stringtranslate.com

Группа Прюфер

Группа Прюфера 2 с представлением g n : g n +1 2 = g n , g 1 2 = e , изображенная как подгруппа единичной окружности в комплексной плоскости

В математике, в частности в теории групп , p -группа Прюфера или p -квазициклическая группа или p∞ - группа, Z ( p∞ ), для простого числа p является единственной p -группой , в которой каждый элемент имеет p различных корней p- й степени.

P -группы Прюфера — это счетные абелевы группы , которые играют важную роль в классификации бесконечных абелевых групп: они (вместе с группой рациональных чисел ) образуют наименьшие строительные блоки всех делимых групп .

Группы названы в честь Хайнца Прюфера , немецкого математика начала 20 века.

КонструкцииЗ(п∞)

Группа Прюфера p может быть отождествлена ​​с подгруппой группы окружности U(1), состоящей из всех корней p n -й степени из единицы , где n пробегает все неотрицательные целые числа:

Групповая операция здесь — умножение комплексных чисел .

Есть презентация

Здесь групповая операция в Z ( p ) записывается как умножение.

Альтернативно и эквивалентно, p -группа Прюфера может быть определена как p -подгруппа Силова фактор-группы Q / Z , состоящая из тех элементов, порядок которых является степенью p :

(где Z [1/ p ] обозначает группу всех рациональных чисел, знаменатель которых является степенью p , использующую сложение рациональных чисел в качестве групповой операции).

Для каждого натурального числа n рассмотрим факторгруппу Z / p n Z и вложение Z / p n ZZ / p n +1 Z, индуцированное умножением на p . Прямой предел этой системы — Z ( p ):

Если мы выполним прямой предел в категории топологических групп, то нам нужно наложить топологию на каждый из , и взять окончательную топологию на . Если мы хотим, чтобы был Хаусдорфовым , мы должны наложить дискретную топологию на каждый из , в результате чего получим дискретную топологию.

Мы также можем написать

где Q p обозначает аддитивную группу p -адических чисел , а Z p — подгруппу p -адических целых чисел.

Характеристики

Полный список подгрупп p -группы Прюфера Z ( p ) = Z [1/ p ]/ Z выглядит следующим образом:

Здесь каждая из них является циклической подгруппой Z ( p ) с p n элементами; она содержит ровно те элементы Z ( p ), порядок которых делит p n и соответствует множеству корней степени p n из единицы.

Группы Прюфера p - являются единственными бесконечными группами, подгруппы которых полностью упорядочены по включению. Эта последовательность включений выражает группу Прюфера p - как прямой предел ее конечных подгрупп. Поскольку не существует максимальной подгруппы группы Прюфера p - , она является ее собственной подгруппой Фраттини .

Учитывая этот список подгрупп, ясно, что p -группы Прюфера неразложимы (не могут быть записаны как прямая сумма собственных подгрупп). Верно и большее: p -группы Прюфера подпрямо неразложимы . Абелева группа подпрямо неразложима тогда и только тогда, когда она изоморфна конечной циклической p -группе или группе Прюфера.

Группа Прюфера p - это единственная бесконечная p - группа , которая локально циклична (каждый конечный набор элементов порождает циклическую группу). Как было показано выше, все собственные подгруппы Z ( p ) конечны. Группы Прюфера p - это единственные бесконечные абелевы группы с этим свойством. [1]

Группы Прюфера p являются делимыми . Они играют важную роль в классификации делимых групп; наряду с рациональными числами они являются простейшими делимыми группами. Точнее: абелева группа делима тогда и только тогда, когда она является прямой суммой (возможно бесконечного) числа копий Q и (возможно бесконечного) числа копий Z ( p ) для каждого простого числа p . ( Кардинальные ) числа копий Q и Z ( p ), которые используются в этой прямой сумме, определяют делимую группу с точностью до изоморфизма. [2]

Как абелева группа (то есть как Z -модуль ), Z ( p ) является артиновым , но не нётеровым . [3] Таким образом, его можно использовать в качестве контрпримера против идеи, что каждый артинов модуль является нётеровым (тогда как каждое артиново кольцо является нётеровым).

Кольцо эндоморфизмов Z ( p ) изоморфно кольцу целых p -адических чисел Z p . [4]

В теории локально компактных топологических групп p- группа Прюфера (снабженная дискретной топологией ) является двойственной по Понтрягину компактной группы p -адических целых чисел , а группа p -адических целых чисел является двойственной по Понтрягину p -группы Прюфера. [5]

Смотрите также

Примечания

  1. См. Вильямс (2001)
  2. См. Капланский (1965)
  3. См. также Jacobson (2009), стр. 102, пример 2.
  4. См. Вильямс (2001)
  5. ^ DL Armacost и WL Armacost, "О п-тетических группах", Pacific J. Math. , 41 , № 2 (1972), 295–301

Ссылки