Интегральное уравнение Фредгольма

В математике интегральное уравнение Фредгольма — это интегральное уравнение , решение которого приводит к теории Фредгольма , изучению ядер Фредгольма и операторов Фредгольма . Интегральное уравнение изучал Ивар Фредгольм . Полезный метод решения таких уравнений, метод разложения Адомиана , принадлежит Джорджу Адомяну .

Уравнение первого рода

Уравнение Фредгольма — это интегральное уравнение, в котором член, содержащий функцию ядра (определенную ниже), имеет константы в качестве пределов интегрирования. Близкая форма — интегральное уравнение Вольтерра , которое имеет переменные пределы интеграла.

Неоднородное уравнение Фредгольма первого рода записывается как

${\displaystyle g(t)=\int _{a}^{b}K(t,s)f(s)\,\mathrm {d} s~,}$

и задача состоит в том, чтобы, имея непрерывную функцию ядра и функцию , найти функцию . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

Важным случаем уравнений такого типа является случай, когда ядро ​​является функцией только разности своих аргументов, а именно , а пределы интегрирования равны ±∞, тогда правую часть уравнения можно переписать в виде свертки функций и поэтому формально решение имеет вид ${\displaystyle K(t,s)=K(t-s)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(s)={\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}\left[{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }{{\mathcal {F}}_{t}[g(t)](\omega ) \over {\mathcal {F}}_{t}[K(t)](\omega )}e^{2\pi i\omega s}\mathrm {d} \omega }$

где и — прямое и обратное преобразования Фурье , соответственно. Этот случай обычно не включается в область интегральных уравнений Фредгольма, название, которое обычно зарезервировано для случая, когда интегральный оператор определяет компактный оператор (операторы свертки на некомпактных группах некомпактны, поскольку, в общем случае, спектр оператора свертки с содержит область значений , которая обычно является несчетным множеством, тогда как компактные операторы имеют дискретные счетные спектры). ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\omega }^{-1}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{K}}$

Уравнение второго рода

Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода задается как

${\displaystyle \varphi (t)=f(t)+\lambda \int _{a}^{b}K(t,s)\varphi (s)\,\mathrm {d} s.}$

При наличии ядра и функции проблема обычно состоит в том, чтобы найти функцию . ${\displaystyle K(t,s)}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \varphi (t)}$

Стандартный подход к решению этой задачи заключается в использовании итерации, что равносильно формализму резольвенты ; записанное в виде ряда, решение известно как ряд Лиувилля–Неймана .

Общая теория

Общая теория, лежащая в основе уравнений Фредгольма, известна как теория Фредгольма . Одним из основных результатов является то, что ядро ​​K дает компактный оператор . Компактность может быть показана путем привлечения равностепенной непрерывности . Как оператор, он имеет спектральную теорию , которую можно понять в терминах дискретного спектра собственных значений , стремящихся к 0.

Приложения

Уравнения Фредгольма естественным образом возникают в теории обработки сигналов , например, как известная задача спектральной концентрации, популяризированная Дэвидом Слепяном . Вовлеченные операторы те же самые, что и в линейных фильтрах . Они также часто возникают в линейном прямом моделировании и обратных задачах . В физике решение таких интегральных уравнений позволяет связать экспериментальные спектры с различными базовыми распределениями, например, распределением масс полимеров в полимерном расплаве ^[1] или распределением времен релаксации в системе. ^[2] Кроме того, интегральные уравнения Фредгольма также возникают в задачах механики жидкостей, включающих гидродинамические взаимодействия вблизи упругих интерфейсов конечного размера . ^{[3] [4]}

Конкретным применением уравнения Фредгольма является генерация фотореалистичных изображений в компьютерной графике, в которой уравнение Фредгольма используется для моделирования переноса света от виртуальных источников света к плоскости изображения. В этом контексте уравнение Фредгольма часто называют уравнением рендеринга .

Смотрите также

• Ряд Лиувилля–Неймана
• Интегральное уравнение Вольтерра
• альтернатива Фредхольма

Ссылки

1. Honerkamp, ​​J.; Weese, J. (1990). "Метод регуляризации Тихонова для некорректных задач". Continuum Mechanics and Thermodynamics . 2 (1): 17–30. Bibcode :1990CMT.....2...17H. doi :10.1007/BF01170953.
2. Шефер, Х.; Стернин, Э.; Станнариус, Р.; Арндт, М.; Кремер, Ф. (18 марта 1996 г.). «Новый подход к анализу широкополосных диэлектрических спектров». Physical Review Letters . 76 (12): 2177–2180. Bibcode :1996PhRvL..76.2177S. doi :10.1103/PhysRevLett.76.2177. PMID  10060625.
3. Дадди-Мусса-Идер, А.; Кауи, Б.; Лёвен, Х. (9 апреля 2019 г.). «Осесимметричный поток, вызванный стокслетом вблизи упругой мембраны конечного размера». Журнал физического общества Японии . 88 (5): 054401. arXiv : 1901.04485 . doi : 10.7566/JPSJ.88.054401.
4. Дадди-Мусса-Идер, А. (25 ноября 2020 г.). «Асимметричное течение Стокса, вызванное поперечной точечной силой, действующей вблизи упругой мембраны конечного размера». Журнал Физического общества Японии . 89 : 124401. arXiv : 2006.14375 . doi : 10.7566/JPSJ.89.124401.

Дальнейшее чтение

• Интегральные уравнения в EqWorld: мир математических уравнений.
• А.Д. Полянин и А.В. Манжиров, Справочник по интегральным уравнениям , CRC Press, Бока-Ратон, 1998. ISBN 0-8493-2876-4 
• Хведелидзе, Б.В.; Литвинов, Г.Л. (2001) [1994], "Ядро Фредгольма", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Simons, FJ; Wieczorek, MA; Dahlen, FA (2006). «Пространственно-спектральная концентрация на сфере». SIAM Review . 48 (3): 504–536. arXiv : math/0408424 . Bibcode :2006SIAMR..48..504S. doi :10.1137/S0036144504445765.
• Слепян, Д. (1983). «Некоторые комментарии по анализу Фурье, неопределенности и моделированию». Обзор SIAM . 25 (3): 379–393. doi :10.1137/1025078.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Раздел 19.1. Уравнения Фредгольма второго рода". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.). Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. Архивировано из оригинала 2011-08-11 . Получено 2011-08-17 .
• Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970), Математические методы физики (2-е изд.), Нью-Йорк: WA Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1 

Внешние ссылки

• IntEQ: пакет Python для численного решения интегральных уравнений Фредгольма