Инъекционный объект

Математический объект в теории категорий

В математике , особенно в области теории категорий , понятие инъективного объекта является обобщением понятия инъективного модуля . Это понятие важно в когомологиях , в теории гомотопий и в теории модельных категорий . Двойственное понятие -- это понятие проективного объекта .

Определение

Объект Q является инъективным, если для заданного мономорфизма f  : X → Y любой g  : X → Q может быть расширен до Y .

Объект в категории называется инъективным, если для каждого мономорфизма и каждого морфизма существует морфизм, продолжающийся до , т.е. такой, что . ^[1] ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:X\to Q}$ ${\displaystyle h:Y\to Q}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle h\circ f=g}$

То есть каждый морфизм пропускается через каждый мономорфизм . ${\displaystyle X\to Q}$ ${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$

Морфизм в приведенном выше определении не обязательно должен однозначно определяться и . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

В локально малой категории это эквивалентно требованию, чтобы функтор hom переводил мономорфизмы в сюръективные отображения множеств. ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(-,Q)}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

В абелевых категориях

Понятие инъективности было впервые сформулировано для абелевых категорий , и это до сих пор одна из основных областей его применения. Когда — абелева категория, объект Q из инъективен тогда и только тогда, когда его hom-функтор Hom _C (–, Q ) является точным . ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Если — точная последовательность в такая, что Q инъективен, то последовательность разбивается . ${\displaystyle 0\to Q\to U\to V\to 0}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Достаточно инъективов и инъективных оболочек

Говорят, что категория имеет достаточно инъективных объектов , если для каждого объекта X из существует мономорфизм из X в инъективный объект. ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Мономорфизм g называется существенным мономорфизмом, если для любого морфизма f композиция fg является мономорфизмом только тогда, когда f является мономорфизмом. ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Если g — существенный мономорфизм с областью X и инъективной кодоменой G , то G называется инъективной оболочкой X. Тогда инъективная оболочка однозначно определяется X с точностью до неканонического изоморфизма. ^[1]

Примеры

• В категории абелевых групп и групповых гомоморфизмов Ab инъективный объект обязательно является делимой группой . При условии аксиомы выбора эти понятия эквивалентны.
• В категории (левых) модулей и гомоморфизмов модулей , R - Mod , инъективный объект является инъективным модулем . R - Mod имеет инъективные оболочки (как следствие, R - Mod имеет достаточно инъективов).
• В категории метрических пространств Met инъективный объект — это инъективное метрическое пространство , а инъективная оболочка метрического пространства — это его плотная оболочка .
• В категории пространств T 0 и непрерывных отображений инъективный объект всегда является топологией Скотта на непрерывной решетке , и поэтому он всегда трезв и локально компактен .

Использует

Если абелева категория имеет достаточно инъективов, мы можем образовать инъективные резолюции , т.е. для данного объекта X мы можем образовать длинную точную последовательность

${\displaystyle 0\to X\to Q^{0}\to Q^{1}\to Q^{2}\to \cdots }$

и затем можно определить производные функторы данного функтора F, применяя F к этой последовательности и вычисляя гомологии полученной (не обязательно точной) последовательности. Этот подход используется для определения функторов Ext и Tor , а также различных теорий когомологий в теории групп , алгебраической топологии и алгебраической геометрии . Используемые категории обычно являются категориями функторов или категориями пучков модулей O _X над некоторым окольцованным пространством ( X , O _X ) или, в более общем смысле, любой категорией Гротендика .

Обобщение

Объект Q является H -инъективным, если для данного h  : A → B в H любой f  : A → Q пропускается через h .

Пусть будет категорией и пусть будет классом морфизмов . ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Объект из называется -инъективным, если для каждого морфизма и каждого морфизма из существует морфизм с . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle f:A\to Q}$ ${\displaystyle h:A\to B}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle g:B\to Q}$ ${\displaystyle g\circ h=f}$

Если — класс мономорфизмов , то мы возвращаемся к инъективным объектам, которые были рассмотрены выше. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Говорят, что категория имеет достаточно -инъективных объектов , если для каждого объекта X из существует -морфизм из X в -инъективный объект. ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

-Морфизм g в называется -существенным, если для любого морфизма f композиция fg содержится в , только если f содержится в . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Если g является -существенным морфизмом с областью X и -инъективной кодоменой G , то G называется -инъективной оболочкой X. ^[1 ] ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

ПримерыЧАС-инъективные объекты

• В категории симплициальных множеств инъективными объектами относительно класса анодных расширений являются комплексы Кана . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
• В категории частично упорядоченных множеств и монотонных отображений полные решетки образуют инъективные объекты для класса упорядоченных вложений , а пополнение Дедекинда–Макнейла частично упорядоченного множества является его -инъективной оболочкой. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Смотрите также

• Проективный объект

Примечания

1. Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст; Штрекер, Джордж (1990). "Раздел 9. Инъективные объекты и существенные вложения". Абстрактные и конкретные категории: радость кошек (PDF) . Переиздания в Theory and Applications of Categories, № 17 (2006) стр. 1-507. ориг. John Wiley. стр. 147–155.

Ссылки

• Иржи Адамек, Хорст Херрлих, Джордж Штрекер. Абстрактные и конкретные категории: Радость кошек, Глава 9, Инъективные объекты и существенные вложения, Переиздано в Reprints and Applications of Categories, № 17 (2006) стр. 1-507, Wiley (1990).
• Я. Росицки, Инъективность и доступные категории
• Ф. Кальяри и С. Монтовани, T ₀ -отражение и инъективные оболочки расслоенных пространств