Индексированное семейство

Коллекция объектов, каждый из которых связан с элементом из некоторого набора индексов.

В математике семейство или индексированное семейство — это неформально совокупность объектов, каждый из которых связан с индексом из некоторого набора индексов . Например, семейство действительных чисел , индексированное набором целых чисел , представляет собой набор действительных чисел, где заданная функция выбирает одно вещественное число для каждого целого числа (возможно, одного и того же) в качестве индексации.

Более формально, индексированное семейство — это математическая функция вместе со своей областью определения и образом (то есть индексированные семейства и математические функции технически идентичны, просто точки зрения различаются). Часто элементы множества называют составляющими семейство. С этой точки зрения индексированные семейства интерпретируются как коллекции индексированных элементов, а не функций. Этот набор называется индексным набором семейства и является индексированным набором . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$

Последовательности — это один из типов семейств, индексируемых натуральными числами . В общем, набор индексов не ограничивается счетностью . Например, можно рассмотреть несчетное семейство подмножеств натуральных чисел, индексированных действительными числами. ${\displaystyle I}$

Формальное определение

Пусть и – множества и функция такие, что ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f~:~&I\to X\\&i\mapsto x_{i}=f(i),\end{aligned}}}$$

семейство элементов, проиндексированных посредством, ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f(i)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle f(3)}$ ${\displaystyle x_{3}.}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)}$

Функции и индексированные семейства формально эквивалентны, поскольку любая функция с областью определения порождает семейство и наоборот. Быть элементом семейства эквивалентно нахождению в области действия соответствующей функции. Однако на практике семья рассматривается как совокупность, а не функция. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (f(i))_{i\in I}}$

Любой набор порождает семейство , где индексируется само по себе (то есть это тождественная функция). Однако семейства отличаются от наборов тем, что один и тот же объект может появляться в семействе несколько раз с разными индексами, тогда как набор представляет собой совокупность различных объектов. Семейство содержит любой элемент ровно один раз тогда и только тогда, когда соответствующая функция инъективна . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(x_{x}\right)_{x\in X},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Индексированное семейство определяет набор , который является образом под Поскольку отображение не обязательно должно быть инъективным , может существовать такое , что Таким образом, где обозначает мощность набора Например, последовательность, индексированная натуральными числами, имеет image set Кроме того, набор не несет информации о каких-либо структурах. Следовательно, при использовании набора вместо семейства некоторая информация может быть потеряна. Например, упорядочение набора индексов семейства приводит к упорядочению семейства, но не упорядочению соответствующего набора изображений. ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}=\{x_{i}:i\in I\},}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle i,j\in I}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{j}.}$ ${\displaystyle |{\mathcal {X}}|\leq |I|}$ ${\displaystyle |A|}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle \left((-1)^{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}}$ ${\displaystyle \left\{(-1)^{i}:i\in \mathbb {N} \right\}=\{-1,1\}.}$ ${\displaystyle \{x_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle I.}$

Индексированное подсемейство

Индексированное семейство является подсемейством индексированного семейства тогда и только тогда, когда оно является подмножеством и выполняется для всех ${\displaystyle \left(B_{i}\right)_{i\in J}}$ ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B_{i}=A_{i}}$ ${\displaystyle i\in J.}$

Примеры

Индексированные векторы

Например, рассмотрим следующее предложение:

Векторы линейно независимы . ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$

Здесь обозначается семейство векторов. -й вектор имеет смысл только по отношению к этому семейству, поскольку множества неупорядочены, поэтому в наборе нет -го вектора. Более того, линейная независимость определяется как свойство коллекции; поэтому важно, являются ли эти векторы линейно независимыми как набор или как семейство. Например, если рассматривать и как один и тот же вектор, то множество их состоит всего из одного элемента (поскольку множество представляет собой совокупность неупорядоченных различных элементов) и линейно независимо, но семейство содержит один и тот же элемент дважды (поскольку индексировано по-разному) и линейно зависима (одни и те же векторы линейно зависимы). ${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i\in \{1,\ldots ,n\}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle v_{1}=v_{2}=(1,0)}$

Матрицы

Предположим, в тексте говорится следующее:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее строки линейно независимы. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Как и в предыдущем примере, важно, чтобы строки были линейно независимы как семейство, а не как множество. Например, рассмотрим матрицу ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}.}$$

строкопределительсемействомультимножеству ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (1,1)}$

Другие примеры

Пусть – конечное множество, где – целое положительное число . ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots n\},}$ ${\displaystyle n}$

• Упорядоченная пара (2- кортеж ) — это семейство, индексированное набором из двух элементов, каждый элемент упорядоченной пары индексируется каждым элементом набора. ${\displaystyle \mathbf {2} =\{1,2\};}$ ${\displaystyle \mathbf {2} .}$
• -кортеж — это семейство , индексированное набором ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {n} .}$
• Бесконечная последовательность — это семейство, индексированное натуральными числами .
• Список — это кортеж для неопределенной или бесконечной последовательности. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n,}$
• Матрица — это семейство, индексированное декартовым произведением , элементы которого представляют собой упорядоченные пары; например, индексируя элемент матрицы во 2-й строке и 5-м столбце. ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \times \mathbf {m} }$ ${\displaystyle (2,5)}$
• Сеть — это семейство, индексированное направленным множеством .

Операции с индексированными семействами

Наборы индексов часто используются в суммах и других подобных операциях. Например, если это индексированное семейство чисел, сумма всех этих чисел обозначается как ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$

$${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}.}$$

Когда это семейство множеств , объединение всех этих множеств обозначается через ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$

$${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}.}$$

То же самое касается пересечений и декартовых произведений .

Использование в теории категорий

Аналогичное понятие в теории категорий называется диаграммой . Диаграмма — это функтор , порождающий индексированное семейство объектов в категории C , индексированное другой категорией J и связанное морфизмами , зависящими от двух индексов.

Смотрите также

• Тип данных массива  — тип данных, представляющий упорядоченный набор элементов (значений или переменных).Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Копродукт  – теоретико-категорное построение
• Диаграмма (теория категорий)  - индексированный набор объектов и морфизмов в категории.
• Непересекающееся объединение  - в математике операции над множествами.
• Семейство наборов  – любая коллекция наборов или подмножеств набора.
• Обозначение индекса  - способ обращения к элементам массивов или тензоров.
• Сеть (математика)  - обобщение последовательности точек.
• Параметрическое семейство  - семейство объектов, определения которых зависят от набора параметров.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта
• Последовательность  — конечный или бесконечный упорядоченный список элементов.
• Теговое объединение  — структура данных, используемая для хранения значения, которое может принимать несколько разных, но фиксированных типов.

Рекомендации

• Математическое общество Японии , Энциклопедический математический словарь , 2-е издание, 2 тома, Киёси Ито (редактор), MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 1993. Цитируется как EDM (том).