Инволютивная матрица

Квадратная матрица, которая является обратной самой себе

В математике инволютивная матрица — это квадратная матрица , которая является своей собственной обратной . То есть, умножение на матрицу является инволюцией тогда и только тогда, когда , где — единичная матрица . Инволютивные матрицы — это все квадратные корни единичной матрицы. Это следствие того факта, что любая обратимая матрица, умноженная на свою обратную, является тождеством. ^[1] ${\displaystyle {\mathbf {A}}_{n\times n}}$ ${\displaystyle {\mathbf {A}}^{2}={\mathbf {I}},}$ ${\displaystyle {\mathbf {I}}}$ ${\displaystyle n\times n}$

Примеры

Действительная матрица инволютивна при условии, что [ ^2] ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle a^{2}+bc=1.}$

Матрицы Паули в ⁠ ⁠ ${\displaystyle M(2,\mathbb {C} )}$ являются инволютивными: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Один из трех классов элементарных матриц является инволютивным, а именно, элементарные матрицы перестановки строк. Частный случай другого класса элементарных матриц, представляющий собой умножение строки или столбца на −1, также является инволютивным; на самом деле это тривиальный пример матрицы сигнатуры , все из которых инволютивны.

Ниже приведены некоторые простые примеры инволютивных матриц.

$${\displaystyle {\begin{array}{cc}\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}};&\mathbf {I} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {R} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}};&\mathbf {R} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}};&\mathbf {S} ^{-1}={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\\\end{array}}}$$где

• I — это единичная матрица 3 × 3 (которая тривиально инволютивна);
• R — единичная матрица 3 × 3 с парой переставленных строк;
• S — матрица сигнатуры .

Любые блочно-диагональные матрицы, построенные из инволютивных матриц, также будут инволютивными вследствие линейной независимости блоков.

Симметрия

Инволютивная матрица, которая также симметрична , является ортогональной матрицей и, таким образом, представляет собой изометрию ( линейное преобразование , сохраняющее евклидово расстояние ). Наоборот, каждая ортогональная инволютивная матрица симметрична. ^[3] Как частный случай этого, каждая матрица отражения и поворота на 180° является инволютивной.

Характеристики

Инволюция не является дефектной , и каждое собственное значение равно , поэтому инволюция диагонализируется до сигнатурной матрицы. ${\displaystyle \pm 1}$

Нормальная инволюция является эрмитовой (комплексной) или симметричной ( действительной ), а также унитарной (комплексной) или ортогональной (действительной).

Определитель инволютивной матрицы над любым полем равен ±1. ^[4]

Если A — матрица n  ×  n , то A инволютивна тогда и только тогда, когда является идемпотентной . Это отношение дает биекцию между инволютивными матрицами и идемпотентными матрицами. ^[4] Аналогично, A инволютивна тогда и только тогда, когда является идемпотентной . Эти два оператора образуют симметричную и антисимметричную проекции вектора относительно инволюции A , в том смысле, что , или . Та же конструкция применима к любой инволютивной функции , такой как комплексно сопряженная (действительная и мнимая части), транспонированная (симметричная и антисимметричная матрицы) и эрмитово сопряженная ( эрмитова и косоэрмитова матрицы). ${\displaystyle {\mathbf {P}}_{+}=({\mathbf {I}}+{\mathbf {A}})/2}$ ${\displaystyle {\mathbf {P}}_{-}=({\mathbf {I}}-{\mathbf {A}})/2}$ ${\displaystyle v_{\pm }={\mathbf {P}}_{\pm }v}$ ${\displaystyle v=v_{+}+v_{-}}$ ${\displaystyle {\mathbf {A}}v_{\pm }=\pm v_{\pm }}$ ${\displaystyle {\mathbf {AP}}_{\pm }=\pm {\mathbf {P}}_{\pm }}$

Если A — инволютивная матрица в ⁠ ⁠, ${\displaystyle M(n,\mathbb {R} ),}$ которая является матричной алгеброй над действительными числами , и A не является скалярным кратным I , то подалгебра, порожденная A, изоморфна расщепляющим комплексным числам . ${\displaystyle \{x{\mathbf {I}}+y{\mathbf {A}}:xy\in \mathbb {R} \}}$

Если A и B — две инволютивные матрицы, которые коммутируют друг с другом (т.е. AB = BA ), то AB также инволютивна.

Если A — инволютивная матрица, то каждая целая степень A является инволютивной. Фактически, A ⁿ будет равна A , если n нечетное , и I , если n четное .

Смотрите также

• Аффинная инволюция

Ссылки

1. Хайэм, Николас Дж. (2008), «6.11 Инволютивные матрицы», Функции матриц: теория и вычисления, Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), стр. 165–166, doi : 10.1137/1.9780898717778, ISBN 978-0-89871-646-7, г-н  2396439.
2. Питер Ланкастер и Мирон Тисменецкий (1985) Теория матриц , 2-е издание, стр. 12,13 Academic Press ISBN 0-12-435560-9 
3. Govaerts, Willy JF (2000), Численные методы бифуркаций динамических равновесий, Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), стр. 292, doi : 10.1137/1.9780898719543, ISBN 0-89871-442-7, г-н  1736704.
4. Bernstein, Dennis S. (2009), "3.15 Факты об инволютивных матрицах", Matrix Mathematics (2-е изд.), Princeton, NJ: Princeton University Press, стр. 230–231, ISBN 978-0-691-14039-1, г-н  2513751.