Настоящая аномалия

Параметр кеплеровских орбит

Истинная аномалия точки P — это угол f . Центр эллипса — точка C , а фокус — точка F.

В небесной механике истинная аномалия — угловой параметр , определяющий положение тела, движущегося по кеплеровской орбите . Это угол между направлением периапсиса и текущим положением тела, если смотреть из главного фокуса эллипса ( точки, вокруг которой вращается объект).

Истинная аномалия обычно обозначается греческими буквами ν или θ или латинской буквой f и обычно ограничивается диапазоном 0–360° (0–2π рад).

Истинная аномалия f — это один из трех угловых параметров ( аномалий ), определяющих положение на орбите, два других — это эксцентрическая аномалия и средняя аномалия .

Формулы

Из векторов состояния

Для эллиптических орбит истинную аномалию ν можно рассчитать по векторам состояния орбиты как:

${\displaystyle \nu =\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}$

(если r ⋅ v < 0 , то замените ν на 2 π − ν )

где:

• v - вектор орбитальной скорости вращающегося тела,
• e — вектор эксцентриситета ,
• r — вектор орбитального положения (отрезок FP на рисунке) вращающегося тела.

Круговая орбита

Для круговых орбит истинная аномалия не определена, поскольку круговые орбиты не имеют однозначно определенного перицентра. Вместо этого используется аргумент широты u :

${\displaystyle u=\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}$

(если r _z < 0 , то замените u на 2 π − u )

где:

• n — вектор, указывающий на восходящий узел (т. е. z -компонент n равен нулю).
• r _z — z -компонента вектора орбитального положения r

Круговая орбита с нулевым наклонением

Для круговых орбит с нулевым наклонением аргумент широты также не определен, поскольку не существует однозначно определенной линии узлов. Вместо этого используется истинная долгота :

${\displaystyle l=\arccos {r_{x} \over {\mathbf {\left|r\right|} }}}$

(если v _x > 0 , то замените l на 2 π − l )

где:

• r _x — x -компонент вектора орбитального положения r
• v _x — x -компонента вектора орбитальной скорости v .

От эксцентричной аномалии

Связь между истинной аномалией ν и эксцентрической аномалией такова: ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \cos {\nu }={{\cos {E}-e} \over {1-e\cos {E}}}}$

или используя синус ^[1] и тангенс :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\nu }&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {1-e\cos {E}}}\\[4pt]\tan {\nu }={{\sin {\nu }} \over {\cos {\nu }}}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {\cos {E}-e}}\end{aligned}}}$

или эквивалентно:

${\displaystyle \tan {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}}$

так

${\displaystyle \nu =2\,\operatorname {arctan} \left(\,{\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}\,\right)}$

В качестве альтернативы, форма этого уравнения была получена в ^[2] , которая позволяет избежать числовых проблем, когда аргументы близки к , поскольку две касательные становятся бесконечными. Кроме того, поскольку и всегда находятся в одном и том же квадранте, проблем со знаками не возникнет. ${\displaystyle \pm \pi }$ ${\displaystyle {\frac {E}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\nu }{2}}}$

${\displaystyle \tan {{\frac {1}{2}}(\nu -E)}={\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}}$где ${\displaystyle \beta ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}}$

так

${\displaystyle \nu =E+2\operatorname {arctan} \left(\,{\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}\,\right)}$

Из средней аномалии

Истинную аномалию можно рассчитать непосредственно из средней аномалии с помощью разложения Фурье : ^[3] ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \nu =M+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(-ke)\beta ^{|k+n|}\right]\sin {kM}}$

с функциями Бесселя и параметром . ${\displaystyle J_{n}}$ ${\displaystyle \beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}}$

Опуская все члены порядка или выше (обозначенные ), это можно записать как ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle e^{4}}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)}$

${\displaystyle \nu =M+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin {3M}+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right).}$

Обратите внимание, что из соображений точности это приближение обычно ограничивается орбитами, где эксцентриситет мал. ${\displaystyle e}$

Выражение известно как уравнение центра , где даны более подробные сведения о расширении. ${\displaystyle \nu -M}$

Радиус от истинной аномалии

Радиус (расстояние между фокусом притяжения и вращающимся телом) связан с истинной аномалией по формуле

${\displaystyle r=a\,{1-e^{2} \over 1+e\cos \nu }\,\!}$

где а — большая полуось орбиты .

Смотрите также

• Законы движения планет Кеплера
• Эксцентрическая аномалия
• Средняя аномалия
• Эллипс
• Гипербола

Рекомендации

1. Основы астродинамики и приложений Дэвида А. Валладо
2. Брук, Р.; Чефола, П. (1973). «Заметка о связи между истинными и эксцентрическими аномалиями в задаче двух тел». Небесная механика . 7 (3): 388–389. Бибкод : 1973CeMec...7..388B. дои : 10.1007/BF01227859. ISSN  0008-8714. S2CID  122878026.
3. Баттин, Р.Х. (1999). Введение в математику и методы астродинамики. Образовательная серия AIAA. Американский институт аэронавтики и астронавтики. п. 212 (уравнение (5.32)). ISBN 978-1-60086-026-3. Проверено 2 августа 2022 г.
4. Смарт, WM (1977). Учебник по сферической астрономии (PDF) . п. 120 (уравнение (87)). Бибкод :1977ца..книга.....С.
5. Рой, AE (2005). Орбитальное движение (4-е изд.). Бристоль, Великобритания; Филадельфия, Пенсильвания: Институт физики (IoP). п. 78 (уравнение (4.65)). Бибкод : 2005ormo.book.....R. ISBN 0750310154. Архивировано из оригинала 15 мая 2021 г. Проверено 29 августа 2020 г.

дальнейшее чтение

• Мюррей, К.Д. и Дермотт, С.Ф., 1999, Динамика Солнечной системы , Издательство Кембриджского университета, Кембридж. ISBN 0-521-57597-4 
• Пламмер, ХК, 1960, Вводный трактат по динамической астрономии , Dover Publications, Нью-Йорк. OCLC  1311887 (Перепечатка издания Cambridge University Press 1918 года.)

Внешние ссылки

• Федеральное управление гражданской авиации — описание орбит