В математике интегральное преобразование — это тип преобразования, который отображает функцию из исходного функционального пространства в другое функциональное пространство посредством интегрирования , где некоторые свойства исходной функции могут быть легче охарактеризованы и манипулировать ими, чем в исходном функциональном пространстве. Преобразованную функцию обычно можно отобразить обратно в исходное функциональное пространство с помощью обратного преобразования .
Интегральное преобразование — это любое преобразование следующего вида:
Входные данные этого преобразования — функция , а выходные данные — другая функция . Интегральное преобразование — это особый вид математического оператора .
Существует множество полезных интегральных преобразований. Каждый из них задается выбором функции двух переменных , функции ядра , интегрального ядра или ядра преобразования.
С некоторыми ядрами связано обратное ядро , которое (грубо говоря) дает обратное преобразование:
Симметричное ядро — это ядро, которое не меняется при перестановке двух переменных; это функция ядра, такая что . В теории интегральных уравнений симметрические ядра соответствуют самосопряженным операторам. [1]
Существует множество классов задач, которые трудно решить (или, по крайней мере, весьма громоздко алгебраически) в их исходных представлениях. Интегральное преобразование «сопоставляет» уравнение из исходной «области» в другую область, в которой манипулировать уравнением и решать его может быть намного проще, чем в исходной области. Затем решение можно отобразить обратно в исходную область с помощью обратного интегрального преобразования.
Существует множество приложений вероятности, которые полагаются на интегральные преобразования, такие как «ядро ценообразования» или стохастический коэффициент дисконтирования , или сглаживание данных, восстановленных на основе надежной статистики; см. ядро (статистику) .
Предшественником преобразований были ряды Фурье для выражения функций в конечных интервалах. Позже преобразование Фурье было разработано, чтобы убрать требование конечных интервалов.
Используя ряд Фурье, практически любую практическую функцию времени ( например, напряжение на клеммах электронного устройства ) можно представить как сумму синусов и косинусов , каждый из которых соответствующим образом масштабируется (умножается на постоянный коэффициент), смещается (расширяется). или отставшие во времени) и «сжатые» или «растянутые» (увеличение или уменьшение частоты). Синусы и косинусы в ряду Фурье являются примером ортонормированного базиса .
В качестве примера применения интегральных преобразований рассмотрим преобразование Лапласа . Это метод, который отображает дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения во «временной» области в полиномиальные уравнения в так называемой «комплексной частотной» области . (Комплексная частота аналогична фактической физической частоте, но имеет более общий характер. В частности, мнимая составляющая ω комплексной частоты s = − σ + iω соответствует обычному понятию частоты, а именно скорости, с которой циклически повторяется синусоида, тогда как действительная составляющая σ комплексной частоты соответствует степени «затухания», т.е. экспоненциальному уменьшению амплитуды.) Уравнение, составленное через комплексную частоту, легко решается в области комплексных частот (корни полиномиальных уравнений в комплексная частотная область соответствует собственным значениям во временной области), что приводит к «решению», сформулированному в частотной области. Используя обратное преобразование , т.е. процедуру, обратную исходному преобразованию Лапласа, можно получить решение во временной области. В этом примере полиномы в комплексной частотной области (обычно встречающиеся в знаменателе) соответствуют степенным рядам во временной области, тогда как осевые сдвиги в комплексной частотной области соответствуют затуханию затухающей экспонентой во временной области.
Преобразование Лапласа находит широкое применение в физике и особенно в электротехнике, где характеристические уравнения , описывающие поведение электрической цепи в комплексной частотной области, соответствуют линейным комбинациям экспоненциально масштабированных и сдвинутых по времени затухающих синусоидов во временной области. Другие интегральные преобразования находят особое применение в других научных и математических дисциплинах.
Другой пример использования — ядро в интеграле пути :
Это означает, что общая амплитуда , которую необходимо достичь, представляет собой сумму (интеграл) по всем возможным значениям общей амплитуды, которую необходимо достичь в точке , умноженной на амплитуду, от которой нужно перейти к [ ie ] . [2] Его часто называют распространителем данной системы. Это (физическое) ядро является ядром интегрального преобразования. Однако для каждой квантовой системы существует свое ядро. [3]
В пределах интегрирования обратного преобразования c является константой, которая зависит от характера функции преобразования. Например, для одно- и двустороннего преобразования Лапласа c должно быть больше наибольшей действительной части нулей функции преобразования.
Обратите внимание, что существуют альтернативные обозначения и соглашения для преобразования Фурье.
Здесь интегральные преобразования определены для функций действительных чисел, но в более общем смысле они могут быть определены для функций группы.
Хотя свойства интегральных преобразований сильно различаются, у них есть некоторые общие свойства. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором , поскольку интеграл является линейным оператором, и фактически, если ядру разрешено быть обобщенной функцией , тогда все линейные операторы являются интегральными преобразованиями (правильно сформулированным вариантом этого утверждения является уравнение Шварца теорема о ядре ).
Общая теория таких интегральных уравнений известна как теория Фредгольма . В этой теории под ядром понимается компактный оператор , действующий в банаховом пространстве функций. В зависимости от ситуации ядро затем по-разному называют оператором Фредгольма , ядерным оператором или ядром Фредгольма .
