x_{n}+{\frac {1}{c}}=0.}$

Следовательно, он будет инвариантен относительно инверсии, если и только если c = 1. Но это условие ортогональности к единичной сфере. Следовательно, мы приходим к рассмотрению ( n  − 1)-сфер с уравнением

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}+\cdots +2a_{n}x_{n}+1=0,}$

которые инвариантны относительно инверсии, ортогональны единичной сфере и имеют центры вне сферы. Они вместе с гиперплоскостями подпространства, разделяющими полушария, являются гиперповерхностями модели диска Пуанкаре гиперболической геометрии.

Поскольку инверсия в единичной сфере оставляет сферы, ортогональные ей, инверсия отображает точки внутри единичной сферы наружу и наоборот. Следовательно, это верно в общем случае для ортогональных сфер, и в частности инверсия в одной из сфер, ортогональных единичной сфере, отображает единичную сферу в себя. Она также отображает внутреннюю часть единичной сферы в себя, причем точки вне ортогональной сферы отображают внутрь, и наоборот; это определяет отражения модели диска Пуанкаре, если мы также включаем в них отражения через диаметры, разделяющие полушария единичной сферы. Эти отражения порождают группу изометрий модели, которая говорит нам, что изометрии являются конформными. Следовательно, угол между двумя кривыми в модели такой же, как угол между двумя кривыми в гиперболическом пространстве.

Смотрите также

• Круг антиподобия
• Двойственность (проективная геометрия)
• Обратная кривая
• Предельная точка (геометрия)
• Преобразование Мёбиуса
• Проективная геометрия
• Гекслет Содди
• Теорема Мора-Маскерони
• Инверсия кривых и поверхностей (немецкий)

Примечания

1. Кривые и их свойства Роберта К. Йейтса, Национальный совет преподавателей математики, Inc., Вашингтон, округ Колумбия, стр. 127: «Геометрическая инверсия, по-видимому, возникла благодаря Якобу Штайнеру, который указал на знание предмета в 1824 году. За ним последовал Адольф Кетле (1825), который привел несколько примеров. По-видимому, независимо открыты Джусто Беллавитисом в 1836 году, Стаббсом и Ингрэмом в 1842–1843 годах и лордом Кельвином в 1845 году.)»
2. Альтшиллер-Корт (1952, стр. 230)
3. Кей (1969, стр. 264)
4. Dutta, Surajit (2014) Простое свойство равнобедренных треугольников с приложениями Архивировано 21.04.2018 на Wayback Machine , Forum Geometricorum 14: 237–240
5. Kay (1969, стр. 265)
6. Кей (1969, стр. 269)
7. М. Пьери (1911,12) «Новые принципы геометрии делла инверсия», Giornal di Matematiche di Battaglini 49: 49–96 и 50: 106–140
8. Kasner, E. (1900). «Инвариантная теория группы инверсии: геометрия на квадратичной поверхности». Transactions of the American Mathematical Society . 1 (4): 430–498. doi :10.1090/S0002-9947-1900-1500550-1. hdl : 2027/miun.abv0510.0001.001 . JSTOR  1986367.
9. Коксетер 1969, стр. 77–95.
10. А.С. Смогоржевский (1982) Геометрия Лобачевского , Издательство «Мир» , Москва
11. Джоэл С. Гиббонс и Юшен Ло (2013) Раскраски n-сферы и инверсная геометрия

Ссылки

• Альтшиллер-Корт, Натан (1952), Геометрия колледжа: Введение в современную геометрию треугольника и окружности (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN  52-13504
• Блэр, Дэвид Э. (2000), Теория инверсии и конформное отображение , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2636-0
• Бреннан, Дэвид А.; Эсплен, Мэтью Ф.; Грей, Джереми Дж. (1998), «Глава 5: Инверсивная геометрия», Geometry , Кембридж: Cambridge University Press, стр. 199–260, ISBN 0-521-59787-0
• Коксетер, HSM (1969) [1961], Введение в геометрию (2-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
• Хартшорн, Робин (2000), «Глава 7: Неевклидова геометрия, Раздел 37: Круговая инверсия», Геометрия: Евклид и далее , Springer, ISBN 0-387-98650-2
• Кей, Дэвид С. (1969), College Geometry , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , LCCN  69-12075
• Паттерсон, Бойд (1941) «Инверсная плоскость», American Mathematical Monthly 48: 589–99, doi : 10.2307/2303867 MR 0006034

Внешние ссылки

• Инверсия: Отражение в круге при разрезании узла
• Страница инверсивной геометрии Уилсона Стотера
• Практические задачи по использованию инверсии в задачах олимпиады по математике.
• Вайсштейн, Эрик В. «Инверсия». Математический мир .
• Визуальный словарь специальных плоских кривых Xah Lee