Интеграл Римана

Основной интеграл в элементарном исчислении

Интеграл как площадь области под кривой.

Последовательность сумм Римана по регулярному разбиению интервала. Число сверху — это общая площадь прямоугольников, которая сходится к интегралу функции.

Разделение не обязательно должно быть регулярным, как показано здесь. Приближение работает до тех пор, пока ширина каждого подразделения стремится к нулю.

В разделе математики, известном как вещественный анализ , интеграл Римана , созданный Бернхардом Риманом , был первым строгим определением интеграла функции на интервале . Он был представлен факультету Гёттингенского университета в 1854 году, но не публиковался в журнале до 1868 года. [ ^1] Для многих функций и практических приложений интеграл Римана можно оценить с помощью фундаментальной теоремы исчисления или аппроксимировать с помощью численного интегрирования , или смоделировать с помощью интегрирования Монте-Карло .

Обзор

Пусть f — неотрицательная вещественная функция на интервале [ a , b ] , а S — область плоскости под графиком функции f и над интервалом [ a , b ] . Смотрите рисунок вверху справа. Эту область можно выразить в нотации set-builder как $${\displaystyle S=\left\{(x,y)\,:\,a\leq x\leq b\,,\,0<y<f(x)\right\}.}$$

Нас интересует измерение площади S. После того, как мы ее измерим, мы обозначим площадь обычным образом: $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

Основная идея интеграла Римана заключается в использовании очень простых приближений для площади S. Принимая все лучшие и лучшие приближения, мы можем сказать, что «в пределе» мы получаем в точности площадь S под кривой.

Если f ( x ) может принимать отрицательные значения, интеграл равен знаковой площади между графиком f и осью x : то есть площадь над осью x минус площадь под осью x .

Определение

Разбиения интервала

Разбиение интервала [ a , b ] — это конечная последовательность чисел вида $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{i}<\dots <x_{n}=b}$$

Каждый [ x _i , x _{i + 1} ] называется подынтервалом разбиения. Сетка или норма разбиения определяется как длина самого длинного подынтервала, то есть, $${\displaystyle \max \left(x_{i+1}-x_{i}\right),\quad i\in [0,n-1].}$$

Размеченное разбиение P ( x , t ) интервала [ a , b ] представляет собой разбиение вместе с выбором точки выборки внутри каждого подинтервала: то есть числа t ₀ , ..., t _{n − 1} с t _i ∈ [ x _i , x _{i + 1} ] для каждого i . Сетка размеченного разбиения такая же, как и у обычного разбиения.

Предположим, что два разбиения P ( x , t ) и Q ( y , s ) являются разбиениями интервала [ a , b ] . Мы говорим, что Q ( y , s ) является уточнением P ( x , t ) , если для каждого целого числа i , при i ∈ [ 0 , n ] , существует целое число r ( i ) такое, что x _i = y _{r ( i )} и такое, что t _i = s _j для некоторого j при j ∈ [ r ( i ), r ( i + 1)] . То есть, помеченное разбиение разбивает некоторые подынтервалы и добавляет точки выборки там, где это необходимо, «улучшая» точность разбиения.

Мы можем превратить множество всех помеченных разделов в направленный набор , сказав, что один помеченный раздел больше или равен другому, если первый является уточнением последнего.

сумма Римана

Пусть f — вещественная функция, определенная на интервале [ a , b ] . Риманова сумма f относительно помеченного разбиения x0 _, ..., _xn вместе с t0 , _... , tn _{− 1} равна ^[2] $${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})\left(x_{i+1}-x_{i}\right).}$$

Каждый член в сумме является произведением значения функции в заданной точке и длины интервала. Следовательно, каждый член представляет собой (знаковую) площадь прямоугольника с высотой f ( t _i ) и шириной x _{i + 1} − x _i . Сумма Римана является (знаковой) площадью всех прямоугольников.

Тесно связанными понятиями являются нижняя и верхняя суммы Дарбу . Они похожи на суммы Римана, но теги заменяются инфимумом и супремумом (соответственно) функции f на каждом подынтервале: $${\displaystyle {\begin{aligned}L(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\inf _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}),\\U(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\sup _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}).\end{aligned}}}$$

Если f непрерывна, то нижняя и верхняя суммы Дарбу для немаркированного разбиения равны сумме Римана для этого разбиения, где теги выбираются так, чтобы быть минимальными или максимальными (соответственно) значениями f на каждом подынтервале. (Когда f разрывна на подынтервале, может не быть тега, который достигает инфимума или супремума на этом подынтервале.) Интеграл Дарбу , который похож на интеграл Римана, но основан на суммах Дарбу, эквивалентен интегралу Римана.

Интеграл Римана

Грубо говоря, интеграл Римана — это предел сумм Римана функции по мере того, как разбиения становятся тоньше. Если предел существует, то говорят, что функция интегрируема (или, точнее, интегрируема по Риману ). Сумма Римана может быть сделана сколь угодно близкой к интегралу Римана, делая разбиение достаточно точным. ^[3]

Одним из важных требований является то, что сетка разделов должна становиться все меньше и меньше, так что она имеет предел ноль. Если бы это было не так, то мы бы не получили хорошего приближения к функции на определенных подынтервалах. Фактически, этого достаточно, чтобы определить интеграл. Для определенности мы говорим, что интеграл Римана функции f существует и равен s, если выполняется следующее условие:

Для всех ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого помеченного разбиения x ₀ , ..., x _n и t ₀ , ..., t _{n − 1 ,} сетка которого меньше δ , мы имеем $${\displaystyle \left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .}$$

К сожалению, это определение очень сложно использовать. Это помогло бы разработать эквивалентное определение интеграла Римана, с которым было бы легче работать. Мы разрабатываем это определение сейчас, с последующим доказательством эквивалентности. Наше новое определение гласит, что интеграл Римана функции f существует и равен s, если выполняется следующее условие:

Для всех ε > 0 существует помеченное разбиение y ₀ , ..., y _m и r ₀ , ..., r _{m − 1} такое, что для любого помеченного разбиения x ₀ , ..., x _n и t ₀ , ..., t _{n − 1 ,} которое является уточнением y ₀ , ..., y _m и r ₀ , ..., r _{m − 1} , мы имеем $${\displaystyle \left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .}$$

Оба эти утверждения означают, что в конечном итоге сумма Римана f относительно любого разбиения оказывается захваченной близко к s . Поскольку это верно независимо от того, насколько близко мы требуем, чтобы суммы были захвачены, мы говорим, что суммы Римана сходятся к s . Эти определения на самом деле являются частным случаем более общей концепции, сети .

Как мы уже говорили ранее, эти два определения эквивалентны. Другими словами, s работает в первом определении тогда и только тогда, когда s работает во втором определении. Чтобы показать, что первое определение подразумевает второе, начнем с ε и выберем δ , удовлетворяющее условию. Выберите любое помеченное разбиение, сетка которого меньше δ . Его сумма Римана находится в пределах ε от s , и любое уточнение этого разбиения также будет иметь сетку меньше δ , поэтому сумма Римана уточнения также будет в пределах ε от s .

Чтобы показать, что второе определение подразумевает первое, проще всего использовать интеграл Дарбу . Во-первых, показывают, что второе определение эквивалентно определению интеграла Дарбу; для этого см. статью об интеграле Дарбу . Теперь покажем, что интегрируемая по Дарбу функция удовлетворяет первому определению. Зафиксируем ε и выберем разбиение y ₀ , ..., y _m таким образом, чтобы нижняя и верхняя суммы Дарбу относительно этого разбиения находились в пределах ε /2 от значения s интеграла Дарбу. Пусть $${\displaystyle r=2\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|.}$$

Если r = 0 , то f — нулевая функция, которая, очевидно, интегрируема как по Дарбу, так и по Риману с нулевым интегралом. Поэтому предположим, что r > 0. Если m > 1 , то выберем δ так, чтобы $${\displaystyle \delta <\min \left\{{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},\left(y_{1}-y_{0}\right),\left(y_{2}-y_{1}\right),\cdots ,\left(y_{m}-y_{m-1}\right)\right\}}$$

Если m = 1 , то мы выбираем δ меньше единицы. Выбираем помеченное разбиение x ₀ , ..., x _n и t ₀ , ..., t _{n − 1} с сеткой меньше δ . Мы должны показать, что сумма Римана находится в пределах ε от s .

Чтобы увидеть это, выберите интервал [ x _i , x _{i + 1} ] . Если этот интервал содержится в некотором [ y _j , y _{j + 1} ] , то где m _j и M _j являются соответственно инфимумом и супремумом функции f на [ y _j , y _{j + 1} ] . Если бы все интервалы обладали этим свойством, то это завершило бы доказательство, поскольку каждый член в сумме Римана был бы ограничен соответствующим членом в суммах Дарбу, а мы выбрали суммы Дарбу так, чтобы они были близки к s . Это тот случай, когда m = 1 , поэтому в этом случае доказательство завершено. $${\displaystyle m_{j}\leq f(t_{i})\leq M_{j}}$$

Поэтому мы можем предположить, что m > 1. В этом случае возможно, что один из [ x _i , x _{i + 1} ] не содержится ни в одном [ y _j , y _{j + 1} ] . Вместо этого он может простираться на два интервала, определяемых y ₀ , ..., y _m . (Он не может соответствовать трем интервалам, поскольку предполагается, что δ меньше длины любого одного интервала.) В символах может случиться, что $${\displaystyle y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}<y_{j+2}.}$$

(Мы можем предположить, что все неравенства строгие, поскольку в противном случае мы находимся в предыдущем случае в силу нашего предположения о длине δ .) Это может произойти не более m − 1 раз.

Чтобы справиться с этим случаем, мы оценим разницу между суммой Римана и суммой Дарбу, разделив разбиение x ₀ , ..., x _n на y _{j + 1.} Член f ( t _i )( x _{i + 1} − x _i ) в сумме Римана распадается на два члена: $${\displaystyle f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-x_{i}\right)=f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)+f\left(t_{i}\right)\left(y_{j+1}-x_{i}\right).}$$

Предположим, без потери общности , что t _i ∈ [ y _j , y _{j + 1} ] . Тогда этот член ограничен соответствующим членом в сумме Дарбу для y _j . Чтобы ограничить другой член, заметим, что $${\displaystyle m_{j}\leq f(t_{i})\leq M_{j},}$$ $${\displaystyle x_{i+1}-y_{j+1}<\delta <{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},}$$

Из этого следует, что для некоторых (даже любых) t^*
_я∈ [ yj + ₁ , xi _{+ 1 ]} , $${\displaystyle \left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i}^{*}\right)\right|\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)<{\frac {\varepsilon }{2(m-1)}}.}$$

Поскольку это происходит не более m − 1 раз, расстояние между суммой Римана и суммой Дарбу не более ε / 2. Следовательно, расстояние между суммой Римана и s не более  ε .

Примеры

Пусть — функция, которая в каждой точке принимает значение 1. Любая сумма Римана функции f на [0, 1] будет иметь значение 1, поэтому интеграл Римана функции f на [0, 1] равен 1. ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$

Пусть будет индикаторной функцией рациональных чисел в [0, 1] ; то есть принимает значение 1 для рациональных чисел и 0 для иррациональных чисел. Эта функция не имеет интеграла Римана. Чтобы доказать это, мы покажем, как построить помеченные разбиения, чьи суммы Римана становятся произвольно близкими как к нулю, так и к единице. ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$

Для начала пусть x ₀ , ..., x _n и t ₀ , ..., t _{n − 1} будут помеченным разделом (каждый t _i находится между x _i и x _{i + 1} ). Выберите ε > 0 . t _i уже выбраны, и мы не можем изменить значение f в этих точках. Но если мы разрежем раздел на маленькие части вокруг каждого t _i , мы можем минимизировать влияние t _i . Затем, тщательно выбирая новые теги, мы можем сделать так, чтобы значение суммы Римана оказалось в пределах ε от нуля или единицы.

Наш первый шаг — разбить разбиение. Имеется n t i _, и мы хотим, чтобы их общий эффект был меньше ε . Если мы ограничим каждого из них интервалом длины меньше ε / n , то вклад каждого t _i в сумму Римана будет не менее 0 · ε / n и не более 1 · ε / n . Это делает общую сумму не менее нуля и не более ε . Поэтому пусть δ будет положительным числом, меньшим ε / n . Если случится так, что два из t _i находятся в пределах δ друг от друга, выберем δ меньше. Если случится так, что некоторое t _i находится в пределах δ некоторого x _j , и t _i не равно x _j , выберем δ меньше. Поскольку существует только конечное число t _i и x _j , мы всегда можем выбрать δ достаточно малым.

Теперь мы добавляем два разреза к разбиению для каждого t _i . Один из разрезов будет в точке t _i − δ /2 , а другой в точке t _i + δ /2 . Если один из них покидает интервал [0, 1], то мы его опускаем. t _i будет тегом, соответствующим подинтервалу $${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].}$$

Если t _i находится непосредственно над одним из x _j , то мы позволяем t _i быть тегом для обоих интервалов: $${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},x_{j}\right],\quad {\text{and}}\quad \left[x_{j},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].}$$

Нам все еще нужно выбрать теги для других подынтервалов. Мы выберем их двумя разными способами. Первый способ — всегда выбирать рациональную точку , так чтобы сумма Римана была как можно больше. Это сделает значение суммы Римана не менее 1 − ε . Второй способ — всегда выбирать иррациональную точку, так чтобы сумма Римана была как можно меньше. Это сделает значение суммы Римана не более ε .

Поскольку мы начали с произвольного разбиения и закончили так близко, как хотели, либо к нулю, либо к единице, неверно утверждать, что мы в конечном итоге оказываемся в ловушке около некоторого числа s , поэтому эта функция не интегрируема по Риману. Однако она интегрируема по Лебегу . В смысле Лебега ее интеграл равен нулю, поскольку функция равна нулю почти всюду . Но это факт, который находится за пределами досягаемости интеграла Римана.

Есть примеры и похуже. эквивалентна (то есть равна почти всюду) интегрируемой по Риману функции, но существуют неинтегрируемые по Риману ограниченные функции, которые не эквивалентны никакой интегрируемой по Риману функции. Например, пусть C будет множеством Смита–Вольтерра–Кантора , а I _C — его индикаторной функцией. Поскольку C не измеримо по Жордану , I _C не интегрируема по Риману. Более того, никакая функция g, эквивалентная I _C, не интегрируема по Риману: g , как и I _C , должна быть равна нулю на плотном множестве, поэтому, как и в предыдущем примере, любая сумма Римана g имеет уточнение, которое находится в пределах ε от 0 для любого положительного числа  ε . Но если интеграл Римана от g существует, то он должен быть равен интегралу Лебега от I _C , который равен 1/2 . Следовательно, g не интегрируема по Риману. ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$

Похожие концепции

Интеграл Римана принято определять как интеграл Дарбу . Это связано с тем, что интеграл Дарбу технически проще, а функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она интегрируема по Дарбу.

Некоторые книги по исчислению не используют общие помеченные разбиения, а ограничиваются конкретными типами помеченных разбиений. Если тип разбиения ограничен слишком сильно, некоторые неинтегрируемые функции могут показаться интегрируемыми.

Одним из популярных ограничений является использование «левых» и «правых» сумм Римана. В левой сумме Римана t _i = x _i для всех i , а в правой сумме Римана t _i = x _{i + 1} для всех i . Само по себе это ограничение не создает проблемы: мы можем уточнить любое разбиение таким образом, чтобы оно стало левой или правой суммой, разделив его в каждом t _i . На более формальном языке множество всех левых сумм Римана и множество всех правых сумм Римана конфинально в множестве всех помеченных разбиений.

Другим популярным ограничением является использование регулярных подразделений интервала. Например, n- е регулярное подразделение [0, 1] состоит из интервалов $${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{n}}\right],\left[{\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}}\right],\ldots ,\left[{\frac {n-1}{n}},1\right].}$$

Опять же, само по себе это ограничение не создает проблемы, но рассуждения, необходимые для того, чтобы увидеть этот факт, сложнее, чем в случае левых и правых сумм Римана.

Однако объединение этих ограничений, так что можно использовать только левые или правые суммы Римана на регулярно разделенных интервалах, опасно. Если заранее известно, что функция интегрируема по Риману, то этот метод даст правильное значение интеграла. Но при этих условиях индикаторная функция будет казаться интегрируемой на [0, 1] с интегралом, равным единице: Каждая конечная точка каждого подинтервала будет рациональным числом, поэтому функция всегда будет оцениваться в рациональных числах, и, следовательно, она будет казаться всегда равной единице. Проблема с этим определением становится очевидной, когда мы пытаемся разбить интеграл на две части. Должно выполняться следующее уравнение: ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$ $${\displaystyle \int _{0}^{{\sqrt {2}}-1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx+\int _{{\sqrt {2}}-1}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx=\int _{0}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx.}$$

Если мы используем регулярные подразделения и левые или правые суммы Римана, то два члена слева будут равны нулю, поскольку каждая конечная точка, кроме 0 и 1, будет иррациональной, но, как мы видели, член справа будет равен 1.

Как определено выше, интеграл Римана обходит эту проблему, отказываясь от интегрирования. Интеграл Лебега определяется таким образом, что все эти интегралы равны 0. ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }.}$

Характеристики

Линейность

Интеграл Римана является линейным преобразованием; то есть, если f и g интегрируемы по Риману на [ a , b ] , а α и β являются константами, то $${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$

Поскольку интеграл Римана функции является числом, это делает интеграл Римана линейным функционалом на векторном пространстве функций, интегрируемых по Риману.

Интегрируемость

Ограниченная функция на компактном интервале [ a , b ] интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она непрерывна почти всюду (множество ее точек разрыва имеет меру нуль в смысле меры Лебега ). ЭтоТеорема Лебега-Витали (характеристики интегрируемых по Риману функций). Она была доказана независимоДжузеппе ВиталииАнри Лебегомв 1907 году и использует понятиемеры ноль, но не использует ни общую меру Лебега, ни интеграл.

Условие интегрируемости можно доказать различными способами, ^{[4] [5] [6] [7],} один из которых представлен ниже.

В частности, любое множество, которое не более чем счетно, имеет нулевую меру Лебега , и, таким образом, ограниченная функция (на компактном интервале) с только конечным или счетным числом разрывов интегрируема по Риману. Другим достаточным критерием интегрируемости Римана по [ a , b ] , но который не включает понятие меры, является существование правого (или левого) предела в каждой точке в [ a , b ) (или ( a , b ] ). ^[10]

Индикаторная функция ограниченного множества интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда множество измеримо по Жордану . Интеграл Римана можно интерпретировать с точки зрения теории меры как интеграл по мере Жордана.

Если действительная функция монотонна на интервале [ a , b ], то она интегрируема по Риману, поскольку множество ее разрывов не более чем счетно, и, следовательно, имеет нулевую меру Лебега. Если действительная функция на [ a , b ] интегрируема по Риману, то она интегрируема по Лебегу . То есть интегрируемость по Риману является более сильным (то есть более сложным для выполнения) условием, чем интегрируемость по Лебегу. Обратное не выполняется; не все функции, интегрируемые по Лебегу, интегрируемы по Риману.

Теорема Лебега–Витали не подразумевает, что все типы разрывов имеют одинаковый вес на препятствии, что действительнозначная ограниченная функция может быть интегрируемой по Риману на [ a , b ] . Фактически, некоторые разрывы не играют абсолютно никакой роли в интегрируемости по Риману функции — следствие классификации разрывов функции. ^{[ требуется цитата ]}

Если f _n — равномерно сходящаяся последовательность на [ a , b ] с пределом f , то интегрируемость по Риману всех f _n влечет интегрируемость по Риману f , и $${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dx=\int _{a}^{b}{\lim _{n\to \infty }{f_{n}}\,dx}=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx.}$$

Однако теорема Лебега о монотонной сходимости (о монотонном поточечном пределе) не верна для интегралов Римана. Таким образом, в интегрировании Римана взятие пределов под знаком интеграла гораздо сложнее логически обосновать, чем в интегрировании Лебега. ^[11]

Обобщения

Легко расширить интеграл Римана на функции со значениями в евклидовом векторном пространстве для любого n . Интеграл определяется покомпонентно; другими словами, если f = ( f ₁ , ..., f _n ) , то ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \int \mathbf {f} =\left(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n}\right).}$$

В частности, поскольку комплексные числа представляют собой действительное векторное пространство , это позволяет интегрировать комплекснозначные функции.

Интеграл Римана определен только на ограниченных интервалах и плохо распространяется на неограниченные интервалы. Простейшее возможное расширение — определить такой интеграл как предел , другими словами, как несобственный интеграл : $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty \atop b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

Это определение несет в себе некоторые тонкости, например, тот факт, что оно не всегда эквивалентно вычислению главного значения Коши. $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx.}$$

Например, рассмотрим функцию знака f ( x ) = sgn( x ), которая равна 0 при x = 0 , 1 при x > 0 и −1 при x < 0 . По симметрии, всегда, независимо от a . Но существует много способов расширить интервал интегрирования, чтобы заполнить действительную линию, и другие способы могут давать разные результаты; другими словами, многомерный предел не всегда существует. Мы можем вычислить $${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-a}^{2a}f(x)\,dx&=a,\\\int _{-2a}^{a}f(x)\,dx&=-a.\end{aligned}}}$$

В общем случае этот несобственный интеграл Римана не определен. Даже стандартизация способа приближения интервала к действительной прямой не работает, поскольку приводит к тревожно контринтуитивным результатам. Если мы согласимся (например), что несобственный интеграл всегда должен быть , то интеграл переноса f ( x − 1) равен −2, так что это определение не инвариантно относительно сдвигов, что является крайне нежелательным свойством. Фактически, эта функция не только не имеет несобственного интеграла Римана, ее интеграл Лебега также не определен (он равен ∞ − ∞ ). $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx,}$$

К сожалению, несобственный интеграл Римана недостаточно мощный. Самая серьезная проблема заключается в том, что не существует широко применимых теорем для коммутации несобственных интегралов Римана с пределами функций. В таких приложениях, как ряды Фурье, важно иметь возможность аппроксимировать интеграл функции с помощью интегралов аппроксимаций функции. Для собственных интегралов Римана стандартная теорема гласит, что если f _n — последовательность функций, равномерно сходящихся к f на компактном множестве [ a , b ] , то $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

На некомпактных интервалах, таких как вещественная прямая, это неверно. Например, возьмем f _n ( x ) равным n ⁻¹ на [0, n ] и нулевым в остальных местах. Для всех n имеем: $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx=1.}$$

Последовательность ( f _n ) сходится равномерно к нулевой функции, и очевидно, что интеграл нулевой функции равен нулю. Следовательно, $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f\,dx\neq \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx.}$$

Это показывает, что для интегралов на неограниченных интервалах равномерная сходимость функции недостаточно сильна, чтобы позволить провести предел через знак интеграла. Это делает интеграл Римана непригодным для приложений (хотя интеграл Римана присваивает обеим сторонам правильное значение), поскольку нет другого общего критерия для обмена пределом и интегралом Римана, и без такого критерия трудно аппроксимировать интегралы путем аппроксимации их подынтегральных функций.

Лучшим путем будет отказаться от интеграла Римана в пользу интеграла Лебега . Определение интеграла Лебега не является, очевидно, обобщением интеграла Римана, но нетрудно доказать, что каждая функция, интегрируемая по Риману, интегрируема по Лебегу и что значения двух интегралов совпадают, когда они оба определены. Более того, функция f, определенная на ограниченном интервале, интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она ограничена, а множество точек, где f разрывна, имеет нулевую меру Лебега.

Интеграл, который фактически является прямым обобщением интеграла Римана, — это интеграл Хенстока–Курцвейля .

Другой способ обобщения интеграла Римана — заменить множители x _{k + 1} − x _k в определении суммы Римана на что-то другое; грубо говоря, это дает интервалу интегрирования другое понятие длины. Такой подход используется в интеграле Римана–Стилтьеса .

В многомерном исчислении интегралы Римана для функций из являются кратными интегралами . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

Сравнение с другими теориями интеграции

Интеграл Римана непригоден для многих теоретических целей. Некоторые технические недостатки интегрирования Римана можно устранить с помощью интеграла Римана–Стилтьеса , и большинство из них исчезают с помощью интеграла Лебега , хотя последний не имеет удовлетворительной обработки несобственных интегралов . Калибровочный интеграл является обобщением интеграла Лебега, который в то же время ближе к интегралу Римана. Эти более общие теории допускают интеграцию более «зазубренных» или «сильно осциллирующих» функций, чей интеграл Римана не существует; но теории дают то же значение, что и интеграл Римана, когда он существует.

В образовательных условиях интеграл Дарбу предлагает более простое определение, с которым легче работать; его можно использовать для введения интеграла Римана. Интеграл Дарбу определяется всякий раз, когда определяется интеграл Римана, и всегда дает тот же результат. Напротив, калибровочный интеграл является простым, но более мощным обобщением интеграла Римана и побудил некоторых преподавателей выступать за то, чтобы он заменил интеграл Римана во вводных курсах исчисления. ^[12]

Смотрите также

• Область
• Первообразный
• Интеграция Лебега

Примечания

1. Интеграл Римана был введен в статье Бернхарда Римана «Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe» (О представимости функции тригонометрическим рядом; т. е. когда функция может быть представлена ​​тригонометрическим рядом). Эта статья была представлена ​​в Геттингенский университет в 1854 году как Habilitationsschrift Римана (квалификация, позволяющая стать преподавателем). Он был опубликован в 1868 году в Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Труды Королевского философского общества в Геттингене), том. 13, страницы 87–132. (Доступно онлайн здесь.) Определение интеграла, данное Риманом, см. в разделе 4 «Über den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit» (О понятии определенного интеграла и степени его применимости), страницы 101–103. .
2. Кранц, Стивен Г. (2005). Реальный анализ и основы. Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC. стр. 173. ISBN 1-58488-483-5. OCLC  56214595.
3. Тейлор, Майкл Э. (2006). Теория меры и интегрирование. Американское математическое общество. стр. 1. ISBN 9780821872468.
4. Апостол 1974, стр. 169–172.
5. Браун, AB (сентябрь 1936 г.). «Доказательство условия Лебега для интегрируемости Римана». The American Mathematical Monthly . 43 (7): 396–398. doi :10.2307/2301737. ISSN  0002-9890. JSTOR  2301737.
6. Базовый вещественный анализ, Хушанг Х. Сохраб, раздел 7.3, Множества нулевой меры и условие интегрируемости Лебега, стр. 264–271
7. Введение в действительный анализ, обновлено в апреле 2010 г., Уильям Ф. Тренч, 3.5 «Более продвинутый взгляд на существование собственного интеграла Римана», стр. 171–177
8. Условие Лебега, Джон Армстронг, 15 декабря 2009 г., The Unapologietic Mathematician
9. Условие интегрируемости содержания Джордана, Джон Армстронг, 9 декабря 2009 г., The Unapologietic Mathematician
10. Мецлер, RC (1971). «Об интегрируемости Римана». The American Mathematical Monthly . 78 (10): 1129–1131. doi :10.2307/2316325. ISSN  0002-9890. JSTOR  2316325.
11. Каннингем, Фредерик-младший (1967). «Взятие пределов под знаком интеграла». Mathematics Magazine . 40 (4): 179–186. doi :10.2307/2688673. JSTOR  2688673.
12. "Открытое письмо авторам книг по исчислению" . Получено 27 февраля 2014 г.

Ссылки

• Шилов, Г.Е. и Гуревич, Б.Л., 1978. Интеграл, мера и производная: единый подход , Ричард А. Сильверман, перевод. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8 . 
• Апостол, Том (1974), Математический анализ , Эддисон-Уэсли

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с интегралом Римана на Wikimedia Commons
• «Интеграл Римана», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]