Закон косинуса Ламберта

Описание в оптике угловой зависимости интенсивности излучения излучающей поверхности

В оптике закон косинуса Ламберта гласит, что интенсивность излучения или интенсивность света, наблюдаемая с идеальной диффузно отражающей поверхности или идеального диффузного излучателя, прямо пропорциональна косинусу угла θ между лучом зрения наблюдателя и нормалью к поверхности ; I = I ₀ cos θ . ^{[1] [2]} Закон также известен как закон излучения косинуса ^[3] или закон излучения Ламберта . Он назван в честь Иоганна Генриха Ламберта из его книги Photometria , опубликованной в 1760 году. ^[4]

Поверхность, подчиняющаяся закону Ламберта, называется ламбертовской и демонстрирует ламбертовское отражение . Такая поверхность имеет одинаковую яркость / яркость при просмотре под любым углом. Это означает, например, что для человеческого глаза она имеет одинаковую видимую яркость. Она имеет одинаковую яркость, потому что, хотя излучаемая мощность от данного элемента площади уменьшается на косинус угла излучения, телесный угол, охватываемый поверхностью, видимой наблюдателю, уменьшается на ту же величину. Поскольку соотношение между мощностью и телесным углом постоянно, яркость (мощность на единицу телесного угла на единицу проецируемой площади источника) остается той же.

Рассеиватели и излучатели Ламберта

Когда элемент площади излучает в результате освещения внешним источником, облученность (энергия или фотоны/время/площадь), падающая на этот элемент площади, будет пропорциональна косинусу угла между источником освещения и нормалью. Ламбертовский рассеиватель затем будет рассеивать этот свет по тому же закону косинуса, что и ламбертовский излучатель. Это означает, что хотя яркость поверхности зависит от угла от нормали к источнику освещения, она не будет зависеть от угла от нормали к наблюдателю. Например, если бы луна была ламбертовским рассеивателем, можно было бы ожидать, что ее рассеянная яркость заметно уменьшится по направлению к терминатору из -за увеличенного угла, под которым солнечный свет падает на поверхность. Тот факт, что она не уменьшается, иллюстрирует, что луна не является ламбертовским рассеивателем и на самом деле имеет тенденцию рассеивать больше света в косые углы, чем ламбертовский рассеиватель.

Излучение ламбертовского излучателя зависит не от количества падающего излучения, а от излучения, возникающего в самом излучающем теле. Например, если бы солнце было ламбертовским излучателем, можно было бы ожидать увидеть постоянную яркость по всему солнечному диску. Тот факт, что солнце демонстрирует потемнение к краю в видимой области, иллюстрирует, что оно не является ламбертовским излучателем. Черное тело является примером ламбертовского излучателя.

Детали эффекта равной яркости

Ситуация для ламбертовской поверхности (излучающей или рассеивающей) проиллюстрирована на рисунках 1 и 2. Для концептуальной ясности мы будем мыслить в терминах фотонов , а не энергии или световой энергии . Каждый из клиньев в круге представляет собой равный угол d Ω произвольно выбранного размера, а для ламбертовской поверхности число фотонов в секунду, излучаемых в каждый клин, пропорционально площади клина.

Длина каждого клина равна произведению диаметра круга и cos( θ ). Максимальная скорость испускания фотонов на единицу телесного угла приходится на нормаль и уменьшается до нуля при θ = 90°. В математических терминах яркость вдоль нормали составляет I  фотонов/(с·м ² ·ср), а количество фотонов в секунду, испускаемых в вертикальный клин, составляет I d Ω dA . Количество фотонов в секунду, испускаемых в клин под углом θ, составляет I cos( θ ) d Ω dA .

Рисунок 2 представляет то, что видит наблюдатель. Наблюдатель, находящийся непосредственно над элементом площади, будет видеть сцену через апертуру площадью dA ₀ , а элемент площади dA будет стягивать (телесный) угол d Ω ₀ , который является частью полного углового поля зрения наблюдателя сцены. Поскольку размер клина d Ω был выбран произвольно, для удобства мы можем предположить без потери общности, что он совпадает с телесным углом, стягиваемым апертурой, если «наблюдать» из геометрического места излучающего элемента площади dA. Таким образом, нормальный наблюдатель затем будет регистрировать то же самое излучение I d Ω dA фотонов в секунду, полученное выше, и будет измерять яркость

${\displaystyle I_{0}={\frac {I\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,dA_{0}}}}$ фотонов/(с·м ² ·ср).

Наблюдатель под углом θ к нормали будет видеть сцену через то же отверстие площадью dA ₀ (все еще соответствующее клину d Ω), и с этой косой точки зрения элемент площади dA укорачивается и будет стягивать (телесный) угол d Ω ₀  cos( θ ). Этот наблюдатель будет регистрировать I cos( θ ) d Ω dA фотонов в секунду, и, таким образом, будет измерять яркость

${\displaystyle I_{0}={\frac {I\cos(\theta )\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,\cos(\theta )\,dA_{0}}}={\frac {I\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,dA_{0}}}}$ фотонов/(с·м ² ·ср),

что то же самое, что и у обычного наблюдателя.

Соотношение пиковой силы света и светового потока

В общем случае интенсивность света точки на поверхности меняется в зависимости от направления; для ламбертовой поверхности это распределение определяется законом косинуса, с пиковой интенсивностью света в нормальном направлении. Таким образом, когда ламбертовское предположение выполняется, мы можем вычислить общий световой поток , , из пиковой интенсивности света , , путем интегрирования закона косинуса: и так ${\displaystyle F_{\text{tot}}}$ ${\displaystyle I_{\max }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{tot}}&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi /2}\cos(\theta )\,I_{\max }\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi \\&=2\pi \cdot I_{\max }\int _{0}^{\pi /2}\cos(\theta )\sin(\theta )\,d\theta \\&=2\pi \cdot I_{\max }\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin(2\theta )}{2}}\,d\theta \end{aligned}}}$$

${\displaystyle F_{\text{tot}}=\pi \,\mathrm {sr} \cdot I_{\max }}$

где — определитель матрицы Якоби для единичной сферы , и понимая, что — световой поток на стерадиан . ^[5] Аналогично, пиковая интенсивность будет от общего излучаемого светового потока. Для ламбертовых поверхностей тот же самый фактор связывает яркость со световой излучательной способностью , интенсивность излучения с лучистым потоком и яркость с лучистой излучательной способностью . ^{[ требуется ссылка ]} Радианы и стерадианы, конечно, безразмерны, поэтому «рад» и «ср» включены только для ясности. ${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle I_{\max }}$ ${\displaystyle 1/(\pi \,\mathrm {sr} )}$ ${\displaystyle \pi \,\mathrm {sr} }$

Пример: Поверхность с яркостью, скажем, 100 кд/м ² (= 100 нит, типичный монитор ПК) будет, если она является идеальным излучателем Ламберта, иметь световую эмиссию 100π лм/м ² . Если ее площадь составляет 0,1 м ² (~19-дюймовый монитор), то общий излучаемый свет, или световой поток, будет таким образом составлять 31,4 лм.

Смотрите также

• Пропускание
• Отражательная способность
• Проектирование пассивного солнечного здания
• Солнечный путь

Ссылки

1. Справочник по электрооптике RCA, стр. 18 и далее
2. Современная оптическая инженерия, Уоррен Дж. Смит, McGraw-Hill, стр. 228, 256
3. Педротти и Педротти (1993). Введение в оптику . Prentice Hall . ISBN 0135015456.
4. Ламберт, Иоганн Генрих (1760). Фотометрия, sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae. Эберхард Клетт.
5. Инкропера и ДеВитт, Основы тепло- и массообмена , 5-е изд., стр. 710.